8.2 立体图形的直观图 课件【共26张PPT】

上取
O′Hale Waihona Puke Baidu′
＝
1 2
OA
，
连
接
A′B′ ， A′C′ ， 则 三 角 形
A′B′C′即为正三角形 ABC 的直观图，如图②所示．
空间图形直观图的画法 [例 2] 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． [解] 画法：(1)画轴．画 Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴，∠xOy＝45°(或 135°)，∠xOz＝90°，如图．
2．[变条件，变设问]本例(1)若改为“已知△ABC 是边长为 a 的 正三角形，求其直观图△A′B′C′的面积”，应如何求？
解：由斜二测画法规则可知，直观图△A′B′C′一底边
上的高为
23a×12×
22＝
86a，所以
S△A′B′C′＝12×a×
6 8a
＝ 166a2.
3．[变设问]本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面 积之比是多少？
2．在直观图中“变”的量与“不变”量 (1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变； (2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特 别是垂直关系有变化)； (3)有些线段的度量关系也发生变化. 因此图形的形状发生 变化． 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半， 平行位置不改变.
水平放置的平面图形的直观图 [例1] 画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
[解] (1)在已知的直角梯形 OBCD 中，以底边 OB 所在直 线为 x 轴，垂直于 OB 的腰 OD 所在直线为 y 轴建立平面直角 坐标系．画相应的 x′轴和 y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图 ①②所示．
(2)在 x′轴上截取 O′B′＝OB，在 y′轴上截取 O′D′ ＝12OD，过点 D′作 x′轴的平行线 l，在 l 上沿 x′轴正方向 取点 C′使得 D′C′＝DC.连接 B′C′，如图②.
解：如图①，在直观图中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E，
则在
Rt△ABE
中，AB＝1，∠ABE＝45°，所以
BE＝
2 2.
而四边形 AECD 为矩形，AD＝1，所以 EC＝AD＝1.所以 BC
＝BE＋EC＝ 22＋1. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形．
在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝ 22＋1，且 A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′， 所以原图形的面积为 S＝12(A′D′＋B′C′)·A′B′＝12×1＋1＋ 22×2＝2＋ 22.
[变式训练]
用斜二测画法画出正五棱柱的直观图． 解：(1)画轴．画 x′轴、y′轴和 z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或 135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
(2)画底面．按 x′轴、y′轴画正五边形的直观图 ABCDE.
(3)画侧棱．过点 A，B，C，D，E 分别作 z′轴的平行线， 并在这些平行线上分别截取 AA′，BB′，CC′，DD′， EE′都相等． (4)成图．顺次连接 A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅 助线，改被挡部分为虚线，如图②所示．
＝O′D1＝1. 试画出原四边形，并求原图形的面积.
[解析] (1)由题图知，△OAB 为直角三角形．∵O′B′ ＝ 2，∴A′B′＝ 2，O′A′＝2.
∴在原△OAB 中，OB＝ 2，OA＝4，∴S△OAB＝12× 2×4 ＝2 2.故选 C.
[答案] C
(2)如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截 取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
[变式训练]
用斜二测画法画如图所示边长为 4 cm 的水平放 置的正三角形的直观图．
解：(1)如图①所示，以 BC 边所在的直线为 x 轴，以 BC 边上 的高线 AO 所在的直线为 y 轴．
(2)画对应的 x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在 x′轴上截取 O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在 y′轴
解：由(1)中直观图可得 S△O′A′B′＝12× 2× 2＝1，原图形
面积为 S△OAB＝2 2.
所以S△O′A′B′＝ 1 ＝ S△OAB 2 2
2 4.
(2)画底面．以 O 为中心在 xOy 平面内，画出正方形的直观图 ABCD.
(3)画顶点．在 Oz 轴上截取 OP 使 OP 的长度等于原四棱锥的高． (4)成图．顺次连接 PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮 住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
画空间图形的直观图的原则 (1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系 Oxyz，并且把它们画 成对应的 x′轴与 y′轴，两轴交于点 O′，且使∠x′O′y′＝ 45°(或 135°)，它们确定的平面表示水平面，再作 z′轴与平面 x′O′y′垂直． (2)作空间图形的直观图时平行于 x 轴的线段画成平行于 x′轴 的线段并且长度不变． (3)平行于 y 轴的线段画成平行于 y′轴的线段，且线段长度画 成原来的一半． (4)平行于 z 轴的线段画成平行于 z′轴的线段并且长度不变．
4.已知△ABC 的直观图如图所示，则原△ABC 的面积为________．
解析：由题意，易知在△ABC 中，AC⊥AB，且 AC＝6， AB＝3，∴S△ABC＝12×6×3＝9. 答案：9
[系统归纳]
1．对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 “斜”是指在已知图形的 xOy 平面内与 x 轴垂直的线 段，在直观图中均与 x′轴成 45°或 135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x′轴或 z′轴的线段长度不变；平行于 y′轴的线段长度 变为原来的一半． 斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置 与形状的点，并在直观图中画出．
8 ．2 立体图形的直观图
新课程标准 能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、 圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.
新学法解读 1.用斜二测画法画直观图，关键是掌握水平放置的平
面图形的直观图的画法，这是画空间几何体的直观 图的基础． 2.充分利用直观图的作图规则，理解好“斜”“二 测”的含义.
直观图的还原与计算
[例 3] (1)如图①，Rt△O′A′B′是一个平面
图形的直观图，若 O′B′＝ 2，则这个平面图形的
面积是
()
A．1
B. 2
C．2 2
D．4 2
(2)如图②所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观
图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝
2 3
C1D1＝2，A1D1
[思考发现]
1．用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平
行于x轴，y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝ ( )
A．45°
B．135°
C．45°或135°
D．90°
解析：在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴，y′
轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.故选C.
答案：C
2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的
2．直观图与原图面积之间的关系 若一个平面多边形的面积为 S，其直观图的面积为 S′，
则有
S′＝
2 4S
或
S＝2
2S′.利用这一公式可由原图形面积
求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
[变式训练]
1.[变条件]本例(2)中的条件改为如图所示的直 角梯形，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC， 求原图形的面积.
(3)所得四边形 O′B′C′D′就是直角梯形 OBCD 的直 观图．如图③.
画平面图形的直观图的技巧 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐 标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标 轴上，以便于画点． (2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段 (平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的 线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝ 2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.连接BC， 便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度 分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝2＋2 3×2＝5.
1．直观图的还原技巧 由直观图还原为平面图的关键是找与 x′轴，y′轴平行 的直线或线段，且平行于 x′轴的线段还原时长度不变，平 行于 y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的 2 倍， 由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
线段说法错误的是
()
A．原来相交的仍相交
B．原来垂直的仍垂直
C．原来平行的仍平行
D．原来共点的仍共点
解析：由斜二测画法规则知，B 选项错误．故选 B. 答案：B
3.如图所示为某一平面图形的直观图，则此
平面图形可能是下图中的
()
解析：由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为 梯形，且梯形两腰不能与底垂直．故选 A. 答案：A