21.2.4_一元二次方程_根与系数的关系

是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2
引申:1、若ax2bxc0 (a0 0) （1）若两根互为相反数,则b0; （2）若两根互为倒数,则ac; （3）若一根为0,则c0 ; （4）若一根为1,则abc0 ; （5）若一根为1,则abc0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根.
c x1 x2 a
推导:
b b2 4ac b b2 4ac x1 x2 2a 2a
b b2 4ac b b2 4ac 2a
2b 2a
b a
b b 4ac b b 4ac x1 x2 2a 2a
• 口答下列方程的两根之和与两根之积。
1. 2. 3. 4. 5.
x 2 x 15 0 2 x 6x 4 0
2
2 x 3x 5 0
2
3x 7 x 0
2
2x 5
2
例1：已知 x1 , x2 是方程 2 x2 4 x 1 0 2 2 的两个实数根，求 x1 x2 的值。 解： 根据根与系数的关系:
（ 3）
1 2
（2）x13x2＋x1x23
x2 x1 x1 x2
1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另
3 基 一个根是___ -3 。 2 ，m =____ 础 练 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 习
4 X1+X2 = ___
,X1X2 =
1 _， ___
X12+X22 = ( X1+X2)2 - 2X ___ ___ 1X2 = 14
2
2 mx 2mx m 1 0(m 0) 例4：方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。 解:由已知, △= 4m 2 4m(m 1) 0
{
m 1 x1 x 2 0 m
即
{
m>0 m-1<0
∴0<m<1
总结规律：
两根均为负的条件： X1+X2 两根均为正的条件： X1+X2 两根一正一负的条件： X1+X2 即： 且X1X2 且X1X2 且X1X2
④(x+5)(x+2)=0
新课讲解
如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 •x2=q 猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和， 两根之积是与各项系数之间有什么关系？
解得：x =
3 1 2
x2=1 所以得到,x1+x2=
5 2
x1 •x2=
3 2
问题2；对于一元二次方程的一般式是否也 具备这个特征？
4. x1 x2
( x1 x2 )
2
( x1 x 2 ) 4 x1 x 2
2
求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入.
例如：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1－x2）2
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系， 因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只 是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取 得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地 使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多 改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时 的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。 因此，他获得了“代数学之父”之称。
填写下表：
方程 两个根
两根 之和 两根 之积 a与 b 之间 关系 a与 c 之间 关系
c a
x1 x 2 x1 x2
x 2 3x 4 0
x 2 5x 6 0
4 1 2 3
1 2
3
5
3 2
246ຫໍສະໝຸດ 1 2b x1 x2 a
3
5
4
6
1 2
2 x 3x 1 0
2 - 4X X = ___ 12 +X ( X1-X2)2 = ( X___ ) 1 2 1 2
3、判断正误： 以2和-3为根的方程是X2－X-6=0 （× ） 4、已知两个数的和是1，积是-2，则这两个数是 2 和-1 。 _____
例2： 已知方程 5x kx 6 0 的一个根
2
2 2
b b 4ac 2 4a 4ac 2 4a
2 2


c a
如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0)
2
的两个根分别是
b x1 x2 a
x1
、 x 2 ，那么：
c x1 x2 a
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。
一元二次方程的 根与系数的关系
。
。 。
当然，以上还必须满足一元二次方程有根的条件：b2-4ac≥0 。
一正根，一负根
两个正根
两个负根
{
△＞0 X1X2＜0
{
△ ≥0 X1X2＞0
X1+X2＞0
{
△ ≥0 X1X2＞0
X1+X2＜0
练习：方程x2(m1)x2m10求m满足什么条件
时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？
1.一元二次方程根与系数的关系是什么? 2.应用一元二次方程的根与系数关系时， 首先要把已知方程化成一般形式. 3.应用一元二次方程的根与系数关系时， 要特别注意，方程有实根的条件，即在初 2 中代数里，当且仅当 b 4ac 时，才 0 能应用根与系数的关系.
4、已知两根求作新的方程
以 x 1 , x 2为两根的一元二次方程
方程的一根为零？
解:(m1)24(2m1)m26m5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m10,m1,且0
∴m1时,方程的两根互为相反数.
②∵两根互为倒数 m26m5, ∴两根之积2m11 m1且0, ∴m1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0,
x1 x2 2, x1 x2
2 1 2 2
1 2
x x2 ( x1 x2 ) 2x1x2
1 2 2 ( ) 5 2
2
例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程
2 x 3x 1 0
2
两个根的；（1）平方和；（2）倒数和
3 1 x1 x2 , x1 x2 2 2 2 2 2 1∵ x1 x2 x1 2 x1 x2 x2 3 1 13 2 4 2 2 1 1 x1 x2 3 1 2 3 x1 x2 x1 x2 2 2
4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为 ①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
①(x-2)(x-3)=0 ②(x+4)(x-7)=0 ③(x-3)(x+8)=0
x2-5x+6=0
x2-3x-28=0
x2+5x-24=0
x2+7x+10=0 问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？
(二次项系数为1)为:
x ( x1 x2 ) x x1x2 0
2
本堂课结束了，望同学 们勤于思考，学有所获。
Goodbye! See you next time!