第五讲 单片空间后方交会

x12 − f (1 + 2 ) f xy − 1 1 f
2 x2 − f (1 + 2 ) f
−
x1 y1 f
y12 − f (1 + 2 ) f − x2 y2 f
x y − 2 2 f
2 x3 − f (1 + 2 ) f
2 y2 − f (1 + 2 ) f
−
x3 y3 f
xy − 3 3 f
Y B
A
C X
利用航摄像片上三个以上像点坐标和对应像 点坐标和对应地面点坐标，计算像片外方位元 素的工作，称为单张像片的空间后方交会。 进行空间后方交会运算，常用的一个基本公 式是前面提到的共线方程。式中的未知数，是 六个外方位元素。由于一个已知点可列出两个 方程式，如有三个不在一条直线上的已知点， 就可列出六个独立的方程式，解求六个外方位 元素。由于共线条件方程的严密关系式是非线 性函数，不便于计算机迭代计算。为此，要由 严密公式推导出一次项近似公式，即变为线性 函数。
（5） 用所取未知数的初始值和控制点的地面坐标，代入共线方程式，逐 ） 用所取未知数的初始值和控制点的地面坐标，代入共线方程式， 点计算像点坐标的近似值 ( x), ( y ) 并计算 lx , l y a ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) x=−f 1 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) a ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) y=−f 2 a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) （6） 组成误差方程式。 ） 组成误差方程式。 7） 计算法方程式的系数矩阵与常数项，组成法方程式。 （7） 计算法方程式的系数矩阵与常数项，组成法方程式。 （8） 解算法方程，迭代求得未知数的改正数。 ） 解算法方程，迭代求得未知数的改正数。
外方位元素的计算
当一张像片上至少有三个控制点时， 当一张像片上至少有三个控制点时，误差方程矩阵形式
V = Ax − l
x = ( A T A ) −1 ( A T l )
x , l = y a 14 a 15 a 24 a 25
σ
0
=
V TV 2n − 6
∆ X s ∆Ys ∆Z vx V = x = ∆ ϕs , v y ∆ω ∆κ a 12 a 13 a A = 11 a 22 a 23 a 21
试计算近垂直摄影情况下空间后方交会的解。 试计算近垂直摄影情况下空间后方交会的解。已知像片的内方 位元素为： 位元素为：f = 153.24 mm , x0 = y 0 = 0
解： 1、初始值的确定： 、初始值的确定：
ϕ0 = ω0 = κ 0 = 0
4 1 YS0 = = (25273.32 + 31324.51+ 24934.98 + 30319.81) = 27963.155 4 4 1 0 ZS = mf + ∑Z , m为摄影比例尺分母 4 1 l1,2 154mm 1 f = = = = ;∴H = 6109.68(m) m L1,2 6140m 39870 H 1 1 Z = mf + ∑Z = 39870×153.24 + (2195.17 + 728.69 + 2386.50 + 757.31) = 7626.596 4 4
0 1 2 X S = X S + dX S + dX S + ...
YS = YS0 + dYS1 + dYS2 + ...
0 1 2 Z S = Z S + dZ S + dZ S + ...
ϕ = ϕ 0 + dϕ 1 + dϕ 2 + ... ω = ω 0 + dω1 + dω 2 + ... κ = κ 0 + dκ 1 + dκ 2 + ...
垂直摄影情况下， 垂直摄影情况下，可取ϕ＝ω＝0，保留κ，则 ，
f cos κ H f a12 = − sin κ H x − x0 a13 = − H ( x − x0 ) 2 ( x − x0 )( y − y0 ) a14 = −( f + ) cos κ + sin κ f f a11 = − ( x − x0 )( y − y0 ) ( x − x0 ) 2 a15 = − cos κ − ( f + ) sin κ f f a16 = +( y − y0 )
f sin κ H f a12 = − cos κ H y − y0 a13 = − H ( x − x0 )( y − y 0 ) ( y − y0 ) 2 a14 = − cos κ + ( f + ) sin κ f f a 21 = + ( y − y0 ) 2 ( x − x0 )( y − y 0 ) a15 = −( f + ) cos κ − sin κ f f a16 = −( x − x 0 )
误差方程
v x = a11 ∆ X s + a12 ∆ Ys + a13 ∆ Z s + a14 ∆ ϕ + a15 ∆ ω + a16 ∆ κ + x 0 − x v y = a 21 ∆ X s + a 22 ∆ Ys + a 23 ∆ Z s + a 24 ∆ ϕ + a 25 ∆ ω + a 26 ∆ κ + y 0 − y
二、误差方程
已知值 x0 , y0 , f , m , X , Y , Z 观测值 x , y 未知数 X s, Ys , Zs , ϕ , ω , κ , 泰勒级数展开
