2019年高中数学必修四世纪金榜学案阶段复习课第四课精讲优练课型主题突破·深化提升4

主题突破·深化提升
类型一三角函数式求值
【典例1】(1)的值为( )
A.－
B.
C.
D.－
(2)在△ABC中,3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1,则C的大小为________.
(3)已知－<x<0,sin x＋cos x＝.
①求sin 2x和cos x－sin x的值;
②求的值.
【试题解析】(1)选B.＝
＝＝＝.
(2)两式左右两边分别平方相加,得sin(A＋B)＝,
则sin C＝sin[π－(A＋B)]＝,所以C＝或C＝.
又3sin A＝6－4cos B>2,得sin A>>,
所以A>,所以C<π,故C＝.
【参考答案】：
(3)①由sin x＋cos x＝,平方得1＋sin 2x＝,
所以sin 2x＝－,因为－<x<0,所以cos x>sin x,
所以cos x－sin x＝＝.
②＝
＝＝sin 2x·
＝－×＝－.
【方法技巧】
三角函数求值主要有三种类型
(1)“给角求值”,一般给出的角都是非特殊角,从表面看较难,但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系,如和或差为特殊角,当然还有可能需要运用诱导公式.
(2)“给值求值”,即给出某些角的三角函数式的值,求另外一些三角函数的值,这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角,合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.
(3)“给值求角”,本质上还是“给值求值”,只不过往往求出的是特殊角的值,在求出角之前还需结合函数的单调性确定角,必要时还要讨论角的范围.
【变式训练】
(2018·孝感高一检测)设α为锐角,若cos＝,则sin的值为________.
【试题解析】因为α为锐角,cos＝,
所以sin＝,sin2＝,
cos2＝,
所以sin＝sin＝×＝.
【参考答案】：
【补偿训练】已知α,β∈,＝,且3sin β＝sin(2α＋β),则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
【试题解析】选B.由＝,得tan α＝,
由3sin β＝sin(2α＋β),
得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α],
tan(α＋β)＝2tan α＝1,由题意知α＋β∈,
所以α＋β＝.
类型二三角函数式的化简
【典例2】(1)计算:＋2＝________.
(2)化简:－.
世纪金榜导学号77476099
【试题解析】(1)原式＝＋2
＝2|cos 4|＋2
＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|,
因为<4<.所以cos 4<0,sin 4<cos 4<0.
所以sin 4－cos 4<0.
从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4.
【参考答案】：－2sin 4
(2)原式＝＋
＝
＋
＝＋
＝＋
＝＝.
【方法技巧】
三角函数式化简的基本技巧
(1)sin α,cos α→凑倍角公式.
(2)1±cosα→升幂公式.
(3)asin α＋bcos α→辅助角公式asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ),其中tan φ＝或asin α＋bcos α＝·cos(α－φ),其中tan φ
＝.
三角函数式化简的基本原则
(1)切化弦.
(2)异名化同名.
(3)异角化同角.
(4)高次降幂.
(5)分式通分.
(6)无理化有理.
(7)常数的处理(特别注意“1”的代换).
【变式训练】
化简:sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β.
【解题指南】观察可见:有角的二倍关系,可考虑应用倍角公式;有幂次关系可考虑降幂;函数名称有正弦、余弦,可异名化同名.
【试题解析】方法一:(从“角”入手,复角化单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二:(从“名”入手,异名化同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β
＝－cos 2β＝.
方法三:(从“幂”入手,利用降幂公式先降次)
原式＝×＋×－cos 2αcos 2β
＝(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－cos 2αcos 2β
＝＋＝.
方法四:(从“形”入手,利用配方法,先对二次项配方)
原式＝(sin αsin β－cos αcos β)2＋2sin αsin βcos αcos β－cos 2αcos 2β
＝cos2(α＋β)＋sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2(α＋β)－cos(2α＋2β)
＝cos2(α＋β)－[2cos2(α＋β)－1]＝.
【补偿训练】1.已知180°<2α<270°,化简＝ ( ) A.－3cos α B.cos α
C.－cos α
D.sin α－cos α
【试题解析】选C.＝＝
＝＝|cos α|,
因为180°<2α<270°,
所以90°<α<135°,
所以cos α<0,所以＝－cos α.
