宣城六校高二下学期期中考试文科数学试题-含答案

宣城六校2020-2021学年度第二学期高二期中联考
数学试卷(文科)
考生注意：
1.本试卷分第1卷(选择题)和第11卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.第1卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第11卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：必修5册+选修1-2.
第I 卷(选择题共60分)
一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}112,1,0,1,2,,
,1,2,442A B ⎧⎫
=--=⎨⎬⎩⎭
，则A B ⋂=（ ） A.{}1,2 B.{}0,1,2 C.{}2,1,0,1,2-- D.{}2,1,2-
2.设i 为虚数单位，复数2(1z =，则z 的共轭复数z 是（ ）
A.2+
B.2-+
C.2--
D.2-
3.给出下列命题：“①正方形的对角线相等；①矩形的对角线相等，①正方形是矩形”，按照三段论证明，正确的是（ ）
A.①①⇒①
B.①①⇒①
C.①①⇒①
D.以上都不对
4.已知函数()2,0
lg ,0
x x f x x x ⎧=⎨>⎩，则()()11f f -+=（ ）
A.
32 B.1 C.1
2
D.0
5.
< ）
A.22<
B.22<
C.22>
D.22<
6.观察下列各式123:33,39,327,===，则20213的末位数字为（ ）
A.1
B.3
C.7
D.9
7.已知单位向量,a b 的夹角为60，且ka b -与b 垂直，则k =（ ） A.1 B.1- C.2 D.4
8.干支历，又称农历､星辰历､甲子历等，是一种用60组各不相同的天干地支标记年月日时的古老历法，干支历法历史悠久，蕴含了深奥的宇宙星象密码，具体算法如下：先用年份的尾数查出天干，如2015年5为乙；再用2015年除以12余数为11，11为未，所以2015年就是乙未年.
张伟是2002年(壬午年)出生，他的妈妈比他大26岁，则张伟妈妈出生的年份是（ ） A.乙卯年 B.丙辰年 C.丁已年 D.成午年
9.设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若34564,6S a a a =++=，则
9
6
S S =（ ） A.
32 B.1910 C.53 D.196
10.已知函数(
)2cos 6cos (0)f x x x x a ωωωω=-+>的最小正周期为
2
π
，最大值为()f x 的解析式为（ ）
43x π⎛⎫
-
+ ⎪⎝
⎭
B.43x π⎛
⎫- ⎪⎝⎭
C.46x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
46x π⎛
⎫
+
+ ⎪⎝
⎭
11.在平面直角坐标系中，已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=，若12l l ⊥，则
12120.A A B B +=类比可得在空间直角坐标系中，平面2240ax y z ++-=与平面3510x y az +++=垂直，
则实数a 的值为（ ） B.10
3
-
C.65-
D.5- A.2-
12.已知圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z
的距离为11
2k a b
+=，则a b +的最小值为（ ）
A.
32
B.32+
C.32+
D.32+ 第II 卷(非选择题共90分)
二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.2021年全国两会期间，有全国人大代表建议为缩小贫富差距可考虑开征遗产税等措施.某机构为了解各地群众对开征遗产税的认同程度，计划从12000人中分层抽取600人进行问卷调查，其中不到35岁的有3000人，35岁至49岁的有4000人，其余年龄都是50岁及50岁以上，则应从50岁及50岁以上的群众中抽取__________.
14.若,x y 满足约束条件1
121x y x y x y +-⎧⎪
--⎨⎪-⎩
，则2z x y =+的最大值是__________.
15.如果执行如图所示的程序框图，输出的数199
200
S =
，则输入的n 的值__________.
16.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则数列{}n a 中共有__________项.
三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
17.(本小题满分10分)
已知复数()
2
2
34z a a a a =+-+-i (其中)a ∈R .
