2023年安徽省皖南八校高考数学第三次联考试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年安徽省皖南八校高考数学第三次联考试卷（理科）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合，集合
，则
( )
A. B.
C.
D.
2.若复数为纯虚数，则实数a 的值为( )
A. 1
B. C. 0 D. 2
3.正项等比数列中，
，
，
成等差数列，若，则( )
A. 4
B. 8
C. 32
D. 644.若向量，，且，
，则的值为( )
A. B. C.
D.
5.已知，
，，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知实数x ，y 满足，且
为常数取得最大值的最优解有无数多个，则k 的
值为( )A. 1 B. C. 2
D.
7.已知，则的最大值为( )
A.
B.
C.
D.
8.古希腊亚历山大时期最后一位重要的几何学家帕普斯
公元3世纪末在其代表作《数学汇编》中研究了““三线轨迹”问题：即到两条已知直线距离的乘积与到第三条直线距离的平方之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线，今有平面内三条给定的直线，
，
，且，
均与
垂直．若动点M 到
，
的距离的乘积与到的距离的平方相等，则动点M 在直线
，
之间的轨迹是( )A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线
D. 抛物线
9.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数
的图像重合，
则的最小值是( )
A.
B.
C.
D.
10.已知抛物线上有两点，，是的( )
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
11.甲、乙两名同学各自从6门不同的校本选修课中任选3门研修，则甲、乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为( )
A. 400
B. 390
C. 380
D. 370
12.若存在直线与函数，的图像都相切，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若直线：与：平行，则实数a的值是______.
14.已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为______.
15.若展开式的常数项为，则正整数n的值为______.
16.已知数列满足，，，记数列的前n项和为，若存在正整数m，k，使得，则m的值是______.
三、解答题：本题共7小题，共82分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题12分
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求的值；
求的最小值．
18.本小题12分
2022年2月4日，北京冬奥会在国家体育场盛大开幕．这是北京时隔14年再次举办奥运会，北京成为历史上首个既举办过夏季奥运会，又举办过冬季奥运会的城市．为了了解某中学高一学生对冬奥会开幕式的关注程度，从该校高一学生中随机抽取了100名学生进行调查，调查样本中有40名女生．如图是根据样
本的调查结果绘制的等高条形图阴影区域表示关注冬奥会开幕式的部分
完成下面的列联表，并计算回答是否有的把握认为“对冬奥会开幕式的关注与性别有关”？
关注没关注合计
男
女
合计
若将频率视为概率，现从该中学高一女生中随机抽取3人．记被抽取的3名女生中对冬奥会开幕式关注的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
附：
，其中
19.本小题12分
如图，在四棱锥中，，底面ABCD为梯形，，，
中，，
求三棱锥的体积；
求二面角的余弦值．
20.本小题12分
已知函数
若函数的图象在区间上存在斜率为零的切线，求实数a的取值范围；
当时，判断函数零点的个数，并说明理由．
21.本小题12分
已知离心率为的椭圆与x轴，y轴正半轴交于A，B两点，作直线AB的平行线交椭圆于C，D两点．
若的面积为1，求椭圆的标准方程；
在的条件下．
记直线AC，BD的斜率分别为，，求证：为定值；
求的最大值．
22.本小题10分
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
在平面直角坐标系xOy中，设直线l与曲线C相交于A，B两点．若点恰为线段AB的一个三等分点，求正数m的值．
23.本小题12分
已知函数
当时，解不等式；
若不等式对任意都成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合，
集合，
则
故选：
求出集合B，利用交集定义能求出
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．
