湘教版 九年级数学下册 全一册 课时同步练习 习题合集(二)(含答案解析)

2．1 圆的对称性
一、选择题
1．下列语句中，不正确的有( )
①过圆上一点可以作无数条圆中最长的弦；
②长度相等的弧是等弧；
③圆上的点到圆心的距离都相等；
④同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图K－10－1所示，在⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在同一条直线上，图中弦的条数为( )
图K－10－1
A．2 B．3 C．4 D．5
3．若⊙O的半径为4 cm，点A到圆心O的距离为3 cm，则点A与⊙O的位置关系是 ( ) A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上
C．点A在⊙O外 D．不能确定
4．半径为5的圆的弦长不可能是( )
A．3 B．5 C．10 D．12
5．已知MN是⊙O的一条非直径的弦，则下列说法中错误的是( )
A．M，N两点到圆心O的距离相等
B．MN是圆的一条对称轴
C．在圆中可画无数条与MN相等的弦
D．圆上有两条弧，一条是优弧，一条是劣弧
6．如图K－10－2所示，方格纸上一圆经过(2，6)，(－2，2)，(2，－2)，(6，2)四点，则该圆圆心的坐标为( )
图K－10－2
A．(2，－1) B．(2，2) C．(2，1) D．(3，1)
7.形如半圆型的量角器直径为4 cm，放在如图K－10－3所示的平面直角坐标系中(量角器
的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上)，连接60°和120°刻度线的一个端点P，Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为( )
图K－10－3
A．(－1，3) B．(0，3) C．(3，0) D．(1，3)
二、填空题
8．战国时的《墨经》就有“圆，一中同长也”的记载．它的意思是圆上各点到圆心的距离都等于________．
9．已知⊙O的半径为10 cm，点P到圆心的距离为d cm.
(1)当d＝8 cm时，点P在⊙O______；
(2)当d＝10 cm时，点P在⊙O______；
(3)当d＝12 cm时，点P在⊙O______．
10．如图K－10－4所示，三圆同心于点O，AB＝4 cm，CD⊥AB于点O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
图K－10－4
11．如图K－10－5所示，在矩形ABCD的顶点A处拴了一只小羊，在B，C，D处各有一筐青草，要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到．如果AB＝5，BC＝12，那么拴羊的绳长l的取值范围是________．
图K－10－5
三、解答题
12．如图K－10－6所示，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO，并延长CO，BO分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.
图K－10－6
13．如图K－10－7，点O是同心圆的圆心，大圆半径OA，OB分别交小圆于点C，D.
求证：AB∥CD.
图K－10－7
14．如图K－10－8，在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，∠BAC＝120°，M，N分别是AB，AC的中点，AD⊥BC，垂足为D，以D为圆心，3 cm为半径画圆，判断A，B，C，M，N各点和⊙D的位置关系.链接听课例3归纳总结
图K－10－8
15．图K－10－9，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，垂足为E，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF.
求证：(1)AB＝AC;
(2)A，B，C三点在以点O为圆心的圆上．
1．[解析] B ①②不正确． 2．A
3．[解析] A d ＝3 cm ＜4 cm ＝r ，所以点A 在⊙O 内． 4．[解析] D 圆中弦的长度小于或等于圆的直径． 5．B 6.B 7．[解析] B 连接OQ ，PO ，则∠POQ ＝120°－60°＝60°.∵PO ＝OQ ，∴△POQ 是等边三角形，∴PQ ＝PO ＝OQ ＝1
2×4＝2(cm )，∠OPQ ＝∠OQP ＝60°.∵∠AOQ ＝90°－60°＝30°，
∴∠QAO ＝180°－60°－30°＝90°，∴AQ ＝1
2OQ ＝1 cm .∵在Rt △AOQ 中，由勾股定理，
得OA ＝22
－12
＝3，∴点A 的坐标是(0，3)．故选B . 8．半径
9．(1)内 (2)上 (3)外 10．[答案] π
[解析] 根据圆是轴对称图形，得阴影部分的面积＝14大圆的面积＝14π(4÷2)2
＝π
(cm 2
)．
11．[答案] 5≤l＜13
[解析] 根据题意画出图形如图所示：
AB ＝CD ＝5，AD ＝BC ＝12，根据矩形的性质和勾股定理得到：
AC ＝52
＋122
＝13.
∵AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，而B ，C ，D 中至少有一个点在⊙A 内或上，且至少有一个点在⊙A 外，∴点B 在⊙A 内或上，点C 在⊙A 外，∴要使小羊至少能吃到一个筐子里的草，且至少有一个筐子里的草吃不到，拴羊的绳长l 的取值范围是5≤l＜13. 12．证明：∵OB ，OC 是⊙O 的半径，
∴OB ＝OC.