（1）若复数z 为实数，求a 的值； （2）若复数z 为纯虚数，求a 的值. 18.(本小题满分12分)
随着十年禁捕政策出台，“江烟淡淡雨疏疏，老翁破浪行捕鱼”的画面即将从长江流域消失，而我国生态保护事业中的历史性一幕也就此开启-2021年1月1日起，长江干流，岷江､沱江､赤水河､嘉陵江､乌江､汉江､大渡河等重要支流，以及鄱阳湖､洞庭湖等通江湖泊将实现全面彻底禁捕，在渔民安置中，某地政府带动退捕渔民发展畜禽水产养殖加工产业，工作小组根据市场前景重点考察了A ，B 两种景观鱼苗，为对比两种鱼苗的成活率，工作小组进行了引种试验，分别引种鱼苗A ，B 各500尾，试验发现有80%的鱼苗成活，未成活的鱼苗A ，B 尾数之比为1:3.
完成22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为鱼苗A ，B 的成活率有差异？
()()()()
()2
2
()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++
)
20k
0.053.84119.(本小题满分12分)
若,,a b c ∈R ，求证：一元二次方程22
10,10x ax b x bx c ++-=++-=和210x cx a ++-=中至少有一个
方程有实根.
20.(本小题满分12分)
在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边1,3,3
a b B ===-. （1）求c ；
（2）求cos 3A π⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的值.
21.(本小题满分12分)
如图，在等腰梯形ABCD 中，//,222AB CD AB CD AD ===，将ADC 沿着AC 翻折，使得点D 到点P 处，且AP BC ⊥.
（1）求证：平面APC ⊥平面ABC ；
（2）求点C 到平面APB 的距离. 22.(本小题满分12分)
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm ).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
经计算得16119.97
16i i x x ===∑，0.212
s ==≈， ()()16
1
18.439,8.5 2.78i i x x i =≈--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,...,16i =.
（1）求()(),1,2,...,16i x i i =的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若
0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小).
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在()3,3x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？①在()3,3x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.(精确到0.01)附：样本()(),1,2,...,i i x y i n =的相关系数
ˆn
i i
x y
nxy
r
-=∑0.09≈.
宣城六校2020-2021学年度第二学期高二期中联考·数学(文科)
参考答案､提示及评分细则
1.A {}1,2A B ⋂=.
2.B
22(11132z ==-+=--=--
，所以2z =-+.
3.C “矩形的对角线相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，正方形的对角线相等”是结论.所以①①⇒①.
4.C ()()1
1112lg12
f f --+=+=
. 5.B
<
<
，只需证2
<
2
6.B 12345633,39,327,381,3243,3729,
======，所以末位数循环的周期为4，且
202150541=⨯+，所以20213与13的末位数字相同，所以末位数字为3.
7.C 由条件()2
1
01, 2.2
ka b b ka b b k k -⋅=⋅-==
-∴= 8.B 2002261976-=，所以张伟妈妈是1976年出生，1976年是丙辰年. 9.B 已知3634564,6S S S a a a =-=++=，所以64610S =+=，
因为{}n a 是等比数列，所以36396,,S S S S S --是等比数列，()96S S -･()2
363S S S =-，解得969S S -=，
所以9961996419,
10
S S S =++==. 10.B (
)3cos23233f x x x a x a πωωω⎛⎫
=--+=-
-+ ⎪⎝
⎭
， 因为2
T π
=
，即
222
ππ
ω=，所以2ω=，
因为最大值为
3a +=3a =，则(
)43f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
11.A 类比可得，若平面11110A x B y C z D +++=与平面22220A x B y C z D +++=垂直，则
121212A A B B C C ++0=，所以由平面2240ax y z ++-=与平面3510x y az +++=垂直可得
32520a a +⨯+=，解得 2.a =-
12.D 由题意，知圆心坐标为(1，4)，
圆心到直线()10kx y k +-=∈Z
的距离为
=，解得1
7k =-或 1.k =
因为k ∈Z ，所以 1.k =
所以
1112a b +=，则(
)11133
12222222
a b a a b a b a b b
a b ⎛⎫
+=++=++++ ⎪⎝⎭
，
当且仅当2a 22b =时取“="，即a b +的最小值为
3
2
+ 13.250 50岁及50岁以上的有12000300040005000(--=人)，所以需要抽取600
5000250(12000
⨯=人).
14.7 作出可行域可知，目标函数过点()2,3时取到最大值7.
