2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷(附答案详解)

2021年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1=3+4i，则z1z2=()
A. 25
B. −25
C. 7−24i
D. −7−24i
2.设集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.已知a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，与a⃗，b⃗ 共面的向量c⃗满足a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗=2，则c⃗的
模为()
A. 1
B. √2
C. 2
D. 2√2
4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1
时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为R0，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，这N人中有V个人接种过疫苗(V
称为接种率)，那么1个感染者新
N
(N−V).已知新冠病毒在某地的基本传染数R0=2.5，为了使1个的传染人数为R0
N
感染者传染人数不超过1，该地疫苗的接种率至少为()
A. 40%
B. 50%
C. 60%
D. 70%
5.计算2cos10°−sin20°
所得的结果为()
cos20∘
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
6.密位制是度量角的一种方法.把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角.以密
位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制.在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如7密位写成“0−07”，478密位写成“4−
78.1周角等于6000密位，记作1周角=60−00，1直角=15−00.如果一个半径为
π，则其圆心角用密位制表示为()
2的扇形，它的面积为7
6
A. 12−50
B. 17−50
C. 21−00
D. 35−00
7. 已知双曲线C ：
x 2a 2
−
y 2b 2
=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作倾
斜角为θ的直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，且cosθ=1
4.若|AB|=|AF 1|，则双曲线C 的离心率为( )
A. 4
B. √15
C. 3
2
D. 2
8. 已知f(x)是定义在R 上的奇函数，其导函数为f′(x)，且当x >0时，f′(x)⋅lnx +
f(x)x
>0，则不等式(x 2−1)f(x)<0的解集为( )
A. (−1,1)
B. (−∞,−1)∪(0,1)
C. (−∞,−1)∪(1,+∞)
D. (−1,0)∪(1,+∞)
二、不定项选择题（本大题共4小题，共20.0分）
9. 对于两条不同直线m ，n 和两个不同平面α，β，下列选项中正确的为( )
A. 若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥n
B. 若m//α，n//β，α⊥β，则m ⊥n 或m//n
C. 若m//α，α//β，则m//β或m ⊂β
D. 若m ⊥α，m ⊥n ，则n//α或n ⊂α
10. 已知a >b >0，下列选项中正确的为( )
A. 若√a −√b =1，则a −b <1
B. 若a 2−b 2=1，则a −b <1
C. 若2a −2b =1，则a −b <1
D. 若log 2a −log 2b =1，则a −b <1
11. 已知函数f(x)=√|sinx|+√|cosx|，则( )
A. f(x)是周期函数
B. f(x)的图象必有对称轴
C. f(x)的增区间为[kπ,kπ+π
2],k ∈Z D. f(x)的值域为[1,√84]
12. 已知n ∈N ∗，n ≥2，p +q =1，设f(k)=C 2n k p k q
2n−k ，其中k ∈N ，k ≤2n ，则( ) A. ∑f 2n k=0(k)=1
B. ∑k 2n k=0f(k)=2npq
C. 若np =4，则f(k)≤f(8)
D. ∑f n k=0(2k)<1
2<∑f n k=1(2k −1)
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 某班4名同学去参加3个社团，每人只参加1个社团，每个社团都有人参加，则满
