苏科版初三数学苏州市2019年中考数学一模、二模汇编《有关圆的解答题》

苏州市2019年中考数学一模、二模汇编《有关圆的解答题》
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26.(本题满分10分)如图，在等腰ABC ∆中，AB AC =，AB 为直径的圆O 交BC 于点D ,过点C 作CF ∥AB ，与⊙O 的切线BE 交于点E ，连接DE: (1)求证: BD CD =;
(2)求证: CAB CDE ∆∆:;
(3)设ABC ∆的面积为1,S C D E ∆的面积为2S ，若30ABC ∠=︒, 12,S S 满足
12S S +=AB 的长.
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27.(本题满分10分)如图，以△ABC 的边AB 为直径的⊙O 与边AC 相交于点D ，BC 是⊙O 的切线，E 为BC 的中点，连接AE 、DE .
(1)求证:DE 是⊙O 的切线:
(2)设CDE ∆的面积为1S ，四边形ABED 的面积为2S .若215S S =，求tan BAC ∠的值;
(3)在(2)的条件下，若AE =，求⊙O 的半径长.
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26.(本题满分10分) 如图，AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，过点P 作⊙O 的切线，切点为,D BC 垂直于PD ，垂足为,C BC 与⊙O 相交于点E ，连接OE ，交BD 于点F . (1)求证: BD 平分ABC ∠;
(2)若36,tan 4
BC P ==, ①求线段BD 的长; ②求线段BF 的长.
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26.(本题满分10分)如图，在ABC ∆中，AB AC =，
以AB 为直径的⊙O 分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH ⊥AC ，垂足为点H ，连接DE ，交AB 于点F. (1)求证：DH 是⊙O 的切线;
(2)若⊙O的半径为4，
=时，求»AD的长(结果保留π);
①当AE FE
②当sin B=时，求线段AF的长.
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26.(本题满分10分)
如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、C两点,与BC边交于点E,点D为CE 的下半圆弧的中点,连接AD交线段EO于点F.AB=BF，CF=4,DF=10.
(1)求证:AB是⊙O的切线；
(2)求⊙O的半径r.
(3)设点P是BA延长线上的一个动点,连接DP交CF于点M,交弧AC于点N(N与A、C不重合).
DM 是否为定值?如果是,求出该定值:如果不是.请说明理由。

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26.(本题满分10分)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交⊙O于点
BD OE OE交AD于点F.
交AC的延长线于点E，连接,,
,D DE AC
(1)求证: DE是⊙O的切线;
(2)若
35AC AB =，求
AF
DF
的值; (3)在(2)的条件下，若⊙O 直径为10，求BD 的长.
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27．（本小题满分10分）如图1，AB 为半圆O 的直径，半径OP ⊥AB ，过劣弧AP 上一点D
作DC ⊥AB 于点C ．连接DB ，交OP 于点E ，∠DBA ＝22.5°． ⑴ 若OC ＝2，则AC 的长为 ▲ ；
⑵ 试写出AC 与PE 之间的数量关系，并说明理由；
⑶ 连接AD 并延长，交OP 的延长线于点G ，设DC ＝x ，GP ＝y ，请求出x 与y 之间的等量关系式. （请先补全图形，再解答）
27．解：⑴ 222-. 1分
图1
A
B O C
E
D
P
图2
A
B
O C
E
D
P
图1
图2
⑵ 连接AD ，DP ，OD ，过点D 作DF ⊥OP ，垂足为点F . 证AC=PF 或AC=EF 2分 证DP=DE 3分 证PF=EF=
PE 2
1
4分 证PE =2AC 5分
⑶ 由∠DCO =90°，∠DOC =45°得x CD OD 22== 6分
∵ ∠ADB =90°，点O 是AB 中点 ∴ AB =2OD=x 22 7分 再证△DGE ≌△DBA 8分 ∴ GE =AB =x 22
∵ PE =2AC ∴ PE =2)2(x x -
∴ GP =GE －PE =)2(222x x x -- 9分 即：y =x 2 10分
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23．如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点E ，过点E 作AB
的垂线交AB 于点F ，交CB 的延长线于点G
，且∠ABG ＝2∠C ． （1）求证：EG 是⊙O 的切线；
（2）若tan C ＝，AC ＝8，求⊙O 的半径．
证明（1）如图：连接OE ，BE
∵∠ABG＝2∠C，∠ABG＝∠C+∠A
∴∠C＝∠A∴BC＝AB，
∵BC是直径
∴∠CEB＝90°，且AB＝BC
∴CE＝AE，且CO＝OB∴OE∥AB
∵GE⊥AB∴EG⊥OE，且OE是半径∴EG是⊙O的切线
（2）∵AC＝8，∴CE＝AE＝4
∵tan∠C＝＝∴BE＝2
∴BC＝＝2∴CO＝
即⊙O半径为
强化练习
1．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O 的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，CE＝2，
①求的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．
2．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得
