08图

8.2 图的存储结构
8.2.1 图的邻接矩阵存储结构 假设图G = (V, E)有n个结点，即V={v0,v1,…,vn-1}，E可用 假设图 有 个结点， ， 可用 个结点 如下形式的矩阵A描述，对于A中的每一个元素 中的每一个元素a 满足： 如下形式的矩阵 描述，对于 中的每一个元素 ij，满足： 描述
在有n个结点的无向图中 若有n(n-1)/2 个结点的无向图中， 完全图 在有 个结点的无向图中，若有 条边，即任意两个结点之间有且只有一条边， 条边，即任意两个结点之间有且只有一条边，则称此 图为无向完全图。在有 个结点的有向图中 若有n(n个结点的有向图中， 图为无向完全图。在有n个结点的有向图中，若有 1)条边，即任意两个结点之间有且只有方向相反的两 条边， 条边 条边，则称此图为有向完全图。 条边，则称此图为有向完全图。
第八章 图
8.1 概述 8.2 图的存储结构 8.3 邻接矩阵图类 8.4 图的遍历 8.5 最小生成树 8.6 最短路径
本章主要知识点： 本章主要知识点： ● 图的基本概念 ● 图的存储结构，主要是邻接矩阵存储结构和邻 图的存储结构， 接表存 储结构 ● 图的遍历，主要是深度优先算法和广度优先遍 图的遍历， 历算法 ● 最小生成树的基本概念，以及普里姆算法和克 最小生成树的基本概念， 鲁斯卡尔算法 ● 最短路径的基本概念，狄克斯特拉算法思想 最短路径的基本概念，
设有图G1={V1, E1}和图 和图G2={V2, E2}，若V1包含 2且E1 包含V 子图 设有图 和图 ， 包含E2，则称图G2是图G1的子图。 包含 则称图 是图 的子图。 在无向图中，若从结点v 到结点v 有路径， 连通图和强连通图 在无向图中，若从结点 i到结点 j有路径， 则称结点v 和结点v 是连通的。 则称结点 i和结点 j是连通的。如果图中任意一对结点都是连通 的，则称该图是连通图。在有向图中，若对于任意一对结点vi 则称该图是连通图。在有向图中，若对于任意一对结点 和结点v 都存在路径，则称图G是强连通图 是强连通图。 和结点 j（vi≠vj）都存在路径，则称图 是强连通图。
0 0 A = 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
邻接矩阵特点
无向图的邻接矩阵对称，可压缩存储；有n个顶点的无向图需 存储空间为n(n+1)/2 有向图邻接矩阵不一定对称；有n个顶点的有向图需存储空间 为n² ² 无向图中顶点Vi的度TD(Vi)是邻接矩阵A中第i行元素之和 有向图中：
1 若( vi , v j ) ∈ E 或 < vi , v j >∈ E aij = 0 否则
由于矩阵A中的元素 表示了结点v 和结点v 之间边的关系， 由于矩阵 中的元素aij表示了结点 i和结点 j之间边的关系， 中的元素 或者说， 中的元素 表示了结点v 和结点v 中的元素a 或者说，A中的元素 ij表示了结点 i和结点 j（0≤j≤n-1） ） 的邻接关系，所以矩阵 称作邻接矩阵。 称作邻接矩阵 的邻接关系，所以矩阵A称作邻接矩阵。
例 2 1 4 3 5 连通图 6
例 3
5 强连通图 6
例 2 1 4 3 5 6 非连通图 连通分量
生成树 一个连通图的最小连通子图称作 该图的生成树。 该图的生成树。有n个结点的连通图的生成树 个结点的连通图的生成树 个结点和n-1条边 有n个结点和 条边。 个结点和 条边。 若路径上各结点v 简单路径和回路 若路径上各结点 1, v2, …, vm,互不重复，则称这样的路径为简单路径； 互不重复， 互不重复 则称这样的路径为简单路径； 若路径上第一个结点v1与最后一个结点 m重合， 若路径上第一个结点 与最后一个结点v 重合， 则称这样的路径为回路或环。 则称这样的路径为回路或环。