足上述要求的不同方案共有______ 种.(用数字填写答案)
14.已知椭圆x2
4+y2
3
=1的右顶点为A，右焦点为F，以A为圆心，R为半径的圆与椭
圆相交于B，C两点，若直线BC过点F，则R的值为______ ．
15.在四棱锥P−ABCD中，PA⊥面ABCD，四边形ABCD是边长为2的正方形，且PA=
2.若点E、F分别为AB，AD的中点，则直线EF被四棱锥P−ABCD的外接球所截
得的线段长为______ ．
16.牛顿选代法又称牛顿−拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近
似求解方程根的一种方法.具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点(x0,f(x0))作曲线y=f(x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1次近似值；过点(x1,f(x1))作曲线y=f(x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2次近似值.一般的，过点
(x n,f(x n))(n∈N)作曲线y=f(x)的切线l n+1，记l n+1与x轴交点的横坐标为x n+1，并称x n+1为r的n+1次近似值.设f(x)=x3+x−1(x≥0)的零点为r，取x0=0，
则r的2次近似值为______ ；设a n=3x n3+x n
2x n3+1
，n∈N∗，数列{a n}的前n项积为T n.若任意n∈N∗，T n<λ恒成立，则整数λ的最小值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.在①b=√3a；②a=3cosB；③asinC=1这三个条件中任选一个，补充在下面
问题中.若问题中的三角形存在，求该三角形面积的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在△ABC，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinB−sin(A−
C)=√3sinC，c=3，_____？
18.已知等比数列{a n}的前n项和S n=2n+r，其中r为常数．
(1)求r的值；
(2)设b n=2(1+log2a n)，若数列{b n}中去掉数列{a n}的项后余下的项按原来的顺
序组成数列{c n}，求c1+c2+c3+⋯+c100的值．
19. 某公司对项目A 进行生产投资，所获得的利润有如下统计数据表：
项目A 投资金额x (单位：百万元) 1
2
3
4
5
所获利润y (单位：百万元)
0.3 0.3 0.5 0.9 1
(1)请用线性回归模型拟合y 与x 的关系，并用相关系数加以说明；
(2)该公司计划用7百万元对A ，
B 两个项目进行投资.若公司对项目B 投资x(1≤x ≤6)百万元所获得的利润y 近似满足：y =0.16x −0.49
x+1+0.49，求A ，B 两个项目投资金额分别为多少时，获得的总利润最大？
附：①对于一组数据(x 1,y 1)，(x 2,y 2)，……，(x n ,y n )，其回归直线方程y ̂
=b ̂
x +a ̂
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：b ̂
=∑x i n i=1y i −nx −⋅y
−
∑x i 2n i=1−nx
−
2，a ̂
=y −−b ̂
x −．
②线性相关系数r =x i n i=1y i −nx −⋅y
−
√
(∑x i i=1−nx −2)(∑y i i=1−ny −2)
.一般地，相关系数r 的绝对值在0.95以
上(含0.95)认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
参考数据：对项目A 投资的统计数据表中∑x i n i=1y i =11，∑y i 2
n i=1=2.24，
√4.4≈2.1．
20. 如图，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都为2，B 1C =
√6，AB ⊥B 1C .
(1)求证：平面ABB 1A 1⊥平面ABC ；
(2)若点P 在棱BB 1上且直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为4
5，求BP 的长
21. 已知直线l ：y =x +m 交抛物线C ：y 2=4x 于A ，B 两点．
(1)设直线l 与x 轴的交点为T.若AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数m 的值； (2)若点M ，N 在抛物线C 上，且关于直线l 对称，求证：A ，B ，M ，N 四点共圆．
22. 已知函数f(x)=e x −axsinx −x −1，x ∈[0,π]，a ∈R ．
