8.6.2直线与平面垂直第1课时同步练习高一数学人教A版(2019)必修第二册

8．6.2 直线与平面垂直
第1课时直线与平面垂直的判定
知识点一直线与平面垂直的判定
1.下列说法中正确的个数是( )
①点到平面的距离是指这个点到这个平面的垂线段；
②过一点垂直于已知平面的直线不一定只有一条；
③若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；
④若一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；
⑤若一条直线与一个平面内无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
知识点二直线与平面所成的角
3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆有可能
5．如图，已知正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为( )
A．60° B．30° C．45° D．90°
知识点三直线与平面垂直的证明
6．如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD为菱形，PA＝PC，
PB＝PD，AC∩BD＝O.
求证：(1)PO⊥平面ABCD；
(2)AC⊥平面PBD.
7．如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.
一、选择题
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β
2．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( )
A．40° B．50° C．90° D．150°
3．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是( )
A．② B．①③ C．②④ D．③
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点A到平面A1DCB1的距离是( )
A. 3
B. 2
C.
2
2
D．2
5. (多选)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点，则( )
A．EF∥平面A1B1BA
B．AE⊥平面BCB1
C．∠A1B1M为直线A1B1与平面BCB1所成的角
D．直线A1B1与平面BCB1所成角为45°
二、填空题
6．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD
的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．
7. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.其中正确的结论是________．
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等．若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为________．
三、解答题
9. 如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC ⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．
10．如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)连接AP，PF，其中PF＝2 5.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求点A到平面PBE的距离．
8．6.2 直线与平面垂直
第1课时直线与平面垂直的判定
知识点一直线与平面垂直的判定
1.下列说法中正确的个数是( )
①点到平面的距离是指这个点到这个平面的垂线段；
②过一点垂直于已知平面的直线不一定只有一条；
③若一条直线与一个平面内两条相交直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；
④若一条直线与一个平面内任意一条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面；
⑤若一条直线与一个平面内无数条直线垂直，则这条直线垂直于这个平面．
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析由点到平面的距离的概念及直线与平面垂直的判定定理和定义知正确的是③④，故选B.
2．如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系不正确的是( )
A．PA⊥BC B．BC⊥平面PAC
C．AC⊥PB D．PC⊥BC
答案 C
解析由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，可知PA⊥BC，故排除A.由题意可知BC⊥AC，PA⊥BC.因为PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，AC∩PA＝A，所以BC⊥平面PAC，故排除B.结合B，根据直线与平面垂直的定义知BC⊥PC，故排除D.故选C.
知识点二直线与平面所成的角
3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 C
解析如下图所示，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，
则BC＝1
2
AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．
4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．以上皆有可能
答案 D
解析在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC 与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面．
5．如图，已知正四棱锥P－ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为( )
A．60° B．30° C．45° D．90°
答案 A
解析在正四棱锥P－ABCD中，根据底面积为6，可得BC＝ 6.如图，连接BD，与AC交于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P－ABCD的高．根据棱锥的体积公式，可得PO＝1.因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又BD⊥AC.PO∩AC＝O，所以BD⊥平面PAC.连接EO，则∠BEO为直线BE与平面PAC所成的角．在Rt△POC
中，因为PO＝1，OC＝3，所以PC＝2，OE＝1
2
PC＝1.在Rt△BOE中，因为BO＝3，
所以tan∠BEO＝BO
OE
＝3，所以∠BEO＝60°，即直线BE与平面PAC所成的角为
60°.
知识点三直线与平面垂直的证明6．如图，在四棱锥P－ABCD中，
底面ABCD为菱形，PA＝PC，
PB＝PD，AC∩BD＝O.
求证：(1)PO⊥平面ABCD；
(2)AC⊥平面PBD.
证明(1)∵四边形ABCD为菱形，AC∩BD＝O，
∴O为AC的中点，又PA＝PC，∴PO⊥AC.同理可证PO⊥BD.
又AC⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
AC∩BD＝O，∴PO⊥平面ABCD.