到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
3．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE；
（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
4．如图，AB是⊙O直径，C为⊙O上一点，且AB＝10，AC＝8．P为⊙O上一个动点，（P，C分别在AB的两侧）CQ⊥PC，交PB的延长线于点Q，
（1）若PQ∥AC，求证：CQ是⊙O的切线．
（2）当PC⊥AB时，求PQ的长．
（3）直接写出点P在运动过程中PQ长的最大值．
5．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，点D在BC的延长线上，∠ABC的角平分线与AD交于E点，与AC交于F点，且AE＝AF．
（1）证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，sin D＝，求BC的长．
6．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD＝∠AOC，AD⊥CD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线：
（2）若AB＝10，AD＝2，求cos∠OAC的值．
7．如图，AB是⊙O的直径，CH⊥AB于H，AC与⊙O交于D，BD与CH交于E．点F在CH上，DF＝CF．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AB＝10，sin A＝，AD＝DE，求CD的长．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）设AC＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BF＝2，sin F＝，求AD的长．
9．如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF的长；
（3）求sin∠EFD的值．
10．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O 的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH 的长．
11．如图所示，CD为⊙O的直径，AD，AB，EC分别与⊙O相切于点D，E，C（AD＜BC），连接DE并延长与与直线BC相交于点P，连接OB．
（1）求证：BC＝BP；
（2）若DE•OB＝40，求AD•BC的值；
（3）在（2）条件下，若S△ADE：S△PBE＝16：25，求S△ADE和S△PBE．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠ABD＝30°，求阴影部分的面积．
（3）若＝，求证：A为EH的中点．
13．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上
的一个动点，直线P A与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段P A的中垂线上时，求出所有满足条件的∠
ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，＝．
（1）求证：AD+CD＝BD；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA2+CF2＝EF2；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O半径．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接
BD分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若＝，求的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表示）
16．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD 交⊙O于点E．
（1）求证：＝．
（2）若AE＝12，BC＝10．
①求AB的长；
②如图2，将沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为
17．如图1，等边△ABC的边长为3，分别以顶点B、A、C为圆心，BA长为半径作、、
，我们把这三条弧所组成的图形称作莱洛三角形，显然莱洛三角形仍然是轴对称图形，
设点I为对称轴的交点．
（1）如图2，将这个图形的顶点A与线段MN作无滑动的滚动，当它滚动一周后点A与端点N重合，则线段MN的长为；
（2）如图3，将这个图形的顶点A与等边△DEF的顶点D重合，且AB⊥DE，DE＝2π，将它沿等边△DEF的边作无滑动的滚动当它第一次回到起始位置时，求这个图形在运动过程中所扫过的区域的面积；
（3）如图4，将这个图形的顶点B与⊙O的圆心O重合，⊙O的半径为3，将它沿⊙O 的圆周作无滑动的滚动，当它第n次回到起始位置时，点I所经过的路径长为（请用含n的式子表示）
18．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使折叠后的劣弧恰好经过圆心O，连接AO并延长交⊙O 于点C，点P是优弧上的动点，连接AP、PB．
（1）如图1，用尺规画出折叠后的劣弧所在圆的圆心O′，并求出∠APB的度数；
（2）如图1，若AP是⊙O′的切线，OA＝4，求线段AP的长；
（3）如图2，连接PC，过点B作BP的垂线，交PC的延长线于点D，求证：PC+P A ＝2PB．
19．如图，在▱ABCD中，连接AC，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O交AD于点E．（1）求证CE＝CD；
（2）若∠ACB＝∠DCE．
②求证CD与⊙O相切；
②若⊙O的半径为5，BC长为4，则AE＝．
20．如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O、B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．