(1)当a =1
2时，求证：f(x)≥0；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a 的取值范围．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵z1=3+4i，且复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，
∴z2=3−4i，则z1z2=(3+4i)(3−4i)=32−(4i)2=9+16=25，
故选：A．
由已知求得z2，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】C
【解析】解：集合A，B是全集U的两个子集，由A∩B=⌀，能够推出A⊆∁U B，
由A⊆∁U B，能够推出A∩B=⌀，
故集合A，B是全集U的两个子集，则“A∩B=⌀”是“A⊆∁U B”的充要条件，
故选：C．
根据集合的运算和定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题考查了充要条件的判定、集合的运算以及子集的定义，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：∵a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，
∴不妨设a⃗=(1,0)，b⃗ =(0,1)，
设c⃗=(x,y)，
则由a⃗⋅c⃗=b⃗ ⋅c⃗=2，得x=y=2，
即c⃗=(2,2)，则c⃗的模长为|c⃗|=√22+22=√8=2√2，
故选：D．
根据a⃗，b⃗ 是相互垂直的单位向量，利用坐标法，利用数量积公式，建立方程，进行求解即可．
本题主要考查向量模长的计算，根据条件转化为坐标，利用坐标法是解决本题的关键，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：为了使1个感染者传染人数不超过1，
只需R0
N (N−V)≤1，即R0⋅N−V
N
≤1，所以R0(1−V
N
)≤1，
由题意可得R0=2.5，所以2.5(1−V
N
)≤1，
解得V
N
≥0.6=60%，
故选：C．
根据已知建立不等式关系即R0
N
(N−V)≤1，然后由R0=2.5，即可求解．本题考查了函数的实际应用，考查了学生的分析问题的能力，属于基础题．5.【答案】C
【解析】解：2cos10°−sin20°
cos20=2cos(300−20°)−sin20°
cos20
=√3cos200
cos20
=√3，
故选：C．
将100拆成300−200.利用差角的余弦求解即可．
本题主要考查两角差的余弦公式的运用，正确记住公式是关键，属于基础题．6.【答案】B
【解析】解：面积为7
6π，半径为2的扇形所对的圆心角弧度数大小为θ=2π⋅S
πr2
=2π⋅
7π
6 4π=7π
12
，
由题意可知，其密位大小为6000×7π
12
2π
=1750，
所以用密位制表示为17−50．
故选：B．
先利用扇形的面积公式求出圆心角的弧度数，然后利用题中给出的密位制的定义求解即可．
本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，考查了转化化归能力，属于基础题．
7.【答案】D
【解析】解：由双曲线的定义知，|AF1|−|AF2|=2a，
∵|AB|=|AF1|，
∴|AF2|+|BF2|=|AF1|，即|AF1|−|AF2|=|BF2|=2a，
∴|BF1|=|BF2|+2a=4a，
在△BF1F2中，由余弦定理知，cosθ=|BF2|2+|F1F2|2−|BF1|2
2|BF2|⋅|F1F2|
，
∴1
4=4a2+4c2−16a2
2⋅2a⋅2c
=c2−3a2
2ac
，
∴2c2−ac−6a2=0，
∵e=c
a
>1，
∴2e2−e−6=0，解得e=2或−3
2
(舍)，
∴双曲线C的离心率为2．
故选：D．
由双曲线的定义，可得|BF2|=2a，|BF1|=4a，在△BF1F2中，由余弦定理可得2c2−ac−
6a2=0，再由e=c
a
>1，即可得解．
本题考查双曲线的定义与几何性质，还运用了余弦定理，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：令g(x)=f(x)lnx，则g′(x)=f′(x)lnx+f(x)
x
>0，
∴g(x)在(0,+∞)时单调递增，又g(1)=f(1)ln1=0，
∴x∈(0,1)时，g(x)<0，x∈(1,+∞)时，g(x)>0，
当x∈(0,1)时，lnx<0，g(x)<0，∴f(x)>0，
x∈(1,+∞)时，lnx>0，g(x)>0，∴f(x)>0，
∴f(x)>0在(0,+∞)上恒成立，
又f(x)是奇函数，f(0)=0，
∴f(x)<0在(−∞,0)上恒成立，
①当x>0时，f(x)>0，∴x2−1<0，即0<x<1，