又∵∠B ＝∠C ，∠BOE ＝∠COF ， ∴△EOB ≌△FOC ， ∴OE ＝OF ， ∴CE ＝BF.
13．证明：∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ， ∴∠OCD ＝1
2(180°－∠O)．
∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA ， ∴∠OAB ＝1
2(180°－∠O)，
∴∠OCD ＝∠OAB ， ∴AB ∥CD.
14．解：连接DM ，DN.
∵在△ABC 中，AB ＝AC ＝6 cm ，∠BAC ＝120°， ∴∠B ＝∠C ＝30°. ∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝1
2AB ＝3 cm ，BD ＝CD ＝3 3 cm .
∵M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴DM ＝DN ＝1
2
AB ＝3 cm ，
∴点A ，M ，N 在⊙D 上，点B ，C 在⊙D 外． 15．证明：(1)∵AE ⊥EF, EF ∥BC ， ∴AD ⊥BC. ∵BD ＝CD ，
∴AD 是BC 的垂直平分线， ∴AB ＝AC.
(2)如图，连接BO ，
∵AD 是BC 的垂直平分线， ∴BO ＝CO. 又∵AO ＝CO ， ∴AO ＝BO ＝CO ，
∴A ，B ，C 三点在以点O 为圆心的圆上．
2．2.1 圆心角
知识点 1 圆心角的定义
1．下面四个图中的角，表示圆心角的是( )
图2－2－1
2．在直径为8的圆中，90°的圆心角所对的弦长为( )
A ．4 2
B ．4
C ．4 3
D ．8
3．在半径为2 cm 的⊙O 中，弦长为2 cm 的弦所对的圆心角为( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°
知识点 2 圆心角、弧、弦之间的关系
4．如图2－2－2所示，在⊙O 中，已知AB ︵＝CD ︵
，则弦AC 与BD 的关系是( )
图2－2－2
A ．AC ＝BD
B ．A
C ＜B
D C ．AC ＞BD D ．不确定
5．如图2－2－3，已知∠AOB ＝∠COD ，下列结论不一定成立的是( )
图2－2－3
A ．A
B ＝CD B .AB ︵＝CD ︵
C ．△AOB ≌△CO
D D ．△AOB ，△COD 都是等边三角形
6．如图2－2－4，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵
，∠AOD ＝80°，则∠ABC 的度数为( )
图2－2－4
A ．40°
B ．65°
C ．100°
D ．105°
7．如图2－2－5，在⊙O 中，AC ︵＝BD ︵
，∠1＝50°，则∠2的度数为________．
图2－2－5
8．如图2－2－6，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠BOC ＝40°，则∠AOE 的度数是________．
图2－2－6
9．如图2－2－7，已知AB ＝CD. 求证：AD ＝BC.
图2－2－7
10．如图2－2－8，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵
. (1)求∠AOB ，∠BOC ，∠AOC 的度数；
(2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．
图2－2－8
11．教材习题2.2A 组第2题变式如图2－2－9所示，OA ，OB ，OC 是⊙O 的三条半径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，且MC ＝NC.
求证：AC ︵＝BC ︵.
图2－2－9
12．如图2－2－10，在⊙O 中，AB ︵＝2AC ︵
，那么( )
图2－2－10
A ．A
B ＝A
C B ．AB ＝2AC C ．AB<2AC
D ．AB>2AC
13. 如图2－2－11，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，若BC ＝CD ＝DA ＝4 cm ，则⊙O 的周长为( )
图2－2－11
A ．5π cm
B ．6π cm
C ．9π cm
D ．8π cm
14．如图2－2－12所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是________．
图2－2－12
15．如图2－2－13，已知AB 是⊙O 的直径，弦AC ∥OD.求证：BD ︵＝CD ︵
.
图2－2－13
16．如图2－2－14，AB 是⊙O 的直径，AC ︵＝CD ︵
，∠COD ＝60°. (1)△AOC 是等边三角形吗？请说明理由； (2)求证：OC ∥BD.
图2－2－14
17．如图2－2－15，∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵
的三等分点，AB 分别交OC ，OD 于点E ，F.
求证：AE ＝CD.
