2019年黄浦区初三二模数学卷及答案

黄浦区2019年九年级学业考试模拟考
数学试卷 2019年4月
（考试时间：100分钟 总分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题；
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上.】 1．下列自然数中，素数是（ ▲ ） （A ）1； （B ）2； （C ）4； （D ）9．
2．下列运算正确的是（ ▲ ） （A ）5
3
2)(a a =； （B ）532a a a =⋅； （C ） a a 4)2(2=； （D ）2
36a a a =÷.
3．反比例函数x
m
y =
的图像在第二、四象限内，则点(),1m -在（ ▲ ） （A ）第一象限；
（B ）第二象限；
（C ）第三象限；
（D ）第四象限.
4．为了了解某校九年级400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析.在这项调查中，样本是指（ ▲ ） （A ）400名学生；
（B ）被抽取的50名学生；
（C ）400名学生的体重； （D ）被抽取的50名学生的体重．
5．下列等式成立的是（ ▲ ） （A ）()
a a --=；
（B ）()
0a a +-=； （C ）a b b a -=-； （D ）0a a -=．
6．半径分别为1和5的两个圆相交，它们的圆心距可以是（ ▲ ） （A ）3； （B ）4； （C ）5； （D ）6．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7= ▲ ．
8．因式分解：2
9a -= ▲ ．
93=的解是x = ▲ ． 10．直线23y x =-的截距是 ▲ .
11．不等式组25,30x x >⎧⎨-<⎩
的解集是 ▲ .
B
A
C
B 1
A 1
E
图3
D
A
图1
12．如果关于x 的方程()22210x m x m --+=没有实数根，那么m 的取值范围是 ▲ ． 13．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面分别标有1到6的点数，向上的一面出现的点数是2
的倍数的概率是 ▲ ．
14．秋季新学期开学时，某中学对六年级新生掌握“中学生日常
行为规范”的情况进行了知识测试，测试成绩全部合格，现学校随机选取了部分学生的成绩，整理并制作成了不完整的图表（如表1所示），图表中c = ▲ ．
15．正九边形的中心角等于 ▲ °．
16．如图1，点O 是ABC ∆的重心，过点O 作DE ∥AB ，分别交AC 、BC 于点D 、E ，如果AB a =，
那么DO = ▲ (结果用a 表示)． 17．如图2，函数()12
0y x x
=
>的图像经过OAB ∆的顶点B 和边AB 的中点C ，如果点B 的横坐标为3，则点C 的坐标为 ▲ ．
18．如图3，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3
sin 5
B =
，将ABC ∆绕顶点C 顺时针旋转，得到11A B C ∆ ，点A 、B 分别与点1A 、1B 对应，边11A B 分别交边AB 、BC 于点D 、E ，如果点E 是边11A B 的中点，那么1BD
B C
= ▲ ．
三、解答题：（本大题共7
题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：
()1
3271-+-
.
分 数 段 频数 频率
60≤x ＜70 6 a
70≤x ＜80 20
80≤x ＜90 15
b
90≤x ≤100
c
表1
20．（本题满分10分）
解方程：22161242x x x x +-=
--+．
21．（本题满分10分）如图4，已知
O 是ABC ∆的外接圆，圆心O 在ABC ∆的外部，4AB AC ==
，
BC =，求O 的半径.
22．（本题满分10分）A 、B 两地相距30千米，已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A 地出发前往
B 地，途中乙因修车耽误了些时间，然后又继续赶路.图5中的线段OM 和折线OCDE 分别反映了甲、
乙两人所行的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系，根据图像提供的信息回答下列问题： （1）甲骑自行车的速度是 ▲ 千米/分钟； （2）两人第二次相遇时距离A 地 ▲ 千米； （3）线段DE 反映了乙修好车后所行的路程y （千米）
与时间x （分）的函数关系.请求出线段DE 的表达式及其定义域.
23．（本题满分12分）如图6，已知四边形ABCD ，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于点O ，DO =BO ，过点C
作CE ⊥AC ，交BD 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，且满足DCE ACB ∠=∠. （1）求证：四边形ABCD 是矩形；
（2）求证：DE AD EF CD
=
.