图的深度优先遍历（ 图的深度优先遍历（ DFS ） 深度优先遍历 方法：假设初始状态是图中所有顶点都没被访问 假设初始状态是图中所有顶点都没被访问 DFS可从图中某一顶点v0出发 访问v0 可从图中某一顶点v0出发， v0， 过，则DFS可从图中某一顶点v0出发，访问v0，然 后去访问与邻接但未被访问过的任一顶点v1 v1， 后去访问与邻接但未被访问过的任一顶点v1，之 后再去访问与v1邻接但未被访问过的任一顶点v2 v1邻接但未被访问过的任一顶点 后再去访问与v1邻接但未被访问过的任一顶点v2 重复这一过程， 时，重复这一过程，当达到一个所有邻接顶点被 访问过的顶点时，则依次退回到最近被访问过的 访问过的顶点时， 顶点，若它还有邻接点未被访问过， 顶点，若它还有邻接点未被访问过，从这些被访 问过的顶点中， 问过的顶点中，取其中的一顶点开始重复这一过 若所有邻接顶点被访问过，则依次回退，...， 程；若所有邻接顶点被访问过，则依次回退，...， 直到所有顶点被访问过为止。 直到所有顶点被访问过为止。
–顶点Vi的出度是A中第i行元素之和 –顶点Vi的入度是A中第i列元素之和
带权图及其邻接矩阵
1 2 3 V = 4 5 6
0 20 30 ∞ ∞ ∞ 20 0 ∞ 40 ∞ ∞ 30 ∞ 0 50 ∞ ∞ A= ∞ 40 50 0 70 80 ∞ ∞ ∞ 70 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 80 ∞ 0
(a) 有向图G1 G1 (b)无向图G2 (b) G2 (b) 图 6.1 图的示例 (a)
2
G1=(V1， 其中： G1=(V1，E1) 其中： G2=(V2， 其中： G2=(V2，E2) 其中：
V1={v1，v2，v3，v4} E1={<v1，v2>，<v1，v3>，<v3，v4>，<v4，v1>} V2={v1，v2，v3，v4，v5} E2={(v1，v2)，(v1，v4)，(v2，v3)，(v2，v5)，(v3， v4)，(v3，v5)}
结点v的度是与它相关联的边的 结点的度 结点 的度是与它相关联的边的 条数，记作 条数，记作TD(v)。 。 在图G=(V, E)中，若从结点 i出发有 路径 在图 中 若从结点v 一组边使可到达结点v 则称结点v 到结点v 一组边使可到达结点 j，则称结点 i到结点 j的 结点序列为从结点v 到结点v 结点序列为从结点 i到结点 j的路径
8.1 概述
8.1.1 图的基本概念 图 是由结点集合及结点间的关系集合组成 的一种数据结构。 的一种数据结构。 图中的顶点称作结点， 结点和边 图中的顶点称作结点，图中的第 i个结点记做 i。 个结点记做v 个结点记做
在有向图中，结点对＜ 有向图 在有向图中，结点对＜x, y＞是有 ＞ 序的，结点对＜ 到结点y的 序的，结点对＜x, y＞称为从结点 到结点 的 ＞称为从结点x到结点 一条有向边，因此，＜x, ＞ 一条有向边，因此，＜ y＞与＜y, x＞是两条 ，＜ ＞ 不同的边。有向图中的结点对＜ 不同的边。有向图中的结点对＜x, y＞用一对 ＞ 尖括号括起来， 是有向边的始点 是有向边的始点， 是有向边 尖括号括起来，x是有向边的始点，y是有向边 的终点，有向图中的边也称作弧. 的终点，有向图中的边也称作弧
在无向图G中 邻接结点 在无向图 中，若（u, v）是E(G)中的 ） 中的 一条边，则称 和 互为邻接结点 并称边（ 互为邻接结点， 一条边，则称u和v互为邻接结点，并称边（u, v）依 ） 附于结点u和 在有向图 在有向图G中 附于结点 和v。在有向图 中，若＜u, v＞是E(G)中 ＞ 中 的一条边，则称结点 邻接到结点 邻接到结点v，结点v邻接自结 的一条边，则称结点u邻接到结点 ，结点 邻接自结 和结点v相关联 点u，并称边＜u, v＞和结点 和结点 相关联。 ，并称边＜ ＞和结点u和结点 相关联。
无向图及其邻接矩阵
1 2 V = 3 4 5