图2－2－15
18．如图2－2－16，A ，B 是圆O 上的两点，∠AOB ＝120°，C 是AB ︵
的中点． (1)试判断四边形OACB 的形状，并说明理由；
(2)延长OA 至点P ，使得AP ＝OA ，连接PC ，若圆O 的半径R ＝2，求PC 的长．
图2－2－16
教师详解详析
1．D 2.A 3.B 4.A 5.D 6.B 7．50° 8.60°
9．[解析] 要证AD ＝BC ，可证AD ︵＝BC ︵
. 证明：∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝DC ︵
， ∴AB ︵－DB ︵＝DC ︵－DB ︵，即AD ︵＝BC ︵， ∴AD ＝BC .
10．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵
， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .
又∵∠AOB ＋∠BOC ＋∠AOC ＝360°， ∴∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC ＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵，
∴AB ＝BC ＝CA ，
∴△ABC 是等边三角形．
11．证明：∵M ，N 分别是OA ，OB 的中点， ∴OM ＝12OA ，ON ＝12
OB .
又OA ＝OB ，∴OM ＝ON . 在△OMC 和△ONC 中，
OM ＝ON ，MC ＝NC ，OC ＝OC ，
∴△OMC ≌△ONC ，∴∠COM ＝∠CON ， ∴AC ︵＝BC ︵.
12．C [解析] 取AB ︵的中点M ，连接AM ，BM ，则AC ︵＝AM ︵＝BM ︵
，∴AC ＝AM ＝BM .在△ABM 中，AB <AM ＋BM ，∴AB <2AC .
13．D [解析] 连接OD ，OC .根据圆心角、弧、弦的关系证得△AOD 是等边三角形，则⊙O 的半径为4 cm ，然后由圆的周长公式进行计算．
14．51° [解析] ∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵
，∠COD ＝34°，∴∠BOC ＝∠EOD ＝∠COD ＝34°，∴∠AOE ＝180°－∠EOD －∠COD －∠BOC ＝78°.又∵OA ＝OE ，∴∠AEO ＝∠OAE ，∴∠AEO ＝1
2×
(180°－78°)＝51°.
15．证明：连接OC .
∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠ACO . ∵AC ∥OD ，
∴∠OAC ＝∠BOD ，∠DOC ＝∠ACO ，
∴∠BOD ＝∠COD ，∴BD ︵＝CD ︵
.
16．解：(1)△AOC 是等边三角形．理由如下： ∵AC ︵＝CD ︵
，∴∠AOC ＝∠COD ＝60°. 又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形． (2)证明：∵∠AOC ＝∠COD ＝60°， ∴∠BOD ＝60°.
又∵OB ＝OD ，∴△OBD 是等边三角形， ∴∠B ＝60°，
∴∠AOC ＝∠B ，∴OC ∥BD .
17．证明：连接AC ，∵∠AOB ＝90°，C ，D 是AB ︵
的三等分点，∴∠AOC ＝∠COD ＝30°，
AC ＝CD .又∵OA ＝OC ，∴∠ACE ＝75°.∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，∴∠OAB ＝45°，∴∠AEC ＝∠AOC ＋∠OAB ＝75°，∴∠ACE ＝∠AEC ，∴AE ＝AC ，∴AE ＝CD .
18．解：(1)四边形OACB 是菱形．理由：连接OC ，∵∠AOB ＝120°，C 是AB ︵
的中点，∴∠AOC ＝∠BOC ＝1
2∠AOB ＝60°.∵OA ＝OC ＝OB ，∴△AOC 与△BOC 都是等边三角形，∴AC ＝OA
＝OC ＝OB ＝BC ，∴四边形OACB 是菱形．
(2)∵AP ＝OA ，AC ＝OA ，∴AP ＝AC ，∴∠P ＝∠ACP ＝1
2∠OAC ＝30°，∴∠OCP ＝90°.
∵R ＝2，∴OC ＝2，OP ＝4，∴PC ＝OP 2
－OC 2
＝2 3.
2.2.2 第1课时 圆周角定理及其推论1
知识点 1 圆周角的定义
1．下列四个图中，∠α是圆周角的是( )
图2－2－17
知识点 2 圆周角定理
2．2017·衡阳如图2－2－18，点A ，B ，C 都在⊙O 上，且点C 在弦AB 所对的优弧上，如果∠AOB ＝64°，那么∠ACB 的度数是( )
图2－2－18
A．26°B．30°C．32°D．64°
3．2018·聊城如图2－2－19，⊙O中，弦BC与半径OA相交于点D，连接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C的度数是( )
图2－2－19
A．25°B．27.5°C．30°D．35°
4．2018·广东同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是________°.
