2020年高考数学专题+一+第一关+以圆锥曲线的几何性质为背景的选择题 (2)

2020年高考数学专题一 压轴选择题
第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题
【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本
的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．
类型一 四面体的外接球问题
典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
由图可知， ，得，解得， ，故选A。

S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====
ABC
3
2222OB OD DB =+()
2
2
4r r
=+3
r =
d ∴=
【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别
指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．
【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ） A.
B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由 面PAO ，再由 ，可知 面PBC,所以可知 ，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。

类型二 三棱柱的外接球问题
典例2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱
，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】D.
【解析】由已知条件得：
11
21sin 602
AA ⨯⨯⨯⨯=12AA =，
∵2222cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，
则
2sin 60
BC
R =，∴1R ==，∴球的表面积等于
248ππ=.
【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面
ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面
111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中
点，进而可确定外接球半径．
【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，
若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ） A. 13
B.
C.
D. 2
【答案】A
【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，
所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，
△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13， 所以球的直径为：13． 故答案为：A 。

类型三 四棱锥的外接球问题
典例3．【河北省承德市联校2018届高三上学期期末考试】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，褒七尺，高八尺，问积几何?”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少?”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. 平方尺
B. 平方尺
C. 平方尺
D. 平方尺 【答案】C
【解析】将该几何体补形为长方体，外接球的直径即为长方体的对角线，即
，故其表面积是.
【名师指点】某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补
142π140π138π128π2R ()
2
2222578254964138R =++=++=24π138πR =
形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形．对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”问题．本题可以利用补体法，将四棱锥补体为直三棱锥，利用直三棱柱的外接球半径求法确定其外接球半径．
【举一反三】【福建省漳州市2018届高三1月调研测试】已知正四棱锥P －ABCD 的顶点均在球O 上，且该正四棱锥的各个棱长均为2，则球O 的表面积为( ) A. 4π B. 6π C. 8π D. 16π 【答案】C
【解析】设点P 在底面ABCD 的投影点为O ′，则AO ′
＝
AC ＝，PA ＝2，PO ′⊥平面ABCD ，故PO ′＝
，而底面ABCD 所在截面圆的半径AO ′，故该截面
圆即为过球心的圆，则球的半径R ，故球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C.
类型四 几何体的内切球问题
典例4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________． 【答案】3π
【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC 及其内切圆⊙O 1和外接圆⊙O 2，且两圆同圆心，即△ABC 的内心与外心重合，易得△ABC 为正三角形，由题意知⊙O 1的半径为r ＝1，∴△ABC 的边长为23，圆锥的底面半径为3，高为3，∴V ＝1
3×π×3×3＝3π.
【名师指点】解决球与其他几何体的切接问题，关键在于认真分析、观察，弄清先关元素的几何关系和数量关系，选准最佳角度作出截面，截面的选择应该更多地体现元素与元素之间关系，达到空间问题平面化的目的．
【举一反三】【广东郴州市2017届高三第二次教学质量监测试卷,9ABCD 沿对角线AC 折成一个直二面角B AC D --.则四面体ABCD 的内切球的半径为
（ ）
A ．1
B ．1 D ．2- 【答案】D
【解析】设球心为O ，球的半径为R ，由D ABC O ABC O ADC O BCD O ABD V V V V V -----=+++，知
1
2
2222
2r =- D.
【精选名校模拟】
1. 已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AB 为球O 的直径，若该三棱锥的
，4,BC BD ==090CBD ∠=，则球O 的表面积为（ ） A ．11π B ．20π C ．23π D ．35π 【答案】A
【解析】设棱锥的高为h ，因为1
2
BCD S BC BD ∆=
⨯⨯=所以
13A BCD BCD V S h -∆==2h =，因此点O 到平面BCD 的距离为1，BCD ∆外接
2
OB ==,所以球O 的表面积为2411S r ππ==，故选A.
2．【江西省新余市2016届高三第二次模拟考试数学（理）试题】已知C B A 、、是球O 的球面上三点，2=AB ，32=AC ， 60=∠ABC ，且棱锥ABC O -的体积为3
6
4，则球O 的表面积为（ ）
A ．π10
B ．π24
C ．π36
D ．π48 【答案】D
【解析】在ABC ∆中，由正弦定理
sin sin AC AB
ABC ACB
=∠∠,2sin ACB =∠,所以1
sin 2ACB ∠=
,AB AC <,所以00
30,90ACB CAB ∠=∠=,122
ABC S ∆=⨯⨯=，
由O ABC V -=
O 到平面ABC 的距离为由于ABC ∆为直角三角形,设斜边BC 中点为M ,则OM ⊥面ABC ,在Rt OMB ∆中,球的半径
R OB ===所以球O 的表面积2448S R ππ==,选D.