②当x<0时，f(x)<0，∴x2−1>0，即x<−1，
由①②得不等式的解集是(−∞,−1)∪(0,1)，
故选：B．
令g(x)=f(x)lnx，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：由两条不同直线m，n和两个不同平面α，β，知：
对于A，若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直，故A正确；
对于B，若m//α，n//β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
对于C，若m//α，α//β，则由线面平行、面面平行的性质得m//β或m⊂β，故C正确；对于D，若m⊥α，m⊥n，则由线面垂直的性质得n//α或n⊂α，故D正确．
故选：ACD．
对于A，由线面垂直、面面垂直的性质得m，n一定垂直；对于B，m与n相交、平行或异面；对于C，由线面平行、面面平行的性质得m//β或m⊂β；对于D，由线面垂直的性质得n//α或n⊂α．
本题考查命题真假的判断，涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．
10.【答案】BC
【解析】解：A：当a=9，b=4时，满足√a−√b=1，但a−b=5>1，∴A错误，B：若a2−b2=1，则a2−1=b2，即(a+1)(a−1)=b2，
∵a+1>a−1，∴a−1<b，即a−b<1，∴B正确，
C：若2a−2b=1，则a−b=log2(2b+1)−b=log2(1+2−b)，由于b>0，
所以0<2−b<1，所以a−b<log22=1，故C正确，
=1，则a=2b即可，当a=4，b=2，a−b=2>1，故D：若log2a−log2b=log2a
b
D错误．
故选：BC．
直接利用不等式的性质，赋值法，作差法的应用判断即可．
本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法，作差法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：函数f(x)=√|sinx|+√|cosx|，
对于A ：满足f(π2+x)=f(x)所以π
2为周期函数的周期，故A 正确；
对于B ：函数满足f(π2−x)=f(x)，所以函数关于x =π
4对称，故函数的图像必有对称轴，故正确；
对于C ：由A 知，函数的周期为π
2，所以：对于C 中的关系，当k =0时，函数的单调递增区间为[0,π
2]，显然错误，故C 错误；
对于D ：当x =0时，f(0)=1=f(π
2)，当x =π
4时，f(π
4
)=81
4=√84，故D 正确． 故选：ABD ．
直接利用三角函数关系式的性质和应用判断A 、B 、C 、D 的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的应用，三角函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】AC
【解析】解：∑f 2n k=0(k)=∑C 2n k 2n k=0p k q 2n−k =(p +q)2n =1，故选项A 正确； ∑k 2n k=0f(k)=∑k 2n k=0C 2n k p k q 2n−k =∑22n k=0nC 2n−1k−1p k q 2n−k =2np ∑C 2n−1k 2n−1k=0p k q
2n−k−1， 而(p +q)2n−1=∑C 2n−1k 2n−1k=0p k q
2n−1−k =1，故选项B 错误； 假设f(k)≤f(m)，则有{f(m)≥f(m −1)f(m)≥f(m +1)，即{m ≤8+p m ≥8−q ，所以m =8，故f(k)≤f(8)，
故选项C 正确；
当p =q =1
2时，∑f n k=0(2k)=1
2=∑f n
k=1(2k −1)，故选项D 错误．
故选：AC ．
利用二项式定理的性质以及特殊值验证法对四个选项逐一判断即可．
本题考查了二项式定理的理解和应用，解题的关键是掌握二项式定理的相关运算性质，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
13.【答案】36
【解析】解：由题设可得满足要求的不同方案共有C 42A 33=36种，
故答案为：36．
利用两大计数原理求得结果即可．
本题主要考查两大原理在处理排列、组合问题中的应用，属于基础题．
14.【答案】√13
2
【解析】解：由椭圆的方程可得A(2,0)，F(1,0)，
由圆和椭圆的对称性可得BC 垂直于x 轴，所以x B =x C =x F =1， 代入椭圆的方程为：|y B |=b 2a
=3
2
，
所以|BF|2=(3
2)2=9
4
因为A 到直线BC 的距离d =|AF|=a −c =2−1=1， R 2=|AF|2+|BF|2=1+9
4=
134
，
所以R =√13
2
，
故答案为：√13
2
．