5．如图2－2－20，点A，B，C都在⊙O上，如果∠AOB＋∠ACB＝84°，那么∠ACB的度数是________．
图2－2－20
6.2017·白银如图2－2－21，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝32°，则∠C ＝________°.
图2－2－21
7．教材练习第3题变式如图2－2－22，点A ，B ，C 在⊙O 上，AC ∥OB ，若∠BOC ＝50°，求∠OBA 的度数．
图2－2－22
知识点 3 圆周角定理的推论1
8．如图2－2－23，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵
，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( )
图2－2－23
A ．40°
B ．30°
C ．20°
D ．15°
9．如图2－2－24，经过原点O 的⊙P 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，C 是OB ︵
上一点，则∠ACB 的度数为( )
图2－2－24
A ．80°
B ．90°
C ．100°
D ．无法确定
10．如图2－2－25，已知点A，B，C，D在⊙O上．
(1)若∠ABC＝∠ADB，求证：AB＝AC；
(2)若∠CAD＝∠ACD，求证：BD平分∠ABC.
图2－2－25
11．如图2－2－26，点A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，∠DCE＝40°，则∠APB的度数为( )
图2－2－26
A．140°B．70°C．60°D．40°
12．将量角器按图2－2－27所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．若点A，B的读数分别为86°，30°，则∠ACB的度数为( )
图2－2－27
A．15°B．28°C．29°D．34°
13．如图2－2－28，△ABC的三个顶点都在⊙O上，直径AD＝6 cm，∠DAC＝2∠B，求AC的长．
图2－2－28
14．如图2－2－29，点A，B，C在圆O上，弦AE平分∠BAC交BC于点D，连接BE.
求证：BE2＝ED·EA.
图2－2－29
15．如图2－2－30，△ABC的两个顶点B，C在圆O上，顶点A在圆O外，AB，AC分别交圆O于点E，D，连接EC，BD.
(1)求证：△ABD∽△ACE；
(2)若△BEC与△BDC的面积相等，试判断△ABC的形状．
图2－2－30
16．如图2－2－31，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
图2－2－31
教师详解详析
1．C 2．C [解析] 根据圆周角定理，同一条弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，所以∠ACB ＝1
2
∠AOB ＝32°.故选C.
3．D [解析] ∵∠A ＝60°，∠ADC ＝85°，∴∠B ＝∠ADC －∠A ＝85°－60°＝25°.∵∠O ＝2∠B ＝50°，∴∠C ＝∠ADC －∠O ＝85°－50°＝35°.故选D.
4．50 [解析] ∵弧AB 所对的圆心角是100°，
∴弧AB 所对的圆周角为1
2
×100°＝50°.
5．28°
6．58 [解析] 连接OB ，∵OA ＝OB ，∴△AOB 是等腰三角形，∴∠OAB ＝∠OBA ，∵∠OAB ＝32°，∴∠OAB ＝∠OBA ＝32°，∴∠AOB ＝116°，∴∠C ＝58°.
7．解：∵AC ∥OB ，∴∠OBA ＝∠BAC .
又∠BOC ＝50°，∴∠BAC ＝25°，∴∠OBA ＝25°.
8．C [解析] 连接OC .∵AB ︵＝AC ︵，∴∠AOC ＝∠AOB ＝40°，∴∠ADC ＝1
2
∠AOC ＝20°.
9．B [解析] ∵∠AOB 与∠ACB 都是AB ︵
所对的圆周角，∴∠AOB ＝∠ACB . ∵∠AOB ＝90°，∴∠ACB ＝90°.故选B. 10．证明：(1)∵∠ABC ＝∠ADB ， ∴AB ︵＝AC ︵
，∴AB ＝AC .
(2)∵∠CAD ＝∠CBD ，∠ACD ＝∠ABD ，∠CAD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＝∠CBD ，∴BD 平分∠ABC . 11．B [解析] 由题知∠DCE ＝40°，在四边形CDOE 中，∠CDO ＝∠CEO ＝90°，∴∠AOB ＝360°－90°－90°－40°＝140°，根据圆周角定理，得∠APB ＝12∠AOB ＝12×140°＝70°.
故选B.
12．B
13．解：如图，连接OC ，
∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴OC ＝AC .
又∵OA ＝OC ，∴△AOC 是等边三角形， ∴AC ＝AO ＝1
2
AD ＝3 cm.