vx = vy = ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∆ϕ + ∆ω + ∆κ + ∆X s + ∆Ys + ∆Z s + x 0 − x ∂ϕ ∂ω ∂κ ∂X s ∂Ys ∂Z s ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∂y ∆ϕ + ∆ω + ∆κ + ∆X s + ∆ Ys + ∆Z s + y 0 − y ∂ϕ ∂ω ∂κ ∂X s ∂Ys ∂Z s
f − H 0 f − H 0 V = − f H 0 f − H 0
0 f − H 1 H x − 2 H y − 2 H x − 3 H y − 3 H x − 4 H y − 4 H
摄影测量学》 《摄影测量学》（上）第五讲
单像空间后方交会
主要内容
一、定义 二、误差方程 三、计算过程
一、定义
z y x s(Xs, Ys, Zs) Z a b c
根据影像覆盖范 围内一定数量的 分布合理的地面 控制点（ 控制点（已知其 像点和地面点的 坐标）， ），利用共 坐标），利用共 线条件方程求解 像片外方位元素
0 S
X
0 S
∑ X = 1 (36589.41+ 37631.08 + 39100.97 + 40426.54) = 38437.00 =
4 ∑Y
2、列误差方程式： 、列误差方程式：
a A = 11 a 21 f − H = 0 a 12 a 22 0 − f H a 13 a 23 − − x H y H 1 0 0 a 14 a 15 a 16 ; R = 0 1 0 a 24 a 25 a 26 0 0 1 x2 xy − f (1 + 2 ) − y f f 2 xy y − − f (1 + 2 ) − x f f
tp tp tp s0 s0 s0 0 0
0
空间后方交会的具体计算过程
（1） 获取原始数据。从摄影资料中查取平均航高与摄影机主距；从外业 ） 获取原始数据。从摄影资料中查取平均航高与摄影机主距； 测量成果中获取地面控制点的地面测量，或转换为地面摄影测量坐标。 测量成果中获取地面控制点的地面测量，或转换为地面摄影测量坐标。 （2）用像点坐标量测仪器量测像点坐标。 ）用像点坐标量测仪器量测像点坐标。 （3）确定未知数的初始值：在竖直摄影情况下，三个角元素的初始值取 ）确定未知数的初始值：在竖直摄影情况下， 为： ϕ = ω = κ = 0 三个直线元素取为： 三个直线元素取为：
0 Z S = mf +
1 ∑ Z 控 , m为摄影比例尺分母, n为控制点个数 n
X
0 S
∑X =
n ∑Y n
YS0 =
（4） 用三个角元素的初始值计算旋转矩阵 ） 用三个角元素的初始值计算旋转矩阵R
a1 = cos ϕ cos κ − sin ϕ sin ω sin κ a2 = − cos ϕ sin κ − sin ϕ sin ω cos κ a3 = − sin ϕ cos ω b1 = cos ω sin κ b2 = cos ω cos κ b3 = − sin ω ; c1 = sin ϕ cos κ + cos ϕ sin ω sin κ c2 = − sin ϕ sin κ + cos ϕ sin ω cos κ ; c3 = cos ϕ cos ω 当ϕ = ω = κ = 0时 : 1 0 0 R = 0 1 0 0 0 1
0 0
− x − y
Q xx = ( A T A ) − 1
a 16 a 26
mi = σ
0
ii Q xx
三、计算过程
获取已知数据 m, x0 , y0 , f , X , Y , Z 量测控制点像点坐标 x,y 确定未知数初值 X , Y , Z , ϕ , ω , κ 组成误差方程式并法化 解求外方位元素改正数 检查迭代是否收敛
f x x2 xy Vx = − dX S − dZ S − f 1 + 2 dϕ − d ω + yd κ − l x H H f f f y xy y2 V y = − dYS − dZ S − dϕ − f 1 + 2 d ω − xd κ − l y H H f f a1 ( X − X S ) + b1 (Y − YS ) + c1 ( Z − Z S ) a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) a2 ( X − X S ) + b2 (Y − YS ) + c2 ( Z − Z S ) ly = y − ( y) = y + f a3 ( X − X S ) + b3 (Y − YS ) + c3 ( Z − Z S ) lx = x − ( x) = x + f
2 x4 − f (1 + 2 ) f
2 y3 − f (1 + 2 ) f
−
x4 y4 f
x y − 4 4 f
2 y4 − f (1 + 2 ) f
y1 − x1 lx1 y2 l dX S y1 dY lx2 − x2 S dZ S l y2 − ⋅ dϕ lx3 y3 dω l y3 d κ lx4 − x3 l y 4 y4 − x4
• 单像空间后方交会求解的例子： 单像空间后方交会求解的例子：
已知4对点的影像坐标和地面坐标： 已知 对点的影像坐标和地面坐标： 对点的影像坐标和地面坐标
影像坐标 x(mm) 1 2 3 4 -86.15 -53.40 -14.78 10.46 y(mm) -68.99 82.21 -76.63 64.43 相应的地面点坐标 X(m) 36589.41 37631.08 39100.97 40426.54 Y(m) 25273.32 31324.51 24934.98 30319.81 Z(m) 2195.17 728.69 2386.50 757.31