周培源力学 竞赛资料

全国周培源大学生力学竞赛考试范围（参考）
Ⅰ.理论力学
(一)静力学
(1)掌握力、力矩和力系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力的投影、力对点的矩和力对轴的矩。

(2)掌握力偶、力偶矩和力偶系的基本概念及其性质。

能熟练地计算力偶矩及其投影。

(3)掌握力系的主矢和主矩的基本概念及其性质。

掌握汇交力系、平行力系与一般力系的简化方法、熟悉简化结果。

能熟练地计算各类力系的主矢和主矩。

掌握重心的概念及其位置计算的方法。

(4)掌握约束的概念及各种常见理想约束力的性质。

能熟练地画出单个刚体及刚体系受力图。

(5)掌握各种力系的平衡条件和平衡方程。

能熟练地求解单个刚体和简单刚体系的平衡问题。

(6)掌握滑动摩擦力和摩擦角的概念。

会求解考虑滑动摩擦时单个刚体和简单平面刚体系的平衡问题。

(二)运动学
(1)掌握描述点运动的矢量法、直角坐标法和自然坐标法，会求点的运动轨迹，并能熟练地求解点的速度和加速度。

(2)掌握刚体平移和定轴转动的概念及其运动特征、定轴转动刚体上各点速度和加速度的矢量表示法。

能熟练求解定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(3)掌握点的复合运动的基本概念，掌握并能应用点的速度合成定理和加速度合成定理。