14．[解析] 欲证BE 2
＝ED ·EA ，只需证BE ED ＝EA BE
，则只需证△BAE ∽△DBE .由于AE 平分∠
BAC ，则∠BAE ＝∠CAE .又因为∠EBD ＝∠CAE ，则∠BAE ＝∠DBE .再由∠E 为公共角，题目可
证．
证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠CAE . 又∵∠CAE ＝∠DBE ，∴∠BAE ＝∠DBE . 又∵∠E ＝∠E ，∴△BAE ∽△DBE ， ∴BE ED ＝EA BE
，即BE 2
＝ED ·EA .
15．解：(1)证明：∵∠EBD 与∠ECD 都是DE ︵
所对的圆周角，∴∠EBD ＝∠ECD . 又∵∠A ＝∠A ，∴△ABD ∽△ACE .
(2)∵S △BEC ＝S △BDC ，S △ACE ＝S △ABC －S △BEC ，S △ABD ＝S △ABC －S △BDC ，∴S △ACE ＝S △ABD .
由(1)知△ABD ∽△ACE ，∴对应边之比等于1，∴AB ＝AC ，即△ABC 为等腰三角形． 16．解：(1)△ABC 是等边三角形．理由如下：在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵
所对的圆周角，∠ABC 与∠APC 是AC ︵
所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ，∠ABC ＝∠APC .又∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，∴∠ABC ＝∠BAC ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．
(2)PC ＝PB ＋PA .证明：在PC 上截取PD ＝PA ，连接AD ，如图．
∵∠APC ＝60°，∴△APD 是等边三角形，∴AD ＝AP ＝PD ，∠ADP ＝60°，∴∠ADC ＝120°.又∵∠APB ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠ADC ＝∠APB .
在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠APB ＝∠ADC ，∠ABP ＝∠ACD ，AP ＝AD ，
∴△APB ≌△ADC (AAS)，∴PB ＝DC .
又∵PD ＝PA ，∴PC ＝PB ＋PA .
第2课时 圆周角定理的推论2
及圆内接四边形的性质
知识点 1 圆周角定理的推论2 1．如图2－2－32，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠A ＝30°，则∠B 的度数为 ( )
图2－2－32 A ．15° B ．30° C ．45° D ．60°
2．如图2－2－33，小华同学设计了一个测圆的直径的测量器，将标有刻度的尺子OA ，OB 在点O 处钉在一起，并使它们保持垂直，在测圆的直径时，把点O 靠在圆周上，读得刻
度OE＝8 cm，OF＝6 cm，则圆的直径为( )
图2－2－33
A．12 cm B．10 cm C．14 cm D．15 cm
3．2017·福建如图2－2－34，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的是( )
图2－2－34
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
4．如图2－2－35，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ACD＝25°，∠BAD的度数为________．
图2－2－35
5．如图2－2－36，⊙O的直径AB＝10 m，C为直径AB下方半圆上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD，BD.判断△ABD的形状，并说明理由．
图2－2－36
知识点 2 圆内接四边形的概念及其性质
6．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D的度数为( ) A．60°B．120°C．140°D．150°
7．2018·济宁如图2－2－37，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是( )
图2－2－37
A．50°B．60°C．80°D．100°
8．教材练习第3题变式如图2－2－38，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点，若∠B＝96°，则∠ADE的度数为________．
图2－2－38
9．2017·西宁如图2－2－39，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝120°，则∠DCE＝________°.
图2－2－39
10．如图2－2－40，A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，且BC＝BE.
求证：△ADE是等腰三角形．
图2－2－40
11．2018·武威如图2－2－41，⊙A过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是( )
图2－2－41
A．15°B．30°C．45°D．60°
12．2017·株洲如图2－2－42，已知AM为⊙O的直径，直线BC经过点M，且AB＝AC，∠BAM＝∠CAM，线段AB和AC分别交⊙O于点D，E，∠BMD＝40°，则∠EOM＝________°.
图2－2－42
13．2016·西宁⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．14．如图2－2－43，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O交于点E，连接AC，CE.
(1)求证：∠B＝∠D；
(2)若AB＝4，BC－AC＝2，求CE的长．
图2－2－43
15．如图2－2－44，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点
E.
(1)求证：BE＝CE；
(2)若BD＝2，BE＝3，求AC的长．
图2－2－44
16．如图2－2－45，已知⊙O中，弦AB⊥AC，且AB＝AC＝6，点D在⊙O上，连接AD，BD，CD.
(1)如图①，若AD经过圆心O，求BD，CD的长；
(2)如图②，若∠BAD＝2∠DAC，求BD，CD的长．
图2－2－45
教师详解详析
1．D 2.B
3．D [解析] ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BAD ＋∠ABD ＝90°.∵∠ACD ＝∠ABD ，∴∠BAD ＋∠ACD ＝90°，故选D.