（1）求证：AC平分∠F AB；
（2）求证：BC2＝CE•CP；
（3）若，⊙O的面积为12π，求PF的长．
21．如图1，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过O点作OF⊥AB交⊙O于点D，交AC于点E，交BC的延长线于点F，点G是EF的中点，连接CG
（1）判断CG与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：2OB2＝BC•BF；
（3）如图2，当∠DCE＝2∠F，CE＝3，DG＝2.5时，求DE的长．
22．已知，四边形ABCD中，E是对角线AC上一点，DE＝EC，以AE为直径的⊙O与边CD相切于点D，点B在⊙O上，连接OB．
（1）求证：DE＝OE；
（2）若CD∥AB，求证：BC是⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，求证：四边形ABCD是菱形．
23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时．
①求证：△KGD∽△KEG；
②若cos C＝，AK＝，求BF的长．
24．如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB垂足为H，P是BA延长线上一点，且CA 平分∠PCH．
（1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠PCA＝，AH＝2，分别求出⊙O的半径CO和PC的长；
（3）如图2，过点A作PC的平行线，分别交CD、⊙O于点N、M，连接DM，分别交AB、CO于点E、F，若tan∠PCA＝，试探究DM与AC之间的数量关系．
25．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，AC＝AB，⊙O为△ABC的外接圆．（1）如图1，求证：AD是⊙O的切线；
（2）如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G．
①求证：AG＝BG；
②若AD＝2，CD＝3，求FG的长．
26．如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．
（1）当BP＝时，△MBP～△DCP；
（2）当⊙P与正方形ABCD的边相切时，求BP的长；
（3）设⊙P的半径为x，请直接写出正方形ABCD中恰好有两个顶点在圆内的x的取值范围．
答案与解析
1．如图，已知AB是圆O的直径，F是圆O上一点，∠BAF的平分线交⊙O于点E，交⊙O 的切线BC于点C，过点E作ED⊥AF，交AF的延长线于点D．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE＝3，CE＝2，
①求的值；
②若点G为AE上一点，求OG+EG最小值．
【分析】（1）根据切线的判定，连接过切点E的半径OE，利用等腰三角形和平行线性质即能证得OE⊥DE．
（2）①观察DE所在的△ADE与CE所在的△BCE的关系，由等角的余角相等易证△
ADE∽△BEC，即得的值．②先利用的值和相似求出圆的直径，发现∠BAC＝30°；
利用30°所对直角边等于斜边一半，给EG构造以EG为斜边且有30°的直角三角形，
把EG转化到EP，再从P出发构造PQ＝OG，最终得到三点成一直线时线段和最短的
模型．
【解答】（1）证明：连接OE
∵OA＝OE
∴∠OAE＝∠OEA
∵AE平分∠BAF
∴∠OAE＝∠EAF
∴∠OEA＝∠EAF
∴OE∥AD
∵ED⊥AF
∴∠D＝90°
∴∠OED＝180°﹣∠D＝90°
∴OE⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2）解：①连接BE
∵AB是⊙O直径
∴∠AEB＝90°
∴∠BED＝∠D＝90°，∠BAE+∠ABE＝90°
∵BC是⊙O的切线
∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝90°
∴∠BAE＝∠CBE
∵∠DAE＝∠BAE
∴∠DAE＝∠CBE
∴△ADE∽△BEC
∴
∵DE＝3，CE＝2
∴
②过点E作EH⊥AB于H，过点G作GP∥AB交EH于P，过点P作PQ∥OG交AB于Q
∴EP⊥PG，四边形OGPQ是平行四边形
∴∠EPG＝90°，PQ＝OG
∵
∴设BC＝2x，AE＝3x
∴AC＝AE+CE＝3x+2
∵∠BEC＝∠ABC＝90°，∠C＝∠C
∴△BEC∽△ABC
∴
∴BC2＝AC•CE即（2x）2＝2（3x+2）
解得：x1＝2，x2＝﹣（舍去）
∴BC＝4，AE＝6，AC＝8
∴sin∠BAC＝，
∴∠BAC＝30°
∴∠EGP＝∠BAC＝30°
∴PE＝EG
∴OG+EG＝PQ+PE
∴当E、P、Q在同一直线上（即H、Q重合）时，PQ+PE＝EH最短
∵EH＝AE＝3
∴OG+EG的最小值为3
【点评】本题考查了等腰三角形和平行线性质，切线的判定和性质，相似的判定和性质，最短路径问题．第（1）题为常规题型较简单；第（2）①题关键是发现DE、CE所在三
角形的相似关系；②是求出所有线段长后发现30°角，利用30°构造，考查了转
化思想．
2．如图，在以线段AB为直径的⊙O上取一点C，连接AC、BC．将△ABC沿AB翻折后得到△ABD．
（1）试说明点D在⊙O上；
（2）在线段AD的延长线上取一点E，使AB2＝AC•AE．求证：BE为⊙O的切线；
（3）在（2）的条件下，分别延长线段AE、CB相交于点F，若BC＝2，AC＝4，求线段EF的长．
【分析】（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB＝∠C＝90°，据此即可得；
（2）由AC＝AD知AB2＝AD•AE，即＝，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠
ABE＝∠ADB＝90°，从而得证；
（3）由＝知DE＝1、BE＝，证△FBE∽△F AB得＝，据此知FB＝2FE，
在Rt△ACF中根据AF2＝AC2+CF2可得关于EF的一元二次方程，解之可得．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵将△ABC沿AB翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB＝∠C＝90°，