(4)掌握刚体平面运动的概念及其描述，掌握平面运动刚体速度瞬心的概念。

能熟练求解平面运动刚体的角速度与角加速度以及刚体上各点的速度和加速度。

(三)动力学
(1)掌握建立质点的运动微分方程的方法。

了解两类动力学基本问题的求解方法。

(2)掌握刚体转动惯量的计算。

了解刚体惯性积和惯性主轴的概念。

(3)能熟练计算质点系与刚体的动量、动量矩和动能；并能熟练计算力的冲量（矩），力的功和势能。

(4)掌握动力学普遍定理(包括动量定理、质心运动定理、对固定点和质心的动量矩定理、动能定理)及相应的守恒定理，并会综合应用。

(5)掌握建立刚体平面运动动力学方程的方法。

了解其两类动力学基本问题的求解方法。

(6)掌握达朗贝尔惯性力的概念，掌握平面运动刚体达朗贝尔惯性力系的简化。

掌握质点系达朗贝尔原理(动静法)，并会综合应用。

了解定轴转动刚体静平衡与动平衡的概念。

二、专题部分
(一)虚位移原理
掌握虚位移、虚功的概念；掌握质点系的自由度、广义坐标的概念；会应用质点系虚位移原理。

(二)碰撞问题
(1)掌握碰撞问题的特征及其简化条件。

掌握恢复因数概念
(2)会求解两物体对心碰撞以及定轴转动刚体和平面运动刚体的碰撞问题。

Ⅱ.材料力学
材料力学的任务、同相关学科的关系，变形固体的基本假设、截面法和内力、应力、变形、应变。

轴力与轴力图，直杆横截面及斜截面的应力，圣维南原理，应力集中的概念。

材料拉伸及压缩时的力学性能，胡克定律，弹性模量，泊松比，应力-应变曲线。

拉压杆强度条件，安全因数及许用应力的确定。

拉压杆变形，简单拉压静不定问题。

剪切及挤压的概念和实用计算。

扭矩及扭矩图，切应力互等定理，剪切胡克定律，圆轴扭转的应力与变形，扭转强度及刚度条件。

静矩与形心，截面二次矩，平行移轴公式。

平面弯曲的内力，剪力、弯矩方程，剪力、弯矩图，利用微分关系画梁的剪力、弯矩图。

弯曲正应力及其强度条件，提高弯曲强度的措施。

挠曲轴及其近似微分方程，积分法求梁的位移，梁的刚度校核，提高梁弯曲刚度的措施。

应力状态的概念，平面应力状态下应力分析的解析法及图解法。

强度理论的概念，破坏形式的分析，四个经典强度理论。

组合变形下杆件的强度计算。

压杆稳定的概念，临界荷载的欧拉公式，临界应力，提高压杆稳定性的措施。

疲劳破坏的概念，影响构件疲劳极限的主要因素，提高构件疲劳强度的措施。

拉伸与压缩实验，弹性模量或泊松比的测定，弯曲正应力测定。

二、专题部分
杆件应变能计算，莫尔定理及其应用。

简单动载荷问题。

材料力学若干专题实验。

全国周培源大学生力学竞赛组委会
第六届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：清华大学
满分：120分 时间：3小时
一、声东击西的射击手（30分）
射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。

欢迎来到这个与众不
同的射击场。

在这里，共有10个小球i P （号码从0到9）
，你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。

假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。

圆弧AB 的半径为R ，
B 点与地面的高度为H 。

均质细杆CD 的质量为M ，长为0.5L H =，悬挂点
C 与B 处于同一水平位置，BC 距离为S 。

小球i P 质量均为m ，不计半径，小球i P 与C
D 杆或地面碰撞的恢复因数均为i e
，且满足(0,1,2,,9)i e i ==…。

（1）为使小球1P 击中杆上D 点，试确定静止释放时的θ，距离S 有何限制？
（2）假设某小球击中
（3
）假设某小球击中
二、骄傲自满的大力士（35分）
有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。

正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA 垂直固定于水平地面上，沿x 轴方向，高为 2.4m H =，横梁AB 平行于地面，沿z 轴负方向，长为L H =。

立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为0.06m D =。

夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。

比赛规则是：通过系在横梁B 端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B 点系在与地面固定的物体上。

绳索的重量不计，长度不限。

球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力57MPa s σ=。

大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是0.5μ=，自己重量为1700N G =，夫人重量为2510N G =。

为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。

于是夫人以B 在地面的投影C 为圆心，在
地面上画了一个半径0.8m R =的圆圈，
要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。

大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。

大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy 平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。

而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……
（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？
（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？
（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？
三、顾此失彼的挑战者（30分）
魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。

魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球1O 和2O ；
一个滚轴D ；一个透明的水晶平板AB ，A 端水平固定在墙中，不考虑自重时AB 板与水平面平行。

在表演时，滚轴D 可以根据需要安装在AB 板的任意位置，且A 与D 总在同一高度。

假设水晶板是均质等截面板，长度为l ，单位长度重量为q ，弯曲刚度为EI 。

两均质水晶圆球的半径均为r ，重量均为P ql =。

假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。

观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D ，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。

魔术师的问题如下：
（1）如果把滚轴D 安装在AB 板的B 处，此时AB 板由于自重所导致的最大挠度在何处？
（2）如果把滚轴D 安装在AB 板之间的某处，
有可能使水晶球1O 在板上静止，且球与板的接触点恰好是B 点。

如果不需要具体计算，如何说明滚轴D 是更靠近A 点还是更靠近B 点？定性画出此时AB 板挠度的示意图。

（3）如果把滚轴D 安装在AB 板的中点，能否让水晶球1O 在AD 之间某位置平衡，接触点为1C ；同时让水晶球2O 在DB 之间某位置平衡，接触点为2C 。

观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。

如果你认为本问题有解，1AC 和2AC 的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？
A
B
D O 1
O 2
四、技高一筹的魔术师（25分）
魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。

魔术师首先撤去了滚轴D ，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B 端掉下去。

但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。

魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。

说完在后落下的水晶球1O 表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。

只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴
有纸片的1O 球静止放在板上（接触点为B 点）
，同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球1O 竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B 点。

在观众的掌声中，魔术师撤走了1O 球，把2O 球拿了起来。

“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。

”魔术师说完把2O 球转了转，
然后更加小心地把2O 球也放在板上（接触点为B 点）。

观众发现，2O 球在B 点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B 端掉了下来……
（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？
（2）水晶球1O 可在B 点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。