4．65° [解析] ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD ＝25°，∴∠B ＝25°.∴∠BAD ＝90°－∠B ＝65°.
5．解：△ABD 是等腰直角三角形．理由：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°.∵CD 是∠ACB 的平分线，∴AD ︵＝BD ︵
，∴AD ＝BD ，∴△ABD 是等腰直角三角形．
6．B
7．D [解析] 如图所示．在优弧BD 上任取一点A (不与点B ，D 重合)，连接AB ，AD .因为四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，所以∠A ＋∠BCD ＝180°.因为∠BCD ＝130°，所以∠A ＝50°.因为∠A 与∠BOD 都对着劣弧BD ，所以∠BOD ＝2∠A ＝2×50°＝100°.
8．96°
9．60 [解析] ∵∠BOD ＝120°，∴∠A ＝1
2∠BOD ＝60°.∵四边形ABCD 是圆内接四边
形，∴∠DCE ＝∠A ＝60°.
10．证明：∵BC ＝BE ，∴∠E ＝∠BCE . ∵四边形ABCD 是圆内接四边形， ∴∠A ＋∠DCB ＝180°.
又∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°， ∴∠A ＝∠BCE ，
∴∠A ＝∠E ，∴AD ＝DE ， ∴△ADE 是等腰三角形．
11．B [解析] 连接CD ，则CD 为⊙A 的直径，可得∠OBD ＝∠OCD ，根据点D (0，1)，
C (3，0)，得O
D ＝1，OC ＝3，由勾股定理得出CD ＝2，∵OD ＝12
CD ，∴∠OCD ＝30°，∴
∠OBD ＝30°.故选B.
12．80 [解析] 连接EM ，∵AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAM ，∴AM ⊥BC .∵AM 为⊙O 的直径，∴∠ADM ＝∠AEM ＝90°，∴∠AME ＝∠AMD ＝90°－∠BMD ＝50°，∴∠EAM ＝40°，∴∠EOM ＝2∠EAM ＝80°.
13．15°或75° [解析] 作直径AD ，AD ＝2.如图①，若两条弦在AD 的同侧，分别连接BD ，CD ，则∠B ＝∠C ＝90°.∵AB ＝2，AC ＝3，∴cos ∠BAD ＝AB AD ＝22，cos ∠CAD ＝AC AD
＝
3
2
，∴∠BAD ＝45°，∠CAD ＝30°，∴∠BAC ＝45°－30°＝15°.
如图②，若两条弦在AD的两侧，分别连接BD，CD，则∠B＝∠C＝90°.
∵AB＝2，AC＝3，∴cos∠BAD＝
2
2
，
cos∠CAD＝
3
2
，∴∠BAD＝45°，∠CAD＝30°，
∴∠BAC＝45°＋30°＝75°.
故答案为15°或75°.
14．解：(1)证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC.
又∵DC＝BC，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D. (2)设BC＝x，则AC＝x－2.
在Rt△ABC中，AC2＋BC2＝AB2，
即(x－2)2＋x2＝42，
解得x1＝1＋7，x2＝1－7(舍去)．
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，∴DC＝CE.
又∵DC＝BC，∴CE＝BC＝1＋7.
15．解：(1)证明：如图，连接AE.
∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，
∴AE⊥BC.又∵AB＝AC，∴BE＝CE.
(2)如图，连接DE，
∵BE＝CE＝3，∴BC＝6.易知∠BED＝∠BAC，而∠DBE＝∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴BE
BA
＝
BD
BC
，即
3
BA
＝
2
6
，
∴AB＝9，∴AC＝AB＝9.
16．解：(1)∵AD经过圆心O，∴∠ACD＝∠ABD＝90°. ∵AB⊥AC，且AB＝AC＝6，
∴四边形ABDC为正方形，
∴BD＝CD＝AB＝AC＝6.
(2)连接BC，OD，过点O作OE⊥BD.
∵AB⊥AC，AB＝AC＝6，
∴BC 为⊙O 的直径，
∴BC ＝6 2，∴BO ＝CO ＝DO ＝1
2BC ＝3 2.
∵∠BAD ＝2∠DAC ，
∴∠DAC ＝30°，∠BAD ＝60°， ∴∠COD ＝60°，∠BOD ＝120°，
∴△COD 为等边三角形，∠BOE ＝60°， ∴CD ＝CO ＝DO ＝BO ＝3 2，则BE ＝3 6
2，
∵OE ⊥BD ，∴BD ＝2BE ＝3 6.