【解答】
解：为纯虚数，
，解得
故选：
3.【答案】D
【解析】解：设正项等比数列的公比为q，，，
由，，成等差数列，可得，
即，即有，
解得舍去，
又，即，解得，
所以
故选：
由等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到所求值．
本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.【答案】C
【解析】解：，
则，
故选：
依据向量数量积的定义去求的值．
本题考查了平面向量数量积的性质以及运算，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了指数值的大小比较以及三角函数值，属于中档题．
先比较a，b得大小，再由，即可得出答案．
【解答】
解：因为，，
则，，
而，故，
又故，
所以，
故选：
6.【答案】B
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
要使取得最大值的最优解有无数多个，则，即
故选：
由约束条件作出可行域，由图可知，要使取得最大值的最优解有无数多个，则，则答案
可求．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为，所以，即，
所以，即，，
不妨取，则，即，
所以，
因为，所以，所以，即的最大值为
故选：
易知，推出，即，，不妨取，代入所求式子化简，并由正弦函数的图象与性质，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的商数关系，两角和的余弦公式，二倍角公式等是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：，均与垂直，，
又动点M到，的距离的乘积与到的距离的平方相等，
记直线为，，为，为，，
则M到直线，，的距离分别为，，，
由已知可得：，
又动点M在直线，之间，与同号，
则，即，也就是
动点M在直线，之间的轨迹是圆．
故选：
由题意可得，记直线为，，为，为，，则M到直线，，的距
离分别为，，，由已知可得：，整理得答案．
本题考查轨迹方程的求法，明确是关键，是中档题．
9.【答案】B
【解析】解：将函数的图像向右平移个单位长度后，得到函数
的图像，
即，与函数的图像重合，
即，，
故，，
所以，，
所以的最小值为
故选：
先得到平移后的解析式，再由题中条件，列出等式，求出，即可得出结果．
本题主要考查了函数的图象变换和诱导公式的应用，考查对基础知识的综合运用，属于中档题．
10.【答案】C
【解析】解：把两点，代入抛物线中，
得与，两式相乘得，
若，则，
所以是的必要不充分条件，
故选
把两点，代入抛物线，然后两式相乘可求得答案．
本题考查充分、必要条件的判断，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
11.【答案】C
【解析】解：甲、乙两名同学所选的课程共有种情况，
甲、乙两名同学所选课程都不相同得选法种数为，
所以甲、乙两名同学所选课程至少有一门相同的选法种数为
故选：
根据题意先求出甲、乙两名同学所选的课程共有多少种情况，进一步算出甲、乙两名同学所选课程都不同
的选法种数，相减即可得答案．
本题主要考查组合及简单计数问题，考查运算求解能力，属于基础题．
12.【答案】C
【解析】解：注意到函数图像下凸，图像上凸，
故“存在直线与函数，的图像都相切”
即在定义域恒成立，
记，在上单调增，
且在有唯一零点，即，
且，于是，
所以实数a的取值范围为
故选：
注意到函数图像下凸，图像上凸，根据题意只要函数图像在函数图像之上即可，所以定义域恒成立即可得解．
本题考查了利用导数研究函数的切线方程，考查了转化思想，属基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】本题考查两直线平行的应用，属于基础题．
利用直线与直线平行的性质直接求解．
【解答】
解：直线：与：平行，
则，
，解得，
经检验当时，两直线重合，故舍去，
则实数，
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由，得，
，又渐近线方程为，
双曲线的渐近线方程为
故答案为：
利用，求得，即可得到渐近线方程．
本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线渐近线方程的求解等知识，属于基础题．
15.【答案】4
【解析】解：由，
则二项式展开式的通项公式为，
令，
解得，
由展开式的常数项为，
则，
解得，
故答案为：
由，结合二项式展开式的通项公式求解即可．
本题考查了二项式展开式的通项公式，重点考查了运算能力，属基础题．
16.【答案】2
【解析】解：数列满足，，，记数列的前n项和为，
当n为奇数时，数列是以1为首项，2为公差的等差数列；
当n为偶数时，数列是以2为首项，3为公比的等比数列；
所以；
；
所以，
故只有，，可能存在；
当时，不成立，、
当时，成立；
当时，不成立．
故答案为：