（3）水晶球2O 只能在B 点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。

注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。

A
B
D
O 1
O 2
1
第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
清华大学航天航空学院
高云峰
一、声东击西的射击手（30分） （1）2arccos 12S HR θ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠
；S
的限制为S ≤。

（2）91e =（号码为9）；0CE =；22arccos 116S N HR θ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠
，N 为与地面的碰撞次数。

（3）6e =6）；13CE H =；0C I =；226arccos 14(1)S e HR θ⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠。

二、骄傲自满的大力士（35分） （1）1cos sin G T μθμθ
=+；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。

（2）危险点坐标()11220, cos , -sin D D θθ
（3）大力士在0θ=时最接近拉坏球门：1356.0Mpa σσ−=；夫人进入圆圈内，90θ=°时可以有1357.9MPa σσ−=
三、顾此失彼的挑战者（30分）
（1）最大挠度处：150.5816
x l l =≈ （2）滚轴D 更靠近B 点；挠度示意图如下：
（3）解不存在，证明见解题过程。

四、技高一筹的魔术师（25分）
（1）水晶球2O 涂了新型材料。

（2）关键参数：1tan B μθ≥；纸片重量sin 1sin B B
P G θθ≥−，（323B ql EI θ=）。

（3）关键参数：2tan B μθ=；初始角速度0150sin B g r
θω≈。

B
第七届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：西北工业大学
满分：120分 时间：3小时
一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20分)
一半球形高脚玻璃杯，半径 r =5cm ，其质量m 1=0.3 kg ，杯底座半径R =5 cm ，厚度不计，杯脚高度h =10 cm 。

如果有一个质量1.02=m kg 的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯的内侧滑下，小球的半径忽略不计。

已知杯子底座与水平
面之间的静摩擦因数f s = 0.5。

试分析小球在运动过程中：
（1）高脚玻璃杯会不会滑动；（2）高脚玻璃杯会不会侧倾（即一侧翘起）。

二、杂耍圆环(40分)
1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？
2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。

设圆环与地面接触瞬时圆环中心O 点的速度大小为0v ，圆环的角速度为0ω，圆环半径为r ，质量为m ，圆环与地面间的静摩擦因数为s f ，不计滚动摩阻，试问：
（1）圆环能自己滚回来的条件是什么？
（2）圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？
（3）当圆环在水平地面上无滑动地滚动时，其中心的速度大小为v 1，圆环平面保持在铅垂平面内。

试分析圆环碰到高为h (h 2
r <
)的无弹性台阶后， 能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。