由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，由圆和椭圆的对称性可得BC 垂直于x 轴，由F 的坐标可得B ，C 的横坐标，代入椭圆的方程可得B 的纵坐标的绝对值，再由圆的性质，垂直弦，平分的性质可得圆的半径，半个弦长和圆心到直线的距离构成直角三角形可得圆的半径的值．
本题考查圆和椭圆的对称性及直线与圆相交相交弦长与半径的关系，属于中档题．
15.【答案】√6
【解析】解：把四棱锥P −ABCD 还原出一个棱长为2的正方体，则该正方体与四棱锥的外接球相同，如图所示：
设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，
所以过平面ABCD 的截面圆是正方形ABCD 的外接圆，且外接圆直径为2√2，半径为√2，
直线EF 被外接圆所截得的弦长GH 即为所求， 连接AO′，交EF 于点M ，则AM =1
2
EF =1
2
×√2=√2
2
，
所以O′M =√22，GH =2MH =2×√3O′M =2√3×√2
2=√6，
即直线EF 被四棱锥P −ABCD 的外接球所截得的线段长为√6． 故答案为：√6．
把四棱锥P −ABCD 还原出一个棱长为2的正方体，该正方体与四棱锥的外接球相同，过平面ABCD 的截面圆是正方形ABCD 的外接圆，由此求出直线EF 被外接圆所截得的弦长即可．
本题主要考查求几何体的外接球应用问题，也考查了四棱锥的结构特征应用问题，是中档题．
16.【答案】3
4 2
【解析】解：f′(x)=3x 2+1，设切点为(x n ,x n 3
+x n +1)， 则切线斜率k =3x n 2+1，
所以切线方程为y =(3x n 2+1)(x −x n )+x n 3+x n +1，
令y =0，可得x n+1=−
x n 3+x n −13x n
2+1+x n =
2x n 3+13x n
2+1，
因为x 0=0，所以x 1=1，x 2=3
4， 即r 的2次近似值为3
4， 因为x n+1=2x n 3+1
3x n
2+1，
所以x n
x
n+1
=
3x n 3+x n 2x n
3+1=a n ，
所以T n =a 1a 2…a n =x
1x 2
⋅x
2
x 3
⋅…⋅x n
x
n+1
=x 1
x
n+1
=1
x
n+1
，
因为函数f(x)=x 3+x −1(x ≥0)为增函数， f(12)=−3
8<0，f(1)=1>0， 由零点存在定理可得r ∈(1
2,1)， 所以1
x
n+1
→1
r ∈(1,2)，
因为任意n ∈N ∗，T n <λ恒成立， 所以λ≥2，即λ的最小整数为2． 故答案为：3
4；2．
对f(x)求导，利用导数的几何意义可得在点(x n ,x n 3
+x n +1)出的切线方程，令y =0，
可得r 的n +1次近似值与r 的n 次近似值的关系式，由x 0=0，依次计算即可求得r 的2次近似值，计算可得x n
x
n+1
=a n ，由累积法可求得T n =
1x n+1
，由零点存在定理求得r 的
取值范围，从而可求得整数λ的最小值．
本题主要考查导数的几何意义，数列的求和，零点存在定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：在△ABC 中，B =π−(A +C)，所以sinB =sin(A +C)．
因为sinB −sin(A −C)=√3sinC ，所以sin(A +C)−sin(A −C)=√3sinC ， 即sinAcosC +cosAsinC −(sinAcosC −cosAsinC)=√3sinC ， 所以2cosAsinC =√3sinC ，
在△ABC 中，sinC ≠0，所以cosA =√3
2．
因为0<A <π，所以A =π
6． 选择①： 方法1：
因为A =π
6，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+9−3√3b. 又因为b =√3a ，所以2b 2−9√3b +27=0，解得b =3√3，或b =3√32
，
此时△ABC 存在，
当b =3√3时，△ABC 的面积为S △ABC =1
2
bcsinA =1
2
×3√3×3×1
2
=
9√34．
当b =
3√3
2
时，△ABC 的面积为S △ABC =12bcsinA =1
2
×
3√3
2
×3×12=
9√38
．
方法2：
因为b =√3a ，由正弦定理，得sinB =√3sinA =√3sin π
6=√3
2． 因为0<B <π，所以B =π
3，或B =
2π3
，此时△ABC 存在，
当B =π
3时，C =π
2，所以b =ccosA =3√3
2
，
所以△ABC 的面积为S △ABC =12bcsinA =1
2×
3√3
2
×3×12=
9√38
．
当B =
2π
3
时，C =π6，所以b =csinB sinC
=3√3，
所以△ABC 的面积为S △ABC =1
2bcsinA =1