连接OD，
则OD＝AO＝BO，
∴点D在以AB为直径的⊙O上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC＝AD，
∵AB2＝AC•AE，
∴AB2＝AD•AE，即＝，
∵∠BAD＝∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE＝∠ADB＝90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴BE是⊙O的切线；
（3）∵AD＝AC＝4、BD＝BC＝2，∠ADB＝90°，
∴AB＝＝＝2，
∵＝，
∴＝，
解得：DE＝1，
∴BE＝＝，
∵四边形ACBD内接于⊙O，
∴∠FBD＝∠F AC，即∠FBE+∠DBE＝∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD＝∠BAE+∠ABD＝90°，
∴∠DBE＝∠BAE，
∴∠FBE＝∠BAC，
又∠BAC＝∠BAD，
∴∠FBE＝∠BAD，
∴△FBE∽△F AB，
∴＝，即＝＝，
∴FB＝2FE，
在Rt△ACF中，∵AF2＝AC2+CF2，
∴（5+EF）2＝42+（2+2EF）2，
整理，得：3EF2﹣2EF﹣5＝0，
解得：EF＝﹣1（舍）或EF＝，
∴EF＝．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
3．如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E．
（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
（2）求证：BC2﹣CE2＝CE•DE；
（3）已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
【分析】（1）由AB是⊙O的直径知∠BAD+∠ABD＝90°，由PB是⊙O的切线知∠PBD+∠ABD＝90°，据此可得答案；
（2）连接OC，设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，证△ADE∽△CBE得DE•CE＝
AE•BE＝r2﹣OE2，由＝知∠AOC＝∠BOC＝90°，根据勾股定理知CE2＝OE2+r2、
BC2＝2r2，据此得BC2﹣CE2＝r2﹣OE2，从而得证；
（3）先求出BC＝4、CE＝2，根据BC2﹣CE2＝CE•DE计算可得．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即∠BAD+∠ABD＝90°，
∵PB是⊙O的切线，
∴∠ABP＝90°，即∠PBD+∠ABD＝90°，
∴∠BAD＝∠PBD；
（2）∵∠A＝∠C、∠AED＝∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴＝，即DE•CE＝AE•BE，
如图，连接OC，
设圆的半径为r，则OA＝OB＝OC＝r，
则DE•CE＝AE•BE＝（OA﹣OE）（OB+OE）＝r2﹣OE2，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴CE2＝OE2+OC2＝OE2+r2，BC2＝BO2+CO2＝2r2，
则BC2﹣CE2＝2r2﹣（OE2+r2）＝r2﹣OE2，
∴BC2﹣CE2＝DE•CE；
（3）∵OA＝4，
∴OB＝OC＝OA＝4，
∴BC＝＝4，
又∵E是半径OA的中点，
∴AE＝OE＝2，
则CE＝＝＝2，
∵BC2﹣CE2＝DE•CE，
∴（4）2﹣（2）2＝DE•2，
解得：DE＝．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握圆的切线的性质、圆心角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
4．如图，AB是⊙O直径，C为⊙O上一点，且AB＝10，AC＝8．P为⊙O上一个动点，（P，C分别在AB的两侧）CQ⊥PC，交PB的延长线于点Q，
（1）若PQ∥AC，求证：CQ是⊙O的切线．
（2）当PC⊥AB时，求PQ的长．
（3）直接写出点P在运动过程中PQ长的最大值．
【分析】（1）由AB是直径知∠ACB＝90°，结合PQ∥AC知∠CBP＝90°，据此得CP 是直径，继而由CQ⊥PC即可得证；
（2）由PC⊥AB知CE＝CP，利用勾股定理得出BC＝6，根据S△ABC＝AB•CE＝AC •BC求得CE＝＝4.8，据此可得答案；
（3）证△PCQ∽△ACB得＝，即PQ＝＝PC，据此知当CP取得最大值
时，PQ即取得最大值，根据CP为⊙O的直径时取得最大值，可得答案．
【解答】解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵PQ∥AC，
∴∠ACB+∠CBP＝180°，
∴∠CBP＝90°，
∴CP是直径，
∵CQ⊥PC，
∴CQ是⊙O的切线．
（2）∵PC⊥AB，垂足为E，
∴CE＝CP，
∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，
∴BC＝6，
∵S△ABC＝AB•CE＝AC•BC，
∴CE＝＝＝4.8，
∴CP＝2CE＝9.6．
（3）如图，
∵∠P＝∠A，∠PCQ＝∠ACB＝90°，
∴△PCQ∽△ACB，
则＝，
∴PQ＝＝PC，
∴当CP取得最大值时，PQ即取得最大值，
∵CP为⊙O的直径时取得最大值，即CP的最大值为10，
∴PQ的最大值为．
【点评】本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握切线的判定与性质、垂径定理、相似三角形的判定与性质等知识点．
5．如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，点D在BC的延长线上，∠ABC的角平分线与AD交于E点，与AC交于F点，且AE＝AF．
（1）证明直线AD是⊙O的切线；
（2）若AD＝16，sin D＝，求BC的长．