3. 【2018河南漯河中学二模】四面体 的四个顶点都在球 的表面上， ， ， ， 平面 ，则球 的表面积为（ ） A. B.
C.
D.
【答案】D 【解析】如图，
∵BC=CD=1，∠BCD=60°∴底面△BCD 为等边三角形，取CD 中点为E ，连接BE ，∴△BCD 的外心G 在BE 上，设为G ，取BC 中点F ，连接GF ，在Rt △BCE 中，由
，
，得
，又在Rt △BFG 中，得BG=
，过G 作AB 的平
行线与AB 的中垂线HO 交于O ，则O 为四面体ABCD 的外接球的球心，即R=OB ， ∵AB ⊥平面BCD ，∴OG ⊥BG ，在Rt △BGO 中，求得OB=
， ∴球O 的表面积为4π
故选D
4．将正方形沿对角线折起，得到三棱锥，使得，若三棱锥
的外接球的半径为，则三棱锥的体积为（ ）
ABCD AC 'D ABC -'4BD ='D ABC
-'D ABC -
A. B. C.
D.
【答案】B
【解析】正方形沿对角线折起，得到三棱锥，所以的中点到的距离都等于正方形对角线的一半，三棱锥的外接球的球心位于
的中点，，又由勾股定理可得，根据正方形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面
所以，故选B.
5．
【山西省吕梁市2018届高三上学期第一次模拟】已知点在同一个球的球面上，
，若四面体
，球心恰好在棱上，则这个球的表面积为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据条件可知球心在侧棱中点，从而有垂直，可得，
所以球的半径为，故球的表面积为.
6．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为
4
3
π
的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( )
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】此三棱柱为正三棱柱，体积为
4
3
π
的球体的半径为1，由此可以得到三棱柱的高为2，底面正三角形中心到三角形各边的距离均为1，故可得到三角形的高是3，三角形边长是
(2
232
4
⨯+⨯=
7．【河北省唐山市2018届高三上学期期末考试】在三棱椎中，底面是等边33
ABCD AC'D ABC
-AC
ABCD'D ABC
-O AC '
OD OB
∴=='4,
BD='
DO OB
⊥
',
DO AC OB AC O
⊥⋂='
DO⊥,
ABC 'D ABC
V
-
=
11
323
⨯⨯=
,,,
A B C D
AB BC
==2
AC=ABCD O DA
25
4
π
4π8π16π
O DA AC CD4
AD=
2
r=2
416
S r
ππ
==
P ABC
-ABC
三角形，侧面是直角三角形，且，当三棱椎表面积最大时，该三棱椎外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
如图所示，由条件可得等边三角形的边长为，且≌，所以，设，则三棱锥的表面积为
，故当，即时，表面积最大值，此时
，所以．取的中点，连，则
为三棱椎外接球的球心，且球半径．所以
该三棱椎外接球的表面积为．选A．
8．【河南百校联盟2017届高三11月质检，10】
已知边长为ABCD中，60
A
∠=︒,
现沿对角线BD折起，使得二面角A BD C
--为120，此时点A，B，C，D在同一个
球面上，则该球的表面积为（）
A.20π
B.24π
C.28π
D.32π
【答案】C
【解析】如图所示，
3
120603
222
AFC AFE AF AE EF
∠=︒∠=︒==∴==
，，，，设
PAB2
P A P B
==P A
-
12π8π
32
3
π
ABC PAB
∆P C
∆
P A B
∠=∠P A Bθ
∠=∠=
2
P A B P B C A C
S S S S
∆∆∆
=++(2
2
11
222s i n22
22
θ
=⨯+⨯+⨯
242s i n
θ
=+s i n
θ=90
θ=︒
90
PAB PCB
∠=∠=︒23
PC==PC O,
O A O B
O A O B O P O C
===O R=
2
412
S R
ππ
==
球表
21O B O F '='=，，
∴
由勾股定理可得2222
2341722
R x x R =+=++-∴=（）（），，∴四面体的外接球的表面积为2428R ππ=，故选C ．
9．【全国名校大联考2017-2018年度高三第四次联考】已知底面为正方形的四棱锥
，各侧棱长都为
16，以为球心，2为半径作一个球，则这
个球与四棱锥相交部分的体积是（ ） A.