图4
A
B
C D
E
F
图6
O
24．（本题满分12分）如图7，已知抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0O 、()2,0A ，直线2y x =经
过抛物线的顶点B ，点C 是抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，联结BC 、OC 、AB ，过点C 作CE ∥x 轴，分别交线段OB 、AB 于点E 、F . （1）求抛物线的表达式；
（2）当BC CE =时，求证：BCE ∆∽ABO ∆； （3）当CBA BOC ∠=∠时，求点C 的坐标.
25．（本题满分14分）已知四边形ABCD 中，AD ∥BC ，2ABC C ∠=∠，点E 是射线AD 上一点，点F 是
射线DC 上一点，且满足BEF A ∠=∠.
（1）如图8，当点E 在线段AD 上时，若AB=AD ，在线段AB 上截取AG=AE ，联结GE .
求证：GE=DF ；
（2）如图9，当点E 在线段AD 的延长线上时，若AB =3，AD =4，1
cos 3
A =，设AE x =，DF y =，求y
关于x 的函数关系式及其定义域；
（3）记BE 与CD 交于点M ，在（2）的条件下，若△EMF 与△ABE 相似，求线段AE 的长.
D A B
C
E
F 图9
A
B
C
E F G D
图8
黄浦区2019年九年级学业考试模拟考评分标准参考
一、选择题（本大题6小题，每小题4分，满分24分） ； ； ； ； ； . 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．2；8．()()33a a +-； 9．8； 10．3-； 11．
532x <<； 12．1
4m >；13．12
；14．9；15．40；
16.1
3a ．；17．()6,2；18．35
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19
．
解
：
原
式
=
311-+-，
-----------------------------------------------------------------（6分）
=
232-+，
----------------------------------------------------------------------------（2分）
=3-.-------------------------------------------------------------------------------------（2分） 20.
解
：
去
分
母
得
()
2
2162x x +-=-，
---------------------------------------------------------------（3分）
化
简
得
23100
x x +-=，
-----------------------------------------------------------------（3分）
解
得
12
x =，
25x =-.----------------------------------------------------------------------------------（2分）
经
检
验
12
x =是增根，∴原方程的根是
5x =-.-------------------------------------------------（2分）
21.
解：联结AO ，交BC 于点D ，联
结
BO .
----------------------------------------------------------（1分）
∵AB=AC ，
∴
AB AC =，
------------------------------------------------------------------------------（1分） 又AO 是半径，∴AO ⊥BC ，BD=CD .
---------------------------------------------------------------（2分）
∵
BC =，
∴BD =，
-------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴在Rt ABD ∆中，90ADB ∠=︒，∴222BD AD AB +=，---------------------------------------（1分） 又
AB =4
，
∴2AD =.----------------------------------------------------------------------------------------（1分）
设
半径为r .在Rt BDO
∆中，∵
222
BD DO BO +=，
-----------------------------------------------（1分）
∴
(
()2
2
2
+2r r -=，
-------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴4
r =. --------------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴O 的半径为4.
22. 解：（1）1
4
，（2分）； （2）20，（2分）；
（3）设线段DE 的表达式为
()0y kx b k =+≠.-------------------------------------------------------（1分）
∵
线
段
DE 经过点
()
50,10D 和
()
80,20，
----------------------------------------------------------------（1分） ∴
5010,
8020
k b k b +=⎧⎨
+=⎩，
∴1,320.3k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
-----------------------------------------------------------------------------（2分）
∴()120
5011033
y x x =-≤≤.---------------------------------------------------------------------------（2分） 23.证明：（1）∵AD ∥BC ，∴
AD DO
BC BO
=
，∵DO =BO ，∴AD BC =，--------------------（2分） ∴四边形ABCD 是平行四边形. ------------------------------------------------------------------------（1分） ∵CE ⊥AC ，∴90ACD DCE ∠+∠=︒，
∵DCE ACB ∠=∠，∴90ACB ACD ∠+∠=︒，即90BCD ∠=︒，------------------------（2分） ∴四边形ABCD 是矩形. --------------------------------------------------------------------------------------（1分）
（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，90ADC ∠=︒---------------------------------------（2分） ∵AD ∥BC ，∴
DE EF
BD FC =.--------------------------------------------------------------------------------（1分）
∴DE EF
AC FC
=
，------------------------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴DE AC EF FC
=，∵90ADC ACF ∠=∠=︒， ∴cot AC AD
DAC FC CD
∠==
，----------------------------------------------------------------------------------（1分） ∴
DE AD
EF CD
=.--------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）
24.解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过原点()0,0O 、()2,0A ，∴对称轴为1x =， ∵
直
线
2y x =经过抛物线的顶点B ，∴
()1,2B .--------------------------------------------------------（1分） 设
()2
12
y a x =-+，
--------------------------------------------------------------------------------------------（2分） ∵
抛
物
线
经
过
原
点
()
0,0O ，∴2a =-，
∴224y x x =-+.------------------------------------------（1分）
（2）∵BC CE
=，∴BEF CBE ∠=∠，------------------------------------------------------------（1分）
∵CE
∥x 轴，∴BEF BOA ∠=∠，
-------------------------------------------------------------------（1分）
∵()1,2B ，()2,0A ，∴OB AB ==BOA BAO ∠=∠，-----------------------------（1分） ∴CBE BEF BOA BAO ∠=∠=∠=∠，∴BCE ∆∽ABO ∆，--------------------------------------（1分）
（3）记CE 与y 轴交于点M ，过点B 作BN ⊥CE ，垂足为点N .设()
2,24C m m m -+.