【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠AEF＝∠AFE，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBF，求得∠BAE＝90°，于是得到结论；
（2）设AB＝4k，BD＝5k，得到AD＝3k．求得AB＝，根据三角函数的定义即可得到
结论．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AF＝AE，
∴∠AEF＝∠AFE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵∠CFB＝∠AFE，
∴∠CFB＝∠AEB．
∵∠CFB+∠FBC＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝90°，
即∠BAE＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴直线AD是⊙O的切线；
（2）解：设AB＝4k，BD＝5k，
∴AD＝3k．
∵AD＝16，
∴k＝，
∴AB＝，
∵∠BAD＝∠ACB＝90°，
∴∠D+∠CAD＝∠CAD+∠BAC＝90°，
∴∠D＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝sin D＝．
∵sin∠BAC＝＝，
∴BC＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，正确的识别图形是解题的关键．6．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠ACD＝∠AOC，AD⊥CD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线：
（2）若AB＝10，AD＝2，求cos∠OAC的值．
【分析】（1）由半径OA＝OC，根据等边对等角得到∠OCA＝∠OAC，又根据三角形的内角和定理得到三角形AOC三个内角和等于180°，等量代换得∠AOC+2∠OCA＝
180°，在等式两边同时2，把∠ACD＝∠AOC代入得到∠ACD与∠OCA相加为90°，可得∠DCO为90°，又OC为半径，根据切线的性质可得CD为圆O的切线；
（2）连接BC，根据圆周角定理得到∠B＝∠AOC，求得∠B＝∠ACD，得到∠ACB＝
∠D，根据相似三角形的性质得到AC，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵∠AOC+∠OCA+∠OAC＝180°，
∴∠AOC+2∠OCA＝180°，
∴∠AOC+∠OCA＝90°，
∵∠ACD＝∠AOC，
∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠DCO＝90°，
又∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，
∴∠B＝∠AOC，
∵∠ACD＝∠AOC，
∴∠B＝∠ACD，
∵AD⊥CD，
∴∠D＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠D，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∵AB＝10，AD＝2，
∴AC2＝AB•AD＝20，
∴AC＝2，
∴cos∠OAC＝＝．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，以及切线的判定与性质，利用了转化的思想，证明切线的方法有两种：有点连接圆心与此点，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段长等于圆的半径．
7．如图，AB是⊙O的直径，CH⊥AB于H，AC与⊙O交于D，BD与CH交于E．点F在CH上，DF＝CF．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AB＝10，sin A＝，AD＝DE，求CD的长．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠ODB，根据余角的性质得到∠B＝∠C，求得∠ODF＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据三角函数的定义得到AD＝8，根据勾股定理得到BD＝＝6，根据
全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OD＝OB，
∴∠B＝∠ODB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵CH⊥AB，
∴∠A+∠C＝∠B+∠A＝90°，
∴∠B＝∠C，
∵DF＝CF，
∴∠C＝∠CDF，
∴∠ODB＝∠CDF，
∵∠CDF+∠BDF＝90°，
∴∠ODB+∠BDF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴DF是⊙O的切线；
（2）∵AB＝10，sin A＝，
∴AD＝6，
∴BD＝＝8，
∵AD＝DE，
∴DE＝8，
∵∠ADB＝∠CDE＝90°，∠C＝∠B，
∴△ABD≌△ECD（AAS），
∴CD＝BD＝8．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，余角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠CAB的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线分别交AC，AB的延长线于点E，F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）设AC＝x，AF＝y，试用含x，y的代数式表示线段AD的长；
（3）若BF＝2，sin F＝，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，由OA＝OD知∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE＝∠DAO，据此可得∠DAE＝∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证；