2×3√3×3×1
2=
9√34
．
选择②：
因为a=3cosB，所以a=3×a2+9−b2
6a
，得a2+b2=9，
所以C=π
2
，此时△ABC存在，
因为A=π
6，所以b=3×cosπ
6
=3√3
2
，a=3×sinπ
6
=3
2
，
所以△ABC的面积为S△ABC=1
2ab=9√3
8
．
选择③：
由a
sinA =c
sinC
，得asinC=csinA=3
2
，
这与asinC=1矛盾，所以△ABC不存在．
【解析】利用两角和与差的正弦公式化简已知等式可得2cosAsinC=√3sinC，结合sinC≠0，可得cos A，结合0<A<π，可得A的值．
选择①：方法1：由已知利用余弦定理可求b的值，分类讨论利用三角形的面积公式即可求解．
方法2：由正弦定理，可得sin B，结合0<B<π，可得B=π
3，或B=2π
3
，分类讨论先
求b，再利用三角形的面积公式即可求解．
选择②：利用余弦定理可求a，解三角形，利用三角形的面积公式即可得解．
选择③：由正弦定理可求得asinC=csinA=3
2
，这与asinC=1矛盾，即可得解△ABC不存在．
本题主要考查了两角和与差的正弦公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．
18.【答案】解：(1)因为S n=2n+r，
所以当n=1时，S1=a1=2+r．
当n=2时，S2=a1+a2=4+r，故a2=2．
当n=3时，S3=a1+a2+a3=8+r，故a3=4．
因为{a n}是等比数列，所以a22=a1a3，化简得2+r=1，解得r=−1，
此时S n=2n−1．
当n≥2时，a n=S n−S n−1=2n−1−2n−1−1=2n−1，
当n=1时，a1=S1=1，a n=2n−1，
所以r=−1满足题意．
(2)因为a n=2n−1，所以b n=2(1+log2a n)=2n．
因为a1=1，a2=2=b1，a3=4=b2，a4=8=b4，a5=16=b8，a6=32=b16，
a 7=64=
b 32，a 8=128=b 64，a 9=256=b 128， 所以
c 1+c 2+c 3+⋯+c 100
=(b 1+b 2+b 3+⋯+b 107)−(a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8)
=
107×(2+214)
2
−
2(1−27)1−2
=11302．
【解析】(1)S n =2n +r ，推导出a 1=2+r ，a 2=2，a 3=4，由{a n }是等比数列，能求出r 的值．
(2)由a n =2n−1，得b n =2n.推导出c 1+c 2+c 3+⋯+c 100=(b 1+b 2+b 3+⋯+b 107)−(a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8)，由此能求出结果．
本题考查等比数列的运算，涉及到等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等数学核心素养，是基础题．
19.【答案】解：(1)对项目A 投资的统计数据进行计算，有x −
=3，y −
=0.6，∑x i 2
n i=1=55． ∴b ̂
=
∑x i n i=1y i −nx −⋅y
−
∑x i 2n i=1−nx
−
2=
11−5×3×0.655−5×32
=0.2，a ̂
=y −−b ̂
x −
=0.6−0.2×3=0，
∴回归直线方程为：y ̂
=0.2x ； 线性相关系数r =i n i=1i −−
√(∑x i i=1−nx 2)(∑y i i=1−ny 2)
=
√(55−5×32)(2.24−5×0.62)
=
√4.4
≈0.9524>0.95，
这说明投资金额x 与所获利润y 之间的线性相关关系较强，用线性回归方程y ̂
=0.2x 对该组数据进行拟合合理；
(2)设对B 项目投资x(1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7−x)百万元． 所获总利润y =0.16x −0.49
x+1+0.49+0.2(7−x)
=1.93−[0.04(x +1)+0.49
x+1]≤1.93−2√0.04(x +1)×0.49
x+1=1.65， 当且仅当0.04(x +1)=0.49x+1，即x =2.5时取等号，
∴对A ，B 项目分别投资4.5百万元，2.5百万元时，获得总利润最大．
【解析】(1)由已知数据求得b ̂
与a ̂
的值，可得y 关于x 的线性回归方程，求出线性相关系数r 的值，与0.95比较大小得结论；
(2)设对B 项目投资x(1≤x ≤6)百万元，则对A 项目投资(7−x)百万元，写出所获总利润，然后利用基本不等式求最值．
本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】(1)证明：取AB 中点D ，连接CD ，B 1D .