(2)由(1)知AC⊥PO，
又四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
又BD⊂平面PBD，PO⊂平面PBD，
PO∩BD＝O，∴AC⊥平面PBD.
7．如图，在四面体A－BCD中，∠BDC＝90°，AC＝BD＝2，E，F分别为AD，BC的中点，且EF＝ 2.求证：BD⊥平面ACD.
证明取CD的中点为G，连接EG，FG.
∵F，G分别为BC，CD的中点，∴FG∥BD.
又E为AD的中点，AC＝BD＝2，则EG＝FG＝1.
∵EF＝2，∴EF2＝EG2＋FG2，
∴EG⊥FG，∴BD⊥EG.
∵∠BDC＝90°，∴BD⊥CD.
又EG⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，EG∩CD＝G，
∴BD⊥平面ACD.
一、选择题
1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m⊥β的是( )
A．α∥β，且m⊂α B．m∥n，且n⊥β
C．m⊥n，且n⊂β D．m⊥n，且n∥β
答案 B
解析A中，由α∥β，且m⊂α，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β内的任意直线，再由m∥n，知m也垂直于β内的任意直线，所以m⊥β，B符合题意；C，D中，m⊂β或m∥β或m与β相交，不符合题意．故选B.
2．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于( )
A．40° B．50° C．90° D．150°
答案 B
解析根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.
3．给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：
①l垂直于α内的一五边形的两条边；
②l垂直于α内三条不都平行的直线；
③l垂直于α内无数条直线；
④l垂直于α内正六边形的三条边．
其中能够推出l⊥α的条件的所有序号是( )
A．② B．①③ C．②④ D．③
答案 C
解析如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．①③都有可能垂直的是平面α内的平行直线，不能推出l⊥α.故选C.
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，则点A到平面A1DCB1的距离是( )
A. 3
B. 2
C.
2
2
D．2
答案 B
解析如图，连接AD1，交A1D于点O，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面
ADD
1A
1
，∵AD1⊂平面ADD1A1，∴AD1⊥CD.在正方形ADD1A1中，AD1⊥A1D，∵CD∩A1D
＝D，∴AD1⊥平面A1DCB1，垂足为O，则AO的长即为所求，AO＝2AB
2
＝ 2.故选
B.
5. (多选)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝25，AA1＝7，BB1＝27，点E和F分别为BC和A1C的中点，则( )
A．EF∥平面A1B1BA
B．AE⊥平面BCB1
C．∠A1B1M为直线A1B1与平面BCB1所成的角
D．直线A1B1与平面BCB1所成角为45°
答案AB
解析如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA，故A 正确；因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1，故B正确；取BB1的中点M和B1C的中点N，连
接A1M，A1N，NE.因为N和E分别为B1C和BC的中点，所以NE∥B1B，NE＝1
2
B
1
B，
故NE∥A1A且NE＝A1A，所以A1N∥AE，且A1N＝AE.又因为AE⊥平面BCB1，所以A1N ⊥平面BCB1，从而∠A1B1N为直线A1B1与平面BCB1所成的角，故C错误；在△ABC 中，可得AE＝2，所以A1N＝AE＝2.因为BM∥AA1，BM＝AA1，所以四边形MBAA1为平行四边形，所以A1M∥AB，A1M＝AB，又由AB⊥BB1，得A1M⊥BB1.在Rt△A1MB1中，
可得A1B1＝B1M2＋A1M2＝4.在Rt△A1NB1中，sin∠A1B1N＝A
1
N
A
1
B
1
＝
1
2
，因此∠A1B1N＝
30°.所以，直线A1B1与平面BCB1所成的角为30°，故D错误．故选AB.
二、填空题
6．在正方体A1B1C1D1－ABCD中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD 的中心(如图)，则EF与平面BB1O的关系是________．
答案垂直
解析由正方体性质知AC⊥BD，BB1⊥AC，∵E，F是棱AB，BC的中点，∴EF ∥AC，∴EF⊥BD，EF⊥BB1，又BD∩BB1＝B，
∴EF⊥平面BB1O.