3.演员又用细铁棍推动题2中匀质圆环在水平地面上匀速纯滚动，假设圆环保持在铅垂平面内滚动，如图所示。

又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为 f t ，圆环与地面间的滚动摩阻系数为 δ 。

试求为使铁棍的推力（铁棍对圆环的作用力）最小，圆环上与铁棍的接触点的位置。

三、趣味单杠(30分)
单杠运动是奥运会、世界体操锦标赛、世界杯体操比赛中男子体操比赛项目之一。

单杠是体操比赛中最具观赏性的项目，也是观众最喜欢的运动，在学校和健身场所拥有众多的爱好者，小李和小张就是其中之一。

一天，他们准备在单杠上进行大回环比赛。

假设单杠的横杆和立柱均为直径D=28mm的钢杆，弹性模量E=200GPa，许用应力[σ]=160MPa，横杆长L=2.4m，立柱高H=2.6m。

立柱与地面、横杆与立柱之间均为固定联结。

假设两人旋转到单杠所在平面内时的惯性载荷均为F=1000N，不计人的自重。

1.试分析两人同步旋转到单杠所在平面内时，结构中的最大应力。

2.若两人相差180°旋转到单杠所在平面内，对结构中的最大应力有什么影响。

3.为提高结构承载能力，有人提出在单杠距地面0.6m处增加一个直径20mm
的拉杆。

试定性分析该杆对上述两种情况的影响。

四、跳板跳水(30分)
举世瞩目的第29届北京奥林匹克运动会上，具有“梦之队”之称的中国跳水队获得了跳水比赛8枚金牌中的7枚，囊括了3m 跳板跳水的4枚金牌。

Duraflex 的Maxiflex Model B 跳水板是奥林匹克跳水比赛和国际级跳水比赛唯一指定使用的产品，它的具体尺寸如图所示，其中横截面尺寸为=b 0.5m ，=h 0.05m ，跳板的弹性模量GPa 70=E ，比重3kN/m 25=γ，m 2.3=a ，m 6.1=l 。

运动员从跳板上上跃至距地面最高点后落至跳板端点C ，再从跳板上弹起至空中完成动作后落水。

若运动员体重N 700=G ，最大弹跳高度m 6.0=H ，取2m/s 8.9=g 。

1. 根据所学知识，建立相应的力学分析模型。

2. 为保证运动员落水安全，运动员从空中落入水中时，在跳板所在平面处，运动员质心距跳板C 端最小距离s 应大于0.5m 。

试求运动员从跳板上跃时所需最小水平速度（假设水平方向为匀速运动）？
3. 不计跳板质量，将运动员视为刚体时，运动员冲击跳板时，跳板中的最大动应力为多少？
4. 如运动员为弹性体，定性说明在冲击时跳板中的最大动应力增大还是减小？
5. 如考虑跳板质量，试计算跳板中的最大动应力。

第七届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、小球在高脚玻璃杯中的运动(20 分)
当小球自杯子的边缘由静止释放后沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角 ϕ ≈ 63.4° 时， 高脚 玻璃杯侧倾（一侧翘起） 。

二、杂耍圆环(40 分)
1. 圆环不是匀质的，质心不在圆环的中心。

开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；随 后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。

2.（1）圆环自己滚回的条件为：
ω0
方向如图所示。

C
ω0 >
（2）距离：
s=
v0 r
v0
(rω - v 0 ) 2 1 ⋅ gf s ⋅ (t1 − t2 ) 2 = 2 8gf s
2 （3）圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件为 ： 4r 2 hg < v1 (2r − h ) 2 < 4r 2 ( r − h )g
3．当接触点 A 与圆环中心 C 的连线与铅垂线间的夹角 α = arctan 值。

r
δ
− arctanf t 时，推力 F 取最小
三、趣味单杠(30 分)
（1）结构中的最大应力 σ max = （2）结构中的最大应力 σ max =
M max = 143MPa < [σ ] W M max = 132 MPa < [σ ] W
（3）在结构中增加拉杆后， （2）中为反对称结构，在对称面上只有反对称内力，故 AB 杆轴力 为零，无影响； （1）中为对称结构，在对称面上只有对称内力，故 AB 杆轴力不为零，有影响。

四、跳板跳水(30 分)
（1）根据跳板的受力情况，可以将其简化为下图所示外伸梁。

A
l x1
H
B
a
C
s
x2
（2）最小水平速度为
v = s / 2t = 0.714m/s
h
b
1


（3）跳板的最大动应力为 σ d max = K d
MB = 78.02MPa W
（4）如运动员为弹性体，冲击时跳板中的最大动应力将减小。

（5）跳板的最大动应力为 σ d max = K d
M max 6 K d = W bh 2
⎛ 1 γbha ⎞ ⎜ Ga + a ⎟ = 71.06 MPa ⎜ ⎟ 2 g ⎝ ⎠
2


第八届全国周培源大学生力学竞赛试题
出题学校：清华大学 满分 120 分
一、看似简单的小试验（30 分） 某学生设计了三个力学试验，其条件和器材很简单：已知光滑半圆盘质量为 m ， 半径为 r ，可在水平面上左右移动。