因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都为2，所以AB ⊥CD ，CD =√3，BD =1． 又因为AB ⊥B 1C ，且CD ∩B 1C =C ，CD ，B 1C ⊂平面B 1CD ， 所以AB ⊥平面B 1CD ．
又因为B 1D ⊂平面B 1CD ，所以AB ⊥B 1D .(2分)
在直角三角形B 1BD 中，BD =1，B 1B =2，所以B 1D =√3． 在三角形B 1CD 中，CD =√3，B 1D =√3，B 1C =√6， 所以CD 2+B 1D 2=B 1C 2， 所以CD ⊥B 1D .(4分)
又因为AB ⊥B 1D ，AB ∩CD =D ，AB ，CD ⊂平面ABC ，所以B 1D ⊥平面ABC ． 又因为B 1D ⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面ABC.(6分)
(2)解：以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,1，0)，B(0,−1,0)，C(√3,0，0)，B 1(0,0，√3)，
因此BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，√3)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,−1,0)，AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，√3). 因为点P 在棱BB 1上，则设BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(0,1，√3)，其中0≤λ≤1． 则CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,−1+λ,√3λ).(8分) 设平面ACC 1A 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由{n ⋅AC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⋅AA1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得{√3x −y =0y +√3z =0，
取x =1，y =√3，z =−1，
所以平面ACC 1A 1的一个法向量为n ⃗ =(1,√3,−1).………………………(10分) 因为直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为4
5，
所以cos <n ⃗ ，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ >=n ⃗⃗ ⋅CP
⃗⃗⃗⃗⃗
|n ⃗⃗ ||CP
⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3
√5×√3+(λ−1)2+3λ
2
=−4
5， 化简得16 λ2−8λ+1=0，解得λ=1
4， 所以BP =λBB 1=1
2.(12分)
【解析】(1)取AB 中点D ，连接CD ，B 1D .证明AB ⊥CD ，AB ⊥B 1C ，推出AB ⊥平面B 1CD ，即可证明AB ⊥B 1D .然后证明CD ⊥B 1D ，推出B 1D ⊥平面ABC.即可证明平面ABB 1A 1⊥平面ABC ．
(2)以DC ，DA ，DB 1所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ACC 1A 1的法向量，通过直线CP 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值为4
5，求解λ然后得到结果．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
21.【答案】解：由{y =x +m
y 2=4x ，得y 2−4y +4m =0．
设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则y 1+y 2=4，y 1y 2=4m ， 因为直线l 与C 相交，所以△=16−16m >0，得m <1， (1)由AT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TB
⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y 1+2y 2=0， 所以4+y 2=0，解得y 2=−4，从而y 1=8， 因为y 1y 2=4m ，所以4m =−32，解得m =−8； (2)证明：设M(x 3,y 3)，N(x 4,y 4)， 因为M ，N 两点关于直线y =x +m 对称， 则y 4−y 3