0 1 A = 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
有向图及其邻接矩阵
A B V = C D E
8.4 图的遍历
8.4.1 图的深度和广度优先遍历算法 图的遍历算法设计需要考虑三个问题： 图的遍历算法设计需要考虑三个问题： （1）图的特点是没有首尾之分，所以算法的参数要指 ）图的特点是没有首尾之分， 定访问的第一个结点； 定访问的第一个结点； （2）对图的遍历路径有可能构成一个回路，从而造成 ）对图的遍历路径有可能构成一个回路， 死循环， 死循环，所以算法设计要考虑遍历路径可能出现的死 循环问题； 循环问题； （3）一个结点可能和若干个结点都是邻接结点，要使 ）一个结点可能和若干个结点都是邻接结点， 一个结点的所有邻接结点按照某种次序被访问。 一个结点的所有邻接结点按照某种次序被访问。
例 2 1 4 3 G1 5 6
路径：1，2，3，5，6，3 路径长度：5 简单路径：1，2，3，5 回路：1，2，3，5，6，3，1 简单回路：3，5，6，3
例 1 3 2 G2 5 4 7 6 路径：1，2，5，7，6，5，2，3 路径长度：7 简单路径：1，2，5，7，6 回路：1，2，5，7，6，5，2，1 简单回路：1，2， 1
2 3
有向完全图 4 3 5 6
无向完全图 5 3 例 2 4 3 G1 顶点2入度：1 出度：3 顶点4入度：1 出度：0 5 6 6
图与子图 例 1 3 2 G2 顶点5的度：3 顶点2的度：4 5 4 7
1 6
有些图的边附带有数据信息， 权 有些图的边附带有数据信息，这些附带的 数据信息称为权。第i条边的权用符号 i表示。 数据信息称为权。 条边的权用符号w 表示。 条边的权用符号 对于不带权的图， 路径长度 对于不带权的图，一条路径的路径长 度是指该路径上的边的条数；对于带权的图， 度是指该路径上的边的条数；对于带权的图，一条 路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。 路径的路径长度是指该路径上各个边权值的总和。
8.1.2 图的抽象数据类型 数据集合：由一组结点集合{v 和一组边 集合组 和一组边{e 数据集合：由一组结点集合 i}和一组边 j}集合组 当为带权图时每条边上权w 还构成权集合{w 。 成。当为带权图时每条边上权 j还构成权集合 j}。 操作集合： 操作集合： （1）初始化 ）初始化initiate(n) （2）插入结点 insertVertex(vertex) ） （3）插入边 ）插入边insertEdge(v1, v2, weight) （4）删除边 ）删除边deleteEdge(v1, v2) （5）删除结点 ）删除结点deleteVertex(vertex) （6）第一个邻接结点 ）第一个邻接结点getFirstVex(v) （7）下一个邻接结点 ）下一个邻接结点getNextVex(int v1, v2) （8）遍历 ）遍历depthFirstSearch(vs)
在无向图中，结点对（ 无向图 在无向图中，结点对（x, y）是无序 ） 和结点y相关联 的，结点对（x, y）称为与结点 和结点 相关联 结点对（ ）称为与结点x和结点 的一条边。（ 的一条边。（x, y）等价于＜x, y＞和＜y, x＞。 。（ ）等价于＜ ＞ ＞
图基本术语
1 2 1 3 4 3 4 5
8.2.2 图的邻接表存储结构 图的邻接矩阵存储结构的主要特点是把图的边信息存 储在一个n× 矩阵中 其中n为图中的结点个数 矩阵中， 为图中的结点个数。 储在一个 ×n矩阵中，其中 为图中的结点个数。
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8.3 邻接矩阵图类
1 2 邻接矩阵图类AdjMWGraph的设计 的设计 邻接矩阵图类 邻接矩阵图类AdjMWGraph的测试 的测试 邻接矩阵图类