15.199
第一次循环1,011,;12i S =+==
⨯第二次循环11,112,;1223
i S =+==+⨯⨯
依次类推()()
111
,11,1223
1i n n S n n =-+==
+++
⨯⨯+，此时i n ，循环结束，输出.S
输出()1111111
1111.1223
1223111n S n n n n n n ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫=
+++
=-+-+
+-=-= ⎪ ⎪ ⎪
⨯⨯++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
而199
200
S =
，则199n =. 16.67 被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则157n a n =-，令
n a =1571000n -，解得2
:67
15
n ，所以该数列的项数共有67项. 17.解：（1）因为复数z 为实数，所以20a a -=，所以0a =或1；
（2）因为复数z 为纯虚数，所以22340
a a a a ⎧+-=⎨-≠⎩，
即41
01
a a a =-⎧⎨
≠≠⎩或且，所以 4.a =-
18.解：试验发现有80%的鱼苗成活，故不成活200尾，未成活的鱼苗,A B 尾数之比为1:3.A 鱼苗未成活有50尾，成活450尾，B 鱼苗未成活有150尾，成活350尾. 列联表如下：
2
2
1000(45015050350)62.510.828800200500500
K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有99.9%的把握认为二者有差异.
19.解：假设上述三个方程都没有实数根，则三个方程的判别式满足
22123Δ440,Δ440,Δa b b c =-+<=-+<
2440c a =-+<
不等式两边同时相加，得222444120a b c b c a ++---+<，
即2224444440a a b b c c -++-++-+<，即222
(2)(2)(2)0a b c -+-+-<，
与222(2)(2)(2)0a b c -+-+-矛盾，所以假设不成立，所以一元二次方程22
10,x ax b x bx c
++-=++10-=和210x cx a ++-=中至少有一个方程有实根.
20.解：（1）由余弦定理知2222cos b a c ac B =+-，即2
1129233c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
，
整理，得2230c c +-=，解得1c =或3(-舍去)，故1c =
（2）因为1cos 3B =-，且()0,B π∈
，所以sin 3B ==， 由正弦定理知:sin sin a b A B
=
，即3sin sin 3a B A b ===， 又a b <，所以0,
2A π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，所以cos 3
A =
，
所以cos cos cos sin sin 333
A A A πππ
⎛
⎫
-
=+= ⎪⎝
⎭ 21.解（1）由等腰梯形ABCD 中，222AB CD AD ===，可得60ABC ∠=， 又由2AB BC =，所以AC BC ⊥，
又因为BC AP ⊥，且AC AP A ⋂=，所以BC ⊥平面APC 又由BC ⊂平面ABC ，所以平面APC ⊥平面ABC （2）如图（1）所示，取AB 的中点E ，连接,,DE CE AC ，
则AECD 为菱形，且60DAE ∠=，则AC DE ⊥，
记垂足为O
，则1
,2
DO AC =
= 由（1）知，平面APC ⊥平面ABC ，如图①所示， 又PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABC ，
由（1）知，BC ⊥平面APC ，即BC CP ⊥
，所以BP =
又12ACB S AC CB =⋅= 在ABP
中，由2,1,AB AP BP ===
所以2223cos 24PA AB PB PAB AB AP ∠+-==⋅
，所以sin PAB ∠=，
则1sin 2PAB S AP AB PAB ∠== 设点C 到平面APB 的距离为h ，
由P ACB C ABP V V --=，得1133ACB ABP PO S h
S ⋅=⋅，即7
ACB ABP PO S h S ⋅==. 22.解:（1）()
16
(8.5)0.18i
x x i r --===-∑ 0.180.25r =<
故可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程进行而系统的变大或变小.
（2）①9.97,0.212x s ==，所以合格零件尺寸范围是()9.334,10.606，
显然第13号零件尺寸不在此范围之内，故需要对当天的生产过程进行检查. ①剔除离群值后，剩下的数据的平均值为()1169.979.2210.0215
⨯⨯-=， 162221160.212169.971591.134i i x
==⨯+⨯=∑
故象除离群值后样本方差为()
221:1591.1349.221510.02
0.00815⨯--⨯=0.09.=。