∵BEF BOC ECO ∠=∠+∠，BFE CBA BCE ∠=∠+∠，
又CBA BOC ∠=∠，BEF BFE ∠=∠，∴ECO BCE ∠=∠，-------------------------------------（1分）
∴tan tan ECO BCE ∠=∠.
∵CE ∥x 轴，x 轴⊥y 轴，∴90OMC BNC ∠=∠=︒，∴
OM BN
CM CN
=
，-----------------（1分） ∴22242241m m m m m m -++-=
-，∴11m =（舍），232m =，∴33,22C ⎛⎫
⎪⎝⎭
.-------------------（2分） 25.解：（1）∵AG AE =，∴1802
A
AGE ︒-∠∠=.∵AD ∥BC ，∴180A ABC ∠+∠=︒， ∵2ABC C ∠=∠，∴1802
A
C ︒-∠∠=
，∴AGE C ∠=∠，---------------------------------（1分） ∵AD ∥BC ，∴180D C ∠+∠=︒，又180BGE AGE ∠+∠=︒，∴BGE D ∠=∠.----------（1分） ∵BEF FED A GBE ∠+∠=∠+∠，∵BEF A ∠=∠，∴FED GBE ∠=∠.--------------（1分） 又AB=AD ，AG=AE ，∴BG=ED ，∴GBE ∆≌DEF ∆，∴GE=DF. --------------------------（1分） （
2
）
在
射
线
AB 上截取AH=AE ，联结EH .
------------------------------------------------------------（1分）
∵HBE A AEB ∠=∠+∠，DEF BEF AEB ∠=∠+∠，又BEF A ∠=∠，∴HBE DEF ∠=∠.
∵AD ∥BC ，∴EDC C ∠=∠，180A ABC ∠+∠=︒.∵AH=AE ，∴1802
A
H ︒-∠∠=， 又2ABC C ∠=∠，∴H C ∠=∠，∴H EDC ∠=∠，∴BHE ∆∽EDF ∆.-------------------（1分）
∴BH EH
ED DF
=
.过点H 作HP ⊥AE ，垂足为点P .∵1cos 3A =，AE AH x ==， ∴13AP x =
，3PH x =，2
3
PE x =
，∴3EH x =.-------------------------------------（1分）
∵AB =3，AD =4，AE x =，DF y =
，∴334x x y -=-
，∴)4y x =>.（2分） （3）记EH 与BC 相交于点N .
∵EMF ∆∽ABE ∆，BEF A ∠=∠，∴AEB EMF ∠=∠，或AEB EFM ∠=∠.-------------（1分） 若AEB EMF ∠=∠，又AEB EMF ∠<∠，矛盾，∴此情况不存在. -----------------------------（1分）
若AEB EFM ∠=∠，∵BHE ∆∽EDF ∆，∴BEH EFM ∠=∠，∴AEB BEH ∠=∠.------（1分） ∵AD ∥BC ，∴AEB EBC ∠=∠，∴BEH EBC ∠=∠，∴3BN EN BH x ===-, ∵AD ∥BC ，∴
AB EN
AH EH =
，∴3x
，∴3x =+.----------------------------------（2分）
∴线段AE
的长为3.
(以上各题若有其他解法，请按评分参考按步给分)。