2.3 垂径定理
一、选择题
1．下列命题错误的是链接听课例1归纳总结( ) A ．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B ．平分弦的直径平分这条弦所对的弧 C ．垂直于弦的直径平分这条弦 D ．弦的垂直平分线经过圆心
2．2018·菏泽如图K －14－1，在⊙O 中，OC ⊥AB ，∠ADC ＝32°，则∠OBA 的度数是( )
图K －14－1
A ．64°
B ．58°
C ．32°
D ．26°
3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10 cm ，最短弦长为8 cm ，则OM 的长为( )
A ．9 cm
B ．6 cm
C ．3 cm D.41 cm
4．2017·泸州如图K －14－2所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E.若AB ＝8，AE ＝1，
则弦CD 的长是 ( )
图K －14－2
A.7 B ．27 C ．6 D ．8 5.2017·金华如图K －14－3，在半径为13 cm 的圆形铁片上切下一块高为8 cm 的弓形铁片，则弓形弦AB 的长为( )
图K－14－3
A．10 cm B．16 cm
C．24 cm D．26 cm
6．如图K－14－4，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝8，则CD的长为( )
图K－14－4
A．4 2
B．8 2
C．8
D．16
7．如图K－14－5，在等边三角形ABC中，AB，AC都是⊙O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝1，那么△ABC的面积为( )
图K－14－5
A．3 B. 3 C．4 D.
3 3
8．2017·襄阳模拟⊙O的半径为5 cm，弦AB∥CD，AB＝6 cm，CD＝8 cm，则AB和CD间的距离是( )
图K－14－6
A．7 cm B．8 cm
C．7 cm或1 cm D．1 cm
二、填空题
9．如图K－14－6，OD是⊙O的半径，弦AB⊥OD于点E，若∠O＝70°，则∠A＋∠C＝________°.
10．如图K－14－7，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3.若P是AB上的一动点，则OP的取值范围是________．
图K－14－7
11．2017·孝感已知半径为2的⊙O中，弦AC＝2，弦AD＝2 2，则∠COD的度数为________．三、解答题
12．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图K－14－8所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的
长.
链接听课例2归纳总结
图K－14－8
13．如图K－14－9所示，在正方形网格图中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过网格点A(0，
2)，B(4，2)，C(6，0)，解答下列问题：
(1)请在图中确定该圆弧所在圆圆心D的位置，并写出点D的坐标为________；
(2)连接AD，CD，求⊙D的半径(结果保留根号)．
图K－14－9
14．如图K－14－10，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，∠M＝∠D.
(1)判断BC，MD的位置关系，并说明理由；
(2)若AE＝16，BE＝4，求线段CD的长；
(3)若MD恰好经过圆心O，求∠D的度数．
图K－14－10
15．如图K－14－11，有一拱形公路桥，圆弧形桥拱的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．
(1)求桥拱的半径；
(2)现有一艘宽60米，船舱顶部为长方形并高出水面9米的轮船要经过这里，这艘轮船
能顺利通过吗？并说明理由．
图K－14－11
素养提升
探究性问题如图K－14－12，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是弧AB上的一个动点(不与点A，B重合)，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E.
(1)当BC＝6时，求线段OD的长．
(2)探究：在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．
图K－14－12
1．B
2．[解析] D ∵OC ⊥AB ，∴AC ︵＝BC ︵.∠ADC 是AC ︵所对的圆周角，∠BOC 是BC ︵
所对的圆心角，∴∠BOC ＝2∠ADC ＝64°，∴∠OBA ＝90°－∠BOC ＝90°－64°＝26°.故选D.
3．[解析] C 由题意知，最长的弦为直径，最短的弦为垂直于直径的弦，如图所示．直径ED ⊥AB 于点M ，则ED ＝10 cm ，AB ＝8 cm ，由垂径定理知M 为AB 的中点， ∴AM ＝4 cm.
∵半径OA ＝5 cm ，
∴OM 2＝OA 2－AM 2
＝25－16＝9， ∴OM ＝3(cm)． 4．B
5．[解析] C 如图，过点O 作OD ⊥AB 于点C ，交⊙O 于点D.∵CD ＝8 cm ，OD ＝13 cm ，∴OC ＝5 cm. 又∵OB ＝13 cm ，∴在Rt △BCO 中，BC ＝OB 2
－OC 2
＝12 cm ，∴AB ＝2BC ＝24 cm.
