河南省新乡市2021-2022学年高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题

河南省新乡市2021-2022学年高三上学期第一次模
拟考试数学（理）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 已知集合，则=( )
A．或B．或
C．D．
2. 已知复数，且，则（）A．B．C．D．
3. “建行杯”第七届中国国际“互联网”大学生创新创业大赛冠军赛在南昌大学举行，经过两个小时的激烈比拼，南昌大学的“中科光芯——硅基无荧光粉发光芯片产业化应用”项目最终斩获大赛冠军.某高校为了解该校师生有无收看“第七届互联网创新创业大赛”，从该校的名教职工和名学生中，采用分层抽样的方法抽取人进行调查，则应抽取的学生人数是（）A．B．C．D．
4. 在《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某“堑堵”的三视图，则该“堑堵”的侧面积为（）
A．48 B．42 C．36 D．30
5. 已知，，，则（）
A．B．C．D．
6. 在等比数列中，，，则（）
A．B．C．D．
7. 已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，两点.若点是线段的中点，则直线的斜率是（）
A．B．C．D．
8. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称
为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
9. 已知函数的图象关于点对称，则下列结论正确的是（）
A．的最小正周期是
B．是偶函数
C．在上单调递增
D．先将图象上各点的横坐标压缩为原来的，再将所得的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
10. 设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有
，则称是间隔递减数列，是的间隔数.已知，若是间隔递减数列，且最小间隔数是，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
11. 在棱长为3的正方体中，点满足，点在平面
内，则的最小值为（）
A．B．C．D．
12. 已知函数，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题
13. 已知向量，若，则___________.
14. 展开式中的系数为___________.
15. 甲?乙两人进行羽毛球比赛，约定先赢得局者获胜，其中每局比赛甲获胜
的概率为，乙获胜的概率为.已知第局乙获得胜利，则甲最终获胜的概率是
___________.
16. 双曲线的两个焦点分别为，，点在双曲线上，.若△的面积为，则双曲线的离心率为___________.
三、解答题
17. 在△中，角，，所对的边分别是，，.已知.
(1)求的值；
(2)点在边上，，且，求△的周长.
18. 如图，在四棱锥中，平面，四边形是矩形，
，点是棱的中点.
(1)证明：平面平面.
(2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
19. 年支付宝“集五福”活动从月日开始，持续到月日.用户打开支付宝最新版，通过扫描“福”字集福卡（爱国福?富强福?和谐福?友善福和敬业福）.在除夕夜前集齐“五福”的用户将获得一个现金红包.为调查居民参与“集五福”活动的情况，现对某一社区的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成，，，，五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为.
集齐“五福”卡没有集齐“五福”卡合计
男
女
合计
(1)假设未参与的视为未集齐“五福”者，请根据样本数据补充完整上述列联表，并判断是否有的把握认为是否集齐“五福”与性别相关.
(2)据了解，该社区今年参与“集五福”活动的居民占.以今年该社区居民参与“集五福”活动的频率作为该社区居民明年愿意参与“集五福”活动的概率，现从该社区居民中随机抽取人进行调查，记为这人中明年愿意参与“集五福”活动的人数，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
20. 已知椭圆的左?右顶点分别是，，点（异于，
两点）在椭圆上，直线与的斜率之积为，且椭圆的焦距为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)直线与椭圆交于，（其横坐标）两点，直线与
的交点为，试问点是否在定直线上？若在，请给予证明，并求出定直线方程；若不在，请说明理由.
21. 已知函数.
(1)求的极值.
(2)若，，证明：.
22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以
坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点的极坐标为.
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若直线与曲线交于，两点，求的面积.
23. 已知函数.
(1)解关于的不等式；
(2)若对任意的恒成立，求的取值范围.。