坐标系 Oxy 与半圆盘固结，其中 O 为圆心， x 轴 水平， y 轴竖直。

小球 P (i = 1, 2,3) 的质量均为 m 。

重力加速度 g 平行于 y 轴向下， i 不考虑空气阻力和小球尺寸。

每次试验初始时刻半圆盘都处于静止姿态。

（1）如果她扔出小球 P ，出手的水平位置 x0 ≥ r ，但高度、速度大小和方向均 1 。

可调整，问小球 P 能否直接击中半圆盘边缘最左侧的 A 点？证明你的结论（6 分） 1 （2）如果她把小球 P2 从半圆盘边缘最高处 B 点静止释放，由于微扰动小球向右 。

边运动。

求小球 P2 与半圆盘开始分离时的角度 ϕ （12 分） （3）如果她让小球 P 竖直下落，以 v0 的速度与半圆盘发生完全弹性碰撞（碰撞 3 ，求碰撞结束后瞬时小球 P 与半圆盘的动能之比（12 分） 。

点在 ϕ = 45° 处） 3
时间 3 小时 30 分钟


二、组合变形的圆柱体（20 分） 圆柱 AB 的自重不计，长为 L ，直径为 D ，材料弹性模量为 E ，泊松比为ν ， 剪切屈服应力为 τ s 。

其中圆柱 A 端固定，B 端承受引起 50%剪切屈服应力的扭矩 M T 作用。

。

（1）求作用于圆柱上的扭矩 M T （6 分） （2）应用第三强度理论（最大剪应力理论） ，求在圆柱 B 端同时施加多大的轴向 拉伸应力而不产生屈服（6 分） 。

（3）求问题（2）情况下圆柱体的体积改变量（8 分） 。

三、顶部增强的悬臂梁（30 分） 有一模量为 E1 的矩形截面悬臂梁 AB ， A 端固定， B 端自由。

梁长为 L ，截面 高度为 h1 ，宽度为 b 。

梁上表面粘着模量为 E2 = 2 E1 的增强材料层，该层高度
h2 = 0.1h1 ，长度和宽度与梁 AB 相同。

工作台面 D 距离 B 端下表面高度为 Δ 。

在 B 端作用垂直向下的载荷 FP 。

不考虑各部分的自重。

（1）求组合截面中性轴的位置（6 分） 。

。

（2）求使梁 B 端下表面刚好接触 D 台面所需的力 FP （8 分） （3）求此时粘接面无相对滑动情况下的剪力（6 分） 。

（4）计算梁的剪应力值并画出其沿梁截面高度的分布图（10 分） 。

四、令人惊讶的魔术师（20 分） 一根均质细长木条 AB 放在水平桌面上，已知沿着 AB 方向推力为 F1 时刚好能 推动木条。

但木条的长度、重量和木条与桌面间的摩擦因数均未知。

魔术师蒙着眼睛，让观众把 N 个轻质光滑小球等间距地靠在木条前并顺序编号 ，然后如图在任意位置慢慢用力推木条，要求推力平行于桌面且垂直 （设 N 充分大） 当小球开始滚动时， 观众只要说出运动小球的最小号码 nmin 和最大号码 nmax ， 于 AB 。