（2）连接CD，由平行线的性质得到∠ABC＝∠F，等量代换得到∠F＝∠ADC，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（3）设⊙O半径为r．解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵EF∥CB，
∴∠E＝∠ACB＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∠OAD＝∠EAD，
∴∠ODA＝∠EAD，
∴EA∥OD，
∴∠ODF＝∠E＝90°，
∴EF是⊙O的切线；
（2）连接CD，
∵EF∥BC，
∴∠ABC＝∠F，
∵∠ABC＝∠ADC，
∴∠F＝∠ADC，
∵∠DAF＝∠CAD，
∴△F AD∽△DAC，
∴，
∴AD2＝F A•CA＝x•y，
即AD＝；
（3）设⊙O半径为r．
在Rt△DOF中，sin F＝＝，即＝，
解得r＝1，
在Rt△ABC中，sin∠ABC＝sin F＝，即＝，
∴AC＝，
又AF＝1+1+2＝4，
由（2）知AD＝＝＝．
【点评】本题考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质、矩形的判定与性质、垂径定理、解直角三角形，熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键．9．如图，已知等边△ABC中，AB＝12．以AB为直径的半⊙O与边AC相交于点D．过点D作DE⊥BC，垂足为E；过点E作EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求EF的长；
（3）求sin∠EFD的值．
【分析】（1）先判断出△AOD是等边三角形，进而得出OD∥BC，即可得出结论；
（2）先求出CD＝6，进而求出CE，即可求出BE，即可得出结论；
（3）先求出OG，DG，再求出BF，即可求出FG，利用勾股定理求出DF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，连接OD，
∴∠A＝∠ADO，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠ADO＝60°，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°＝∠B，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OD∥BC，
∵OA＝OB，
∴AD＝CD，
∵AC＝12，
∴CD＝6，
在Rt△CDE中，∠C＝60°，
∴∠CDE＝30°，
∴CE＝CD＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝9，
在Rt△BEF中，∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴EF＝BE•cos∠BEF＝9×cos30°＝；
（3）如图2，连接DF，OD，过点D作DG⊥AB于G，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠GDF，
∵△AOD是等边三角形，
∴OG＝OA＝3，
∴DG＝OG tan∠AOD＝3，
在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，BE＝9，
∴BF＝BE＝，
∴OF＝OB﹣BF＝6﹣＝
∴FG＝OG+OF＝，
在Rt△DGF中，根据勾股定理得，DF＝＝，∴sin∠EFD＝sin∠GDF＝＝＝．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质和判定，切线的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数，作出辅助线是解本题的关键．
10．如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，⊙O 的弦DE交AB于点F，且DF＝EF．
（1）求证：CO2＝OF•OP；
（2）连接EB交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝4，PB＝4，求GH 的长．
【分析】（1）想办法证明△OFD∽△OCP，可得＝，由OD＝OC，可得结论；
（2）如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．在Rt△POC中，利用勾股定理求出r，再利用面积法求出CM，由四边形EFMC是矩形，求出EF，在Rt△EOF中，求出OF，再求出EC，利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠PCO＝90°，
∵AB是直径，EF＝FD，
∴AB⊥ED，
∴∠OFD＝∠OCP＝90°，
∵∠FOD＝∠COP，
∴△OFD∽△OCP，
∴＝，∵OD＝OC，
∴OC2＝OF•OP．
（2）解：如图作CM⊥OP于M，连接EC、EO．设OC＝OB＝r．
在Rt△POC中，∵PC2+OC2＝PO2，
∴（4）2+r2＝（r+4）2，
∴r＝2，
∵CM＝＝，
∵DC是直径，
∴∠CEF＝∠EFM＝∠CMF＝90°，
∴四边形EFMC是矩形，
∴EF＝CM＝，
在Rt△OEF中，OF＝＝，
∴EC＝2OF＝，
∵EC∥OB，
∴＝＝，
∵GH∥CM，
∴＝＝，
∴GH＝．
【点评】本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11．如图所示，CD为⊙O的直径，AD，AB，EC分别与⊙O相切于点D，E，C（AD＜BC），连接DE并延长与与直线BC相交于点P，连接OB．
（1）求证：BC＝BP；
（2）若DE•OB＝40，求AD•BC的值；
（3）在（2）条件下，若S△ADE：S△PBE＝16：25，求S△ADE和S△PBE．
【分析】（1）连接EC，想办法证明BC＝BE，BE＝BP即可解决问题；
（2）如图2中，连接OA、CE，EC交OB于K．首先证明△OCK∽△OBC，可得OC2＝OK•OB＝DE•OB＝20，再证明△ADO∽△OCB，可得AD•BC＝OD•OC＝OC＝20；（3）由△ADE∽△BPE，可得＝，设DE＝4k，PE＝5k，由△CDE∽△PDC，可得CD2＝DE•DP，即80＝36k2，推出k＝，求出△PEC的面积即可解决问题；