2.化简.
【试题解析】原式＝＝
＝tan＝－tan x.
类型三三角函数变换的证明
【典例3】求证:＝
世纪金榜导学号77476100
【证明】方法一:右边＝＝＝
＝＝
＝左边.
所以原命题成立.
方法二:左边＝＝
＝
＝＝右边,
所以原命题成立.
【方法技巧】
三角恒等式的证明问题的类型及策略
(1)不附加条件的恒等式证明.
通过三角恒等变换,消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简,如果两边都较繁,则采用左右互推的思路,找一个桥梁过渡.
(2)条件恒等式的证明.
这类问题的解题思路是使用条件,或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系,常用方法是代入法和消元法.
【变式训练】
证明:2sin4x＋sin22x＋5cos4x－cos 4x－cos 2x＝2(1＋cos2x).
【证明】左边＝2＋(1－cos22x)＋
5－(2cos22x－1)－cos 2x
＝3＋cos 2x.
右边＝2＝3＋cos 2x,
所以左边＝右边.
所以原式成立.
【补偿训练】求证:＋＝.
【证明】
＝
＝
＝,所以＝,
所以左边＝＋＝＝
＝右边,所以原式得证.
类型四三角恒等变换的综合应用
【典例4】(1)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cos x－sin x在[－a,a]上是减函数,则a的最大值是 ( )
A. B. C. D.π
(2)设f(x)＝6cos2x－sin 2x.
①求f(x)的最大值及最小正周期.
②若锐角α满足f(α)＝3－2,求tanα的值.
世纪金榜导学号77476101
【试题解析】(1)选A.f(x)＝cos x－sin x＝cos在上单调
递减,所以[－a,a]⊆,故－a≥－且a≤,解得0<a≤.
(2)①f(x)＝6·－sin 2x
＝3cos 2x－sin 2x＋3＝2＋3
＝2cos＋3,
故f(x)的最大值为2＋3;
最小正周期T＝＝π.
②由f(α)＝3－2,得
2cos＋3＝3－2,
故cos＝－1.
又由0<α<,得<2α＋<π＋,
故2α＋＝π,解得α＝π.
从而tanα＝tan＝.
【方法技巧】
与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种类型
(1)以三角恒等变换为主要的化简手段,考查三角函数的性质.当给出的三角函
数关系式较为复杂时,我们要先通过三角恒等变换,将三角函数的表达式变形化简,将函数表达式变形为y＝Asin(ωx＋φ)＋k或y＝Acos(ωx＋φ)＋k等形式,然后再根据化简后的三角函数,讨论其图象和性质.
(2)以向量运算为载体,考查三角恒等变换.这类问题往往利用向量的知识和公式,通过向量的运算,将向量条件转化为三角条件,然后通过三角变换解决问题;有时还从三角与向量的关联点处设置问题,把三角函数中的角与向量的夹角统
一为一类问题考查.
【变式训练】
已知向量a＝(2cos x,sin x),b＝(cos x,－2cos x),设函数f(x)＝a·b,
(1)求f(x)的解析式.
(2)求f(x)的单调递增区间.
【试题解析】(1)由题意得,向量a＝(2cos x,sin x),
b＝(cos x,－2cos x),
所以f(x)＝a·b＝2cos2x－2sin xcos x
＝1＋cos 2x－sin 2x
＝cos＋1,
则f(x)＝cos＋1.
(2)由－π＋2kπ≤2x＋≤2kπ(k∈Z)得,
－＋kπ≤x≤－＋kπ(k∈Z),
所以f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
【补偿训练】已知函数f(x)＝.
(1)求f的值.
(2)当x∈时,求g(x)＝f(x)＋sin 2x的最大值和最小值. 【试题解析】(1)f(x)＝
＝
＝＝＝2cos 2x,
所以f＝2cos＝2cos＝.
(2)g(x)＝cos 2x＋sin 2x
＝sin.
因为x∈,所以2x＋∈,
所以当x＝时,g(x)max＝,
当x＝0时,g(x)min＝1.。