魔术师就能准确地说出推力的作用线落在某两个相邻的小球之间。

魔术师让观众撤去小球后继续表演，观众类似前面方式在任意位置推动木条，只 要说出刚好能推动木条时的推力 F2 ，魔术师就能准确地指出推力位置。

（1）简单说明该魔术可能涉及的力学原理（4 分） 。

（2）如何根据滚动小球的号码知道推力作用在哪两个相邻小球之间（12 分）？ （3）如果观众故意把 F2 错报为 1 F2 ，魔术师是否有可能发现（4 分）？ 2


五、对称破缺的太极图（20 分） 某宇航员在太空飞行的空闲时间， 仔细地从一块均质薄圆板上裁出了半个太极图 形，并建立了与图形固结的坐标系 Oxz 。

他惊奇地发现：虽然该图形不具有对称性，但仍具有很漂亮的几何性质：惯性矩
I x = I z 。

他怀疑上述性质是否具有普遍性，于是随意地将 Oxz 坐标系绕 O 点转动 α
角，得到新的坐标系 Ox ' z ' ，仍然发现 I x ' = I z ' 。

接着他发现该图形在太空失重情况下不可能绕 z 轴平稳地旋转。

看到手边正好有
1 一些钢珠，质量分别为 mi = 16 m × i, (i = 1, 2,...,16) ，其中 m 是半太极图形的质量，
他想尝试把钢珠粘在图形上…… （1）试证明该图形 I x = I z = I x ' = I z ' 是否成立（10 分） 。

（2）不考虑钢珠的尺寸和粘接剂的质量，是否可能在某处粘上一颗钢珠后，图 形就能平稳地绕 z 轴旋转？简要说明理由（10 分） 。

第八届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案
一、看似简单的小试验（30 分） （1）小球 P 不可能直接击中 A 点，证明见详细解答。

1 （2）小球 P2 与圆盘开始分离时的角度 ϕ = arcsin( 3 − 1) ≈ 47° 。

（3）碰撞结束后瞬时小球 P 与半圆盘的动能之比为 5：4。

3
二、组合变形的圆柱体（20 分） （1） M T =
1 32
πD 3τ s 。

3τ s 的轴向拉伸应力不产生屈服。

1 4
（2）在柱 B 端同时施加 σ =
（3）圆柱体的体积改变量 ΔV =
σ πD 2 L (1 − 2ν ) / E 。

三、顶部增强的悬臂梁（30 分） （形心为 zC = 0 ， yC = 0.592h1 ） 。

（1）组合截面中性轴的位置： yC = 0.592h1 ； （2）使梁 B 端下表面刚好接触 C 台面所需的竖向力为 FP = 0.4 E1bh1 Δ / L 。

3 3
top
（3）不使增强材料层下表面与梁上表面相对滑动的剪力为 FQ （4）梁的剪应力为 τ = 3 E1Δ yC − y 2
2
(
2
) / L ，沿梁截面高度的分布图见详细解答。

3
= 0.28 E1bh12 Δ / L2 。

四、令人惊讶的魔术师（20 分） （1）力学原理：沿不同方向推动木条时，需要的推力大小不同，木条运动的方式也不同：沿 AB 推，推力 F1 最大，木条平动；垂直 AB 在不同位置推动木条，木条绕不同的点转动， 且推力 F2 的大小、转动位置均与推力位置有关。

（ 2 ） 根 据 滚 动 小 球 的 号 码 信 息 ， 推 力 位 置 位 于 [ num, num + 1] 号 小 球 之 间 ， 且
2nmax 2 − Q 2 取整。

（注意 Q = N , or N − 1, or N + 1 均算正确） 。

num = 4nmax − 2Q
（3）设 F2 / F1 = η ，η ∈ [0, 0.414) 不可能出现。

当η ∈ [0.414, 0.828) 时，观众如果故意把
F2 错报为 1 F2 ，一定会被魔术师发现。

若η ∈ [0.828, 1] 时，观众故意报错不会被发现。

2
五、对称破缺的太极图（20 分） （1） I x = I z = I x ' = I z ' 成立，见详细解答。

（2）在 x = − r , z = 0 处粘上质量为 1 m 的配重，图形就可以在空中绕 Z 轴稳定地转动。

4
1


详细解答及评分标准 总体原则： （1） 计算题的某一小问，只要最后结果正确且有适当的步骤，就给全分。

（2） 如结果不正确，则参考具体的评分标准。

（3） 如结果不正确且方法与参考答案不一样，各地自行统一酌情给分。

（4） 证明题需要看过程。

一、看似简单的小试验（30 分） 【解】（1）小球出手后开始作抛物线运动，可以证明，在题目所给条件下，小球击中 A 点之 ： 前，一定会和圆盘边缘上其它点碰撞，即小球不可能直接击中 A 点。