x 4−x 3=y 4−y 3
y 424−y 324
=4
y
4+y 3
=−1，解得y 4=−4−y 3
，
又
y 4+y 32=
x 4+x 32
+m ，
于是
−4−y 3+y 3
2
=
x 4+x 32
+m ，解得x 4=−4−2m −x 3，
又点N 在抛物线上，于是(−4−y 3)2=4(−4−2m −x 3)，
因为y 32=4x 3，所以y 32
+4y 3+16+4m =0，
于是MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MB
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−x 3)(x 2−x 3)+(y 1−y 3)(y 2−y 3) =(y 12−y 32)(y 22−y 3
2
)+(y 1−y 3)(y 2−y 3)
=
(y 1−y 3)(y 2−y 3)
16
[(y 1+y 3)(y 2+y 3)+16]
=
(y 1−y 3)(y 2−y 3)16
[y 1y 2+y 3(y 1+y 2)+y 32
+16]
=
(y 1−y 3)(y 2−y 3)
16
(4m +4y 3+y 32
+16)=0，
所以MA ⊥MB ，同理，NA ⊥NB ，
于是点M ，N 在以AB 为直径的圆上，即A ，B ，M ，N 四点共圆．
【解析】先利用直线y =x +m 与抛物线方程，写出韦达定理，(1)然后根据已知向量关系以及韦达定理即可求解；(2)设出点M ，N 的坐标，根据点关于直线对称的性质建立方程关系，然后求出向量MA ，MB 的数量积化简为0，得出MA 与MB 垂直，同理得出NA 与NB 垂直，进而可以证明．
本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系的应用，涉及到向量的运算性质以及证明四点共圆的问题，考查了学生的运算推理能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)证明：当a =12时，f (x)=e x −1
2xsinx −x −1，
则f′(x)=e x −1
2(xcosx +sinx)−1， f′′(x)=e x +12xsinx −cosx ， 因为x ∈[0,π]，
所以e x ≥1，12xsinx ≥0， 因此f′′(x)≥1−cosx ≥0， 所以f′(x)在[0,π]上单调递增， 于是f′(x)≥f′(0)=0， 因此f (x)在[0,π]上单调递增， 所以f (x)≥f (0)=0．
(2)由(1)知，当a ≤1
2时，f (x)≥e x −1
2xsinx −x −1≥0，当且仅当x =0时取等号， 此时函数f (x)仅有1个零点，
当a >1
2时，因为f (x)=e x −axsinx −x −1， 所以f′(x)=e x −a(xcosx +sinx)−1， f′′(x)=e x +a(xsinx −2cosx)，
当x ∈[π2,π]时，f′′(x)>0，f′(x)单调递增，
当x∈[0,π
2
]时，f′′′(x)=e x+a(3sinx+xcosx)，因为e x>0，a(3sinx+xcosx)≥0，
所以f′′′(x)>0，所以f′′(x)单调递增，
又f′′(0)=1−2a<0，f′′(π
2)=eπ2+π
2
a>0，
因此f′′(x)在[0,π
2]上存在唯一的零点x0，且x0∈(0,π
2
).
当x∈(0,x0)时，f′′(x)<0，所以f′(x)单调递减，
当x∈(x0,π
2
)时，f′′(x)>0，所以f′(x)单调递增，
又f′(0)=0，f′(x0)<f′(0)=0，f′(π)=eπ+aπ−1>0，因此f′(x)在[0,π]上存在唯一的零点x1，且x1∈(x0,π)，
当x∈(0,x1)时，f′(x)<0，所以f(x)单调递减，
当x∈(x1,π)时，f′(x)>0，所以f(x)单调递增，
又f(0)=0，f(x1)<f(0)=0，f(π)=eπ−π−1>0，所以f(x)在(x1,π)上存在唯一零点，
因此f(x)在[0,π]上有两个零点，
综上，a的取值范围是(1
2
,+∞)．
【解析】(1)当a=1
2时，f(x)=e x−1
2
xsinx−x−1，求导分析单调性，求出f(x)min，
证明f(x)min≥0即可得出答案．
(2)由(1)知，当a≤1
2
时，f(x)≥0，当且仅当x=0时取等号，函数f(x)仅有1个零点，
不合题意，当a>1
2
时，求导分析单调性，使得f(x)有两个零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论，转化思想的应用，属于中档题．。