7. 如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，给出下列结论：
①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABD所成的角等于SC与平面ABD所成的角；④AC⊥SO.其中正确的结论是________．
答案①②③④
解析∵SD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，而SB⊂平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SDC，CD⊂平面SDC，∴AB∥平面SCD，故②正确；∵SD
⊥平面ABCD，∴SA在底面上的射影为AD，SC在底面上的射影为DC，∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，SC与底面ABCD所成的角为∠SCD，∵AD＝CD，SD⊥AD，SD⊥DC，∴∠SAD＝∠SCD，故③正确；∵AC⊥平面SBD，而SO⊂平面SBD，∴AC ⊥SO，故④正确．
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等．若点A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为________．
答案
2 3
解析如图，设A1在底面
ABC内的射影为O，O为△ABC的中心，OA＝OB＝OC，
则AA1＝A1B＝A1C.连接AB1，A1B，设AB1∩A1B＝E，则E为A1B的中点．取OB的中点D，连接ED，AD，则ED∥A1O.由题意知A1O⊥平面ABC，所以ED⊥平面ABC.则∠EAD即为AB1与底面ABC所成的角．设三棱柱ABC－A1B1C1的棱长为a，则OA＝OB
＝
3
3
a.在Rt△AA
1
O中，A
1
O＝AA2
1
－OA2＝
6
3
a，ED＝
1
2
A
1
O＝
6
6
a.在正三角形AA
1
B
中，AE＝
3
2
a，在Rt△ADE中，sin∠EAD＝
ED
AE
＝
6
6
a
3
2
a
＝
2
3
，即AB1与底面ABC所
成的角的正弦值为
2 3
.
三、解答题
9. 如图，正方形ACDE的边长为2，AD与CE的交点为M，AE⊥平面ABC，AC ⊥BC，且AC＝BC.
(1)求证：AM⊥平面EBC；
(2)求直线EC与平面ABE所成角的正切值．解(1)证明：∵AE⊥平面ABC，
∴AE⊥BC.
又AC⊥BC，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACDE，∴BC⊥平面ACDE，
又AM⊂平面ACDE，∴BC⊥AM.
∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥CE.
又BC∩CE＝C，∴AM⊥平面EBC.
(2)取AB的中点F，连接CF，EF.
∵AE⊥平面ABC，CF⊂平面ABC，∴EA⊥CF. 又AC＝BC，∴CF⊥AB.
∵EA∩AB＝A，∴CF⊥平面AEB，
∴∠CEF为直线EC与平面ABE所成的角．
在Rt△CFE中，分析知CF＝2，FE＝6，
∴tan∠CEF＝2
6
＝
3
3
.
10．如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)连接AP，PF，其中PF＝2 5.
(1)求证：PF⊥平面ABED；
(2)在线段PA上是否存在点Q，使得FQ∥平面PBE？若存在，求出点Q的位置；若不存在，请说明理由；
(3)求点A到平面PBE的距离．
解(1)证明：连接EF，由题意知，PB＝BC＝6，PE＝CE＝9，
在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，
所以PF⊥BF.
易得EF＝62＋12－3－42＝61，
在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF.
又BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.
(2)存在，当Q为PA的三等分点(靠近P)时，FQ∥平面PBE.
理由如下：
因为AQ＝2
3
AP，AF＝
2
3
AB，所以FQ∥BP，
又FQ⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以FQ∥平面PBE.
(3)由(1)知PF⊥平面ABED，连接AE，
则PF为三棱锥P－ABE的高．
设点A到平面PBE的距离为h，
由等体积法得V A－PBE＝V P－ABE，
即1
3
×S△PBE×h＝
1
3
×S△ABE×PF.
又S△PBE＝1
2
×6×9＝27，S△ABE＝
1
2
×12×6＝36，
所以h＝S
△ABE
·PF
S
△PBE
＝
36×25
27
＝
85
3
即点A到平面PBE的距离为85 3
.。