6．[解析] B ∵∠A ＝22.5°，∴∠BOC ＝2∠A ＝45°.∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE ＝DE ，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE ＝
2
2
OC ＝4 2，∴CD ＝2CE ＝8 2.故选B. 7．[解析] B ∵OM ⊥AB ，ON ⊥AC ，垂足分别为M ，N ， ∴M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴MN 是等边三角形ABC 的中位线． ∵MN ＝1，∴AB ＝AC ＝BC ＝2MN ＝2， ∴S △ABC ＝12×2×2×sin60°＝2×3
2
＝ 3.
8．C
9．[答案] 55
[解析] 连接OB.∵OA ＝OB ，∴∠A ＝∠ABO.
又∵OD 是⊙O 的半径，弦AB ⊥OD 于点E ，∠AOD ＝70°， ∴AD ︵＝BD ︵
，∠AOB ＝140°，
∴∠C ＝1
2∠AOD ＝35°，∠A ＝∠ABO ＝20°，
∴∠A ＋∠C ＝55°.故答案是55.
10．[答案] 3≤OP≤5
[解析] 连接OA ，作OC ⊥AB 于点C ，则AC ＝12
AB ＝4.由勾股定理，得OA ＝AC 2＋OC 2＝5，则OP 的取值范围是3≤OP≤5.
11．[答案] 150°或30°
[解析] 如图所示，连接OC ，过点O 作OE ⊥AD 于点E.∵OA ＝OC ＝AC ，∴∠OAC ＝60°.∵AD ＝2 2，OE ⊥AD ，∴AE ＝2，OE ＝OA 2－AE 2＝2，∴∠OAD ＝45°，∴∠CAD ＝∠OAC ＋∠OAD ＝105°或∠CAD ＝∠OAC －∠OAD ＝15°，∴∠COD ＝360°－2×105°＝150°或∠COD ＝2×15°＝30°.故答案为150°或30°.
12．解：(1)证明：过点O 作OE ⊥AB 于点E ，
则CE ＝DE ，AE ＝BE ，
∴AE －CE ＝BE －DE ，
即AC ＝BD.
(2)连接OA ，OC ，由(1)可知OE ⊥AB 且OE ⊥CD ，
∴CE ＝OC 2－OE 2＝82－62
＝2 7，
AE ＝OA 2－OE 2＝102－62＝8，
∴AC ＝AE －CE ＝8－2 7.
13．(1)确定点D 的位置略 (2，－2)
(2)⊙D 的半径为2 5
14．解：(1)BC ∥MD.
理由：∵∠M ＝∠D ，∠M ＝∠C ，
∴∠D ＝∠C ，∴BC ∥MD.
(2)∵AE ＝16，BE ＝4，
∴OB ＝16＋42
＝10，∴OE ＝10－4＝6. 连接OC ，如图①.
∵CD ⊥AB ，∴CE ＝12
CD. 在Rt △OCE 中，∵OE 2＋CE 2＝OC 2，
即62＋CE 2＝102
，
∴CE ＝8，∴CD ＝2CE ＝16.
(3)如图②，∵∠M ＝12
∠BOD ，∠M ＝∠D ， ∴∠D ＝12
∠BOD. 又∵AB ⊥CD ，∴∠D ＝13
×90°＝30°. 15．解：(1)如图①，设E 是桥拱所在圆的圆心，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，延长EF 交⊙E
于点D ，则F 是AB 的中点，AF ＝FB ＝12
AB ＝40米， EF ＝ED －FD ＝AE －DF.
由勾股定理知AE 2＝AF 2＋EF 2＝AF 2＋(AE －DF)2.
设⊙E 的半径是r ，则r 2＝402＋(r －20)2，
解得r ＝50.
即桥拱的半径为50米．
①
②
(2)这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
理由：如图②，设MN 与DE 交于点G ，
GM ＝30米．在Rt △GEM 中，
GE ＝EM 2－GM 2＝502－302
＝40(米)．
∵EF ＝50－20＝30(米)，
∴GF ＝GE －EF ＝40－30＝10(米)．
∵10米＞9米，
∴这艘轮船能顺利通过这座拱桥．
[素养提升]
解：(1)∵OD ⊥BC ，∴BD ＝12BC ＝12
×6＝3. ∵∠BDO ＝90°，OB ＝5，BD ＝3，
∴OD ＝OB 2－BD 2
＝4，
即线段OD 的长为4.
(2)存在，DE 的长度保持不变．理由：连接AB ，如图． ∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ＝5，
∴AB ＝OB 2＋OA 2＝5 2.
∵OD ⊥BC ，OE ⊥AC ，
∴D 和E 分别是线段BC 和AC 的中点，
∴DE ＝12AB ＝5 22
，其长度保持不变．。