【解答】（1）证明：如图1中，连接EC．
∵BC、BE是⊙O的切线，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵CD是直径，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴∠ECB+∠P＝90°，∠CEB+∠CEB+∠PEB＝90°，
∴∠P＝∠PEB，
∴BE＝PB，
∴BC＝BP．
（2）解：如图2中，连接OA、CE，EC交OB于K．
∵BC＝BE，OC＝OE，
∴OB垂直平分线段EC，
∴∠OKC＝∠OCB＝90°，CK＝EK，
∵OC＝OD，
∴OK＝DE，
∵△OCK∽△OBC，
∴OC2＝OK•OB＝DE•OB＝20，
∵AD、AE是切线，
∴AD＝AE，∵OD＝OE，OA＝OA，
∴△AOD≌△AOE，
∴∠AOD＝∠AOE，同法证明，∠BOE＝∠BOC，
∴∠AOB＝90°，
∵∠AOD+∠BOC＝90°，∠BOC+∠CBO＝90°，
∴∠AOD＝∠CBO，
∵∠ADO＝∠BCO＝90°，
∴△ADO∽△OCB，
∴AD•BC＝OD•OC＝OC2＝20．
（3）如图2中，∵S△ADE：S△PBE＝16：25，AD∥PB，
∴△ADE∽△BPE，
∴＝，设DE＝4k，PE＝5k，
∵△CDE∽△PDC，
∴CD2＝DE•DP，
∴80＝36k2，
∴k＝，
∴DE＝，PE＝，EC＝，
∴S△ECP＝•EC•PE＝，∵BC＝BP，
∴S△PEB＝S△PEC＝，
∴S△ADE＝•S△PEB＝．
【点评】本题考查相似三角的判定和性质、圆周角定理、切线的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若AB＝4，∠ABD＝30°，求阴影部分的面积．
（3）若＝，求证：A为EH的中点．
【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角证明：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，则DH ⊥OD，DH是圆O的切线；
（2）如图，连接AD，解直角三角形得到AD，BD，然后根据圆和三角形的面积公式即可得到结论；
（3）先证明∠E＝∠B＝∠C，得△EDC是等腰三角形，证明△AEF∽△ODF，则＝＝，设OD＝3x，AE＝2x，可得EC＝8x，根据等腰三角形三线合一得：EH＝CH＝4x，
从而得结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵OB＝OD，
∴△ODB是等腰三角形，
∠OBD＝∠ODB①，
在△ABC中，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB②，
由①②得：∠ODB＝∠OBD＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是圆O的切线；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAD＝30°，AB＝4，
∴∠BOD＝60°，
∴AD＝2，BD＝2，
∴阴影部分的面积＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×1×2＝π﹣；
（3）解：如图，在⊙O中，∵∠E＝∠B，
∴由（1）可知：∠E＝∠B＝∠C，
∴△EDC是等腰三角形，
∵＝，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝＝，
设OD＝3x，AE＝2x，
∵AO＝BO，OD∥AC，
∴BD＝CD，
∴AC＝2OD＝6x，
∴EC＝AE+AC＝2x+6x＝8x，
∵ED＝DC，DH⊥EC，
∴EH＝CH＝4x，
∴AH＝EH﹣AE＝4x﹣2x＝2x，
∴AE＝AH，
∴A是EH的中点．
【点评】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质和判定、切线的性质和判定、三角形的中位线、三角形相似的性质和判定、圆周角定理，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，＝，连结AC，过点C作直线l∥AB，点P是直线l上
的一个动点，直线P A与⊙O交于另一点D，连结CD，设直线PB与直线AC交于点E．（1）求∠BAC的度数；
（2）当点D在AB上方，且CD⊥BP时，求证：PC＝AC；
（3）在点P的运动过程中
①当点A在线段PB的中垂线上或点B在线段P A的中垂线上时，求出所有满足条件的∠
ACD的度数；
②设⊙O的半径为6，点E到直线l的距离为3，连结BD，DE，直接写出△BDE的面积．
【分析】（1）只要证明△ABC是等腰直角三角形即可；
（2）只要证明CB＝CP，CB＝CA即可；、
（3）①分四种情形分别画出图形一一求解即可；
②分两种情形如图6中，作EK⊥PC于K．只要证明四边形ADBC是正方形即可解决问题；如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．由△AOQ∽△ADB，可得S
＝，可得S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，再根据S△BDE＝•S△PBD计算即可解决△ABD
问题；
【解答】解：（1）如图1中，连接BC．
∵＝，
∴BC＝CA，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝∠CBA＝45°．
（2）解：如图1中，设PB交CD于K．
∵＝，
∴∠CDB＝∠CDP＝45°，CB＝CA，
∴CD平分∠BDP，又∵CD⊥BP，
∴∠DKB＝∠DKP＝90°，∵DK＝DK，
∴△DKB≌△DKP，
∴BK＝KP，
即CD是PB的中垂线，
∴CP＝CB＝CA．
（3）①（Ⅰ）如图2，当B在P A的中垂线上，且P在右时，∠ACD＝15°；
理由：连接BD、OC．作BG⊥PC于G．则四边形OBGC是正方形，
∵BG＝OC＝OB＝CG，
∵BA＝BA，
∴PB＝2BG，
∴∠BPG＝30°，
∵AB∥PC，
∴∠ABP＝30°，
∵BD垂直平分AP，
∴∠ABD＝∠ABP＝15°，
∴∠ACD＝15°