B. C. D. 【答案】C
【解析】构造棱长为4的正方体,四棱锥O -ABCD 的顶点O 为正方体的中心,底面与正方体的一个底面重合.可知所求体积是正方体内切球体积的
,所以这个球与四棱锥O -ABCD 相交部分的体积是:
. 本题选择C 选项.
10．【四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动】设点,,A B C 是半径为2的球O 的球
面上的三个不同的点，且OA BC ⊥， 3BC =， 0
120BAC ∠=，则三棱锥O ABC -的
体积为（ ） A.
4 B. 2 C. 4
D. O ABCD -O O ABCD -29π89π169π43
π
1
6
314162639
ππ⨯⨯=
【解析】作△ABC 的外接圆圆1O ，球心为1O ，由题意可得： 1OO ⊥平面ABC ， 设△ABC 外接圆半径为r
，由正弦定理有13
2,sin60
r O A r =
∴==
取BC 中点E ，由OA OB =可得： OE BC ⊥，
结合OA BC ⊥可知直线BC ⊥平面OAE ，则BC AE ⊥，
结合BE CE =可得： AB AC =，等腰三角形ABC 中， 120,3BAC BC ∠==，
则AB AC ==
133sin1202ABC
S
=
=， 由勾股定理可得： 11OO
==，
由三棱锥体积公式可得： 1
1
1133O ABC ABC V S OO -=⨯⨯==. 本题选择A 选项.
11.如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在半径为1的半球面上，AB AC =，侧面
11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则侧面11ABB A 的面积为（ ）
A ．2
B ．1 C
D ．
2
【答案】C.
【解析】球心在面11BCC B 的中心O 上，BC 为截面圆的直径，∴0
90BAC ∠=，底面外接圆圆心N 位于BC 中点，111A B C ∆外心在11B C 中点上，设正方形11BCC
B 边长为x ，
1Rt OMC ∆中，，，，∴，即，则M 2x OM =
12x MC =11OC R ==22
()()122
x x +=x =
，∴.
12.已知球的直径4SC =，A ，B 是该球球面上的两点，2AB =，45ASC BSC ∠=∠=，则棱锥S ABC -的体积为( )
A
B
C
D
【答案】C.
【解析】由条件直径SC 所对的圆周角090SBC SAC ∠=∠=，由已知
45ASC BSC ∠=∠=，
∴SBC ∆与SAC ∆是全等的等腰三角形，∴BO SC ⊥，AO SC ⊥，即SC ⊥面AOB ，由条件2OA OB ==，则OAB ∆
为等边三角形，∴
20111(2sin 60)43323
S ABC OAB V S SC -∆=⋅=⨯⨯⨯=. 13. 【福建省福州市2018届高三上学期期末质检】已知圆柱的高为2
，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于（ ）
A. 4π
B.
163π C. 323π D. 16π 【答案】D
【解析】设球半径为,R 该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上， ∴可
得22214R =+=，球的表面积为2416R ππ=，故选D.
14. 【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】如图，在等腰梯形ABCD 中， 22,60AB DC DAB ==∠=, E 为AB 中点.将ADE ∆与BEC ∆分别沿ED 、EC 折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P DCE -的外接球的体积为（ ）
A.
B.
C.
D. 1AB AC =
=111ABB A S ==
矩形
【答案】C
【解析】由题意可知，折叠所得的几何体是一个棱长为1的正四棱锥，将其放入正方体如图
所示，由题意可得，该三棱锥的外接球直径为：
22⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，
外接球的体积： 334433V R ππ==⨯=⎝⎭
本题选择C 选项.
15. 【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】已知三棱锥P ABC -的两个顶点均在某球面上， PC 为该球的直径， ABC ∆是边长为4的等边三角形，三棱锥P ABC
-的体积为
163
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 163π B. 403π C. 643π D. 803π 【答案】D
【解析】设D 为ABC ∆外接圆圆心，则三棱锥的外接球球心O 满足OD 垂直平面ABC ，所
以2216180244
333OD OD R S R ππ=⨯∴==== ,选D.。