证明：如果想求出抛物线与圆的交点表达式，会很复杂。

下面采用很简单的方法。

，圆 圆盘的边界轨迹为 x + y = r ，在 A 点右边的 x = − r + Δx 处（设 Δx 为一阶小量）
2 2 2
结论 3 分 证明方法不 限。

结论错误，0 分； 结论正确且能 够证明，3 分； 结论正确但证 明不完善，1 分。

盘的高度为 (− r + Δx) + y1 = r ， y1 = 2r Δx − Δx ，略去高阶小量，即 y1 ∼ Δx
2 2 2 2 2
0.5
；
小球的抛物线轨迹方程一定可以写为 y = − a ( x − b) + c 的形式（a、b、c 与初始条件有
2
关且均为正值） 。

在 x = − r + Δx 处，抛物线的高为 y2 = − a (− r + Δx − b) + c 。

假设抛物线过
2
A 点， 则有 0 = − a (− r − b) + c 。

因此有 y2 = 2a (r + b)Δx − aΔx ， 略去高阶小量， y2 ∼ Δx 。

即
2
2
即在 A 点之前（ x = − r + Δx 处） ，抛物线的高度是 1 阶小量，而圆盘的高是 0.5 阶小量， 所以圆盘比抛物线高。

因此小球在击中 A 点前一定会先与圆盘上某点发生碰撞，不可能直接 击中 A 点。

（2）建立惯性坐标系与初始时刻的 Oxy 重合。

可以用不同的方法求解。

系统水平方向动量守恒
mx + m( x − rϕ sin ϕ ) = 0
2
（1－1）
1分


系统机械能守恒
1 2
mx 2 + 1 m( x 2 − 2 xrϕ sin ϕ + r 2ϕ 2 ) + mgr sin ϕ = mgr 2
mx = − N cos ϕ
（1－2）
1分
拆开系统，对小球由水平方向质心运动定理 （1－3） 1分
由（1－1）和（1－2）得到
4(1 − sin ϕ ) g x = − rϕ sin ϕ ， ϕ = (2 − sin 2 ϕ )r
1 2 2
（1－4）
得到速度或角 速度，1 分
对（1－4）中的速度和角速度求导有
x = − 1 rϕ sin ϕ − 1 rϕ 2 cos ϕ ， ϕ = − 2 2
把（1－5）代入（1－3）有
2 cos ϕ (2 + sin 2 ϕ − 2sin ϕ ) g (2 − sin 2 ϕ ) 2 r
（1－5）
得到加速度或 角加速度，2 分 得到压力与角 度的正确表达 式，3 分
N=
mg ( 4 + sin 3 ϕ − 6sin ϕ )
( 2 − sin ϕ )
2 3
2
（1－6）
下面求小球正好脱离圆盘的位置，即求 4 + sin
ϕ − 6sin ϕ = 0 的解。

设 x = sin ϕ ，
y = x3 − 6 x + 4 。

一般情况下三次方程的解不好求，但是本题比较好求。

把 x＝－3，－2，－
1，0，1，2，3 代入，可以看出 x 在（－3，－2）之间、 （0，1）之间以及 x=2 处有三个解（见 下图） 。

根据三角函数的特点， （0，1）之间的解有意义。

注意到 x=2 是一个解，所以设
x3 − 6 x + 4 = ( x − 2)( x 2 + ζ x − 2) ，容易求出 ζ = 2 ，问题变为求 x 2 + 2 x − 2 = 0 在（0，1）
之间的解， x = 3 − 1 ， 为 因此 ϕ
得到角度的正 确表达式，3 = arcsin( 3 − 1) ≈ 47° 时，小球与圆盘压力为零，正好分离。

分
（3）为了求出碰撞后的速度，可以用不同的方法。

以碰撞点处的法向 n 和切向τ为坐标 轴构成 x ' y ' 。

3

。