（Ⅱ）如图3，当B在P A的中垂线上，且P在左，∠ACD＝105°；
理由：作BG⊥CP于G．
同法可证∠BPG＝30°，可得∠APB＝∠BAP＝∠APC＝15°，
∴∠ABD＝75°，
∵∠ACD+∠ABD＝180°，
∴∠ACD＝105°；
（Ⅲ）如图4，A在PB的中垂线上，且P在右时∠ACD＝60°；
理由：作AH⊥PC于H，连接BC．
同法可证∠APH＝30°，可得∠DAC＝75°，∠D＝∠ABC＝45°，∴∠ACD＝60°；
（Ⅳ）如图5，A在PB的中垂线上，且P在左时∠ACD＝120°
理由：作AH⊥PC于H．
同法可证：∠APH＝30°，可得∠ADC＝45°，∠DAC＝60°﹣45°＝15°，∴∠ACD＝120°．
②如图6中，作EK⊥PC于K．
∵EK＝CK＝3，
∴EC＝3，
∵AC＝6，
∴AE＝EC，
∵AB∥PC，
∴∠BAE＝∠PCE，∵∠AEB＝∠PEC，
∴△ABE≌△CPE，
∴PC＝AB＝CD，
∴△PCD是等腰直角三角形，可得四边形ADBC是正方形，
∴S△BDE＝•S正方形ADBC＝36．
如图7中，连接OC，作BG⊥CP于G，EK⊥PC于K．
由题意CK＝EK＝3，PK＝1，PG＝2，
由△AOQ∽△PCQ，可得QC＝，
PQ2＝，
由△AOQ∽△ADB，可得S△ABD＝，
∴S△PBD＝S△ABP﹣S△ABD＝，
∴S△BDE＝•S△PBD＝
综上所，满足条件的△BDE的面积为36或．
【点评】本题考查圆综合题、等腰直角三角形的性质和判定、相似三角形的判定和性质、切线的性质、线段的垂直平分线的性质和判定、直角三角形中30度角的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考压轴题．
14．如图，四边形ABCD内接于⊙O．AC为直径，AC、BD交于E，＝．
（1）求证：AD+CD＝BD；
（2）过B作AD的平行线，交AC于F，求证：EA2+CF2＝EF2；
（3）在（2）条件下过E，F分别作AB、BC的垂线垂足分别为G、H，连GH、BO交于M，若AG＝3，S四边形AGMO：S四边形CHMO＝8：9，求⊙O半径．
【分析】（1）延长DA至W，使AW＝CD，连接WB，证△BCD和△BAW全等，得到△WBD是等腰直角三角形，然后推出结论；
（2）过B作BE的垂线BN，使BN＝BE，连接NC，分别证△AEB和△CNB全等，△BFE 和△BFN全等，将EA，CF，EF三条线段转化为直角三角形的三边，即可推出结论；
（3）延长GE，HF交于K，通过大量的面积法的运用，将AE，CF，EF三条线段用含相同的字母表示出来，再根据第二问的结论求出相关字母的值，再求出AB的值，进一步求出⊙O半径．
【解答】解：（1）延长DA至W，使AW＝CD，连接WB，
∵＝，
∴∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝BC，
∵四边形ABCD内接于⊙O．
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
∵∠BAD+∠WAB＝180°，
∴∠BCD＝∠WAB，
在△BCD和△BAW中，
，
∴△BCD≌△BAW（SAS），
∴BW＝BD，
∴△WBD是等腰直角三角形，
∴AD+DC＝DW＝BD；
（2）如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，则α+β＝45°，过B作BE的垂线BN，使BN＝BE，连接NC，
在△AEB和△CNB中，
，
∴△AEB≌△CNB（SAS），
∴AE＝CN，
∠BCN＝∠BAE＝45°，
∴∠FCN＝90°，
∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，
∴△BFE≌△BFN，
∴EF＝FN，
∵在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，
∴EA2+CF2＝EF2；
（3）如图3，延长GE，HF交于K，
由（2）得EA2+CF2＝EF2，
∴EA2+CF2＝EF2，
∴S△AGE+S△CFH＝S△EFK，
∴S△AGE+S△CFH+S五边形BGEFH＝S△EFK+S五边形BGEFH，
即S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△ABC＝S矩形BGKH，
∴S△GBH＝S△ABO＝S△CBO，
∴S△BGM＝S四边形COMH，S△BMH＝S四边形AGMO，
∵S四边形AGMO：S四边形COMH＝8：9，
∴S△BMH：S△BGM＝8：9，
∵BM平分∠GBH，
∴BG：BH＝9：8，
设BG＝9k，BH＝8k，
∴CH＝3+k，
∴AE＝3，CF＝（k+3），EF＝（8k﹣3），
∴（3）2+[（k+3）]2＝[（8k﹣3）]2，
整理，得7k2﹣6k﹣1＝0，
解得：k1＝﹣（舍去），k2＝1，
∴AB＝12，∴AO＝AB＝6，
∴⊙O半径为6．
【点评】本题考查了图形的旋转，三角形的全等，勾股定理，面积法的运用等，综合性非常强，尤其是第（3）问，解题的关键是数学综合能力要非常强．
15．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝OB，点D是上一动点，点E是CD中点，连接
BD分别交OC，OE于点F，G．
（1）求∠DGE的度数；
（2）若＝，求的值；
（3）记△CFB，△DGO的面积分别为S1，S2，若＝k，求的值．（用含k的式子表示）
【分析】（1）根据等边三角形的性质，同弧所对的圆心角和圆周角的关系，可以求得∠DGE的度数；
（2）根据题意，三角形相似、勾股定理可以求得的值；
（3）根据题意，作出合适的辅助线，然后根据三角形相似、勾股定理可以用含k的式子表示出的值．
【解答】解：（1）∵BC＝OB＝OC，
∴∠COB＝60°，
∴∠CDB＝∠COB＝30°，
∵OC＝OD，点E为CD中点，
∴OE⊥CD，
∴∠GED＝90°，
∴∠DGE＝60°；
（2）过点F作FH⊥AB于点H
设CF＝1，则OF＝2，OC＝OB＝3
∵∠COB＝60°
∴OH＝＝1，
∴HF＝OH＝，HB＝OB﹣OH＝2，
在Rt△BHF中，BF＝＝，
由OC＝OB，∠COB＝60°得：∠OCB＝60°，
又∵∠OGB＝∠DGE＝60°，
∴∠OGB＝∠OCB，
∵∠OFG＝∠CFB，
∴△FGO∽△FCB，
∴，
∴GF＝，
∴；。