直接利用数列的递推关系式和数列的求和公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，且，
所以，整理得，
即，
由正弦定理知，
由知，，
由余弦定理知，，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为
【解析】将代入已知等式中，结合两角和的正弦公式，化简可得，再由正弦定理，得解；
结合，余弦定理，以及基本不等式，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理、余弦定理，基本不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
18.【答案】解：列联表，
关注没关注合计
男303060
女122840
合计4258100
，
所以有的把握认为“对冬奥会开幕式的关注与性别有关“
随机选一名高一女生，对此事关注的概率，
又，所以随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
【解析】根据条件填写列联表，计算的值，根据临界值表可做出判断；
，根据二项分布的概率计算公式可得分布列，由可计算均值．
本题考查了独立性检验以及二项分布的知识，属于中档题．
19.【答案】解：取CD的中点F，，，
，且，四边形ABED是矩形，
，
，且，平面PAD，
三棱锥的体积为：
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A作平面PAD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面PBD的法向量，
则，取，得，
同理得平面PCD的一个法向量为，
二面角的余弦值为
【解析】取CD的中点F，推导出，，，从而平面PAD，再由
，能求出三棱锥的体积为．
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，过点A作平面PAD的垂线为z轴，建
立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
本题考查三棱锥的体积、二面角的余弦值的求法，考查等体积法、向量法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：，
函数的图象在区间上存在斜率为零的切线，
方程在区间上有解，
化为，
因此方程在区间上有解函数与函数的图象有两个交
点，
函数在区间上单调递增，
，
时，函数
不是函数的零点，
化为：，，
令
，
函数在上单调递增，在上单调递增．
，，
存在，使得
又，，
存在，使得
综上可得：函数有且只有两个零点．
【解析】，根据函数的图象在区间上存在斜率为零的切线，则方程
在区间上有解，化为，方程在区间上
有解函数与函数的图象有两个交点，由函数在区间上单调递增，即可得出a的取值范围．
时，函数由不是函数的零点，
可化为：，，令利用导数研究函数的单调性即可得出结论．
本题考查了利用导数研究切线的斜率与函数的单调性、方程的根的个数、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：椭圆的离心率为，，即①．
又②，
由①②解得，，故椭圆的标准方程是
解：设直线CD：，代入得，
设，，
，
，
分子，
为定值．
证明：令直线AC：，
，
，
，
由韦达定理得，
故，
由知，直线代入椭圆方程，化简得：
，故
从而，，
记当时，，
当时，记，则，
令，
当时，当且仅当时等号成立，
于是
此时，，
当且仅当，即时，等号成立．
同理，当时，
此时，
当且仅当，即时，等号成立．
综上所述，当且仅当时取得最大值
【解析】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点、定值问题等知识，属于中等题．
根据条件列出关于a，b，c的方程，可求椭圆方程；
首先设直线CD的方程，与椭圆方程联立，得韦达定理，并且利用坐标表示，化简后得证；
首先设直线AC，BD的方程，与椭圆方程联立，求得点C，D的横坐标，再利用弦长公式表示
，再利用换元法，求得函数的最大值．
22.【答案】解：直线l的参数方程为为参数，转换为普通方程为；曲线C的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为
；
将直线l的方程转换为参数方程为为参数，代入；
得到；
所以；；
由于点恰为线段AB的一个三等分点，
不妨设，
整理得；
故，解得
【解析】直接利用转换关系，在参数方程、方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
23.【答案】解：当时，，
，或，或，
从而，原不等式的解集为；
当时，恒成立，即恒成立，
①当时，有恒成立，
即恒成立
，故；
②当时，有恒成立，
即恒成立，
，故，
综上所述，所求实数a的取值范是
【解析】分类讨论去掉绝对值，转化成整式不等式组去求解即可解决；
分离参数法去求实数a的取值范围．
本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的恒成立问题，属于中档题．。