广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷(六)(含解析)

广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）
广东省2021年普通高中数学学业水平考试模拟测试卷（六）（含解析）
年级：
姓名：
2021年广东省普通高中学业水平考试数学模
拟测试卷(六)
(时间:90分钟 满分:150分)
一、选择题(共15小题,每小题6分,共90分) 1.不等式x (x-2)≤0的解集是
( )
A.[0,2)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0]∪[2,+∞)
D.[0,2]
2.全集为实数集R ,M={x|-2≤x ≤2},N={x|x<1},则(∁R M )∩N= ( ) A .{x|x<-2} B .{x|-2<x<1} C .{x|x<1} D.{x|-2≤x<1}
3.为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是 ( ) A.23 B.27 C.31 D.33
4.直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是 ( ) A .12 B .1 C .2 D .4
5.函数f (x )=lg(x +1)
x 的定义域是 ( ) A .(-1,0)∪(0,+∞) B .[-1,0)∪(0,+∞) C .(-1,+∞) D .[-1,+∞)
6.以(a ,1)为圆心,且与两条直线2x-y+4=0,2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为 ( )
A.(x-1)2+(y-1)2=5 B .(x+1)2+(y+1)2
=5
C .(x-1)2+y 2=5
D .x 2+(y-1)2
=5
7.设函数f (x )={1-x 2,x ≤1,
x 2+x -2,x >1,
则f (1x (2))的值为 ( )
A .18
B .-2716
C .89
D .15
16 8.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 ( )
A.π
B.2π
C.3π
D.4π
9.已知sin α=2
3,则cos(π-2α)等于 ( )
A .-√5
3
B .-1
9 C .1
9 D .√5
3 10.实数x ,y 满足{x +2x -3≤0,
x +3x -3≥0,x ≤1,
则z=x-y 的最大值是 ( )
A.-1
B.0
C.3
D.4
11.已知非零向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线,且xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则向量xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A .13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .23xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13
xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
C .1
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D .1
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −4
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
12.函数f (x )=2x
+3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2)
13.函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象如图所示,则f (x )的解析式为 ( )
A .f (x )=12sin 12x+1
B .f (x )=sin 12x+1
2 C .f (x )=1
2sin
πx 2
+1 D .f (x )=sin
πx
2
+12
14.设α,β为钝角,且sin α=√5
5,cos β=-3√1010
,则α+β的
值为 ( )
A .3π4
B .5π4
C .7π
4
D .
5π4
或
7π4
15.已知数列{a n }满足a n+1=1
1-x x
,若a 1=1
2,则a 2 018=
( )
A.2
B.-2
C.-1
D.1
2 二、填空题(共4小题,每小题6分,共24分)
16.函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是 .
17.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,则该直四棱柱的侧面积为 .
18.若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )·b =0,则a 与b 的夹角为 .
19.计算sin (-15π6)cos 20π3tan (-7π
6)= . 三、解答题(共3小题,每小题12分,共36分)
20.在锐角三角形ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b ,且2a sin B=√3b.
(1)求角A 的大小;
(2)若a=3,求△ABC 周长l 的最大值.
21.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PC=AD=CD=1
2AB=2,AB ∥DC ,AD ⊥CD ,PC ⊥平面ABCD.
(1)求证:BC ⊥平面PAC ;
(2)若M为线段PA的中点,且过C,D,M三点的平面与线段PB 交于点N,确定点N的位置,说明理由;并求三棱锥N-AMC的体积.
22.设数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=2S n+1,数列{b n}满足a1=b1,点P(b n,b n+1)在直线x-y+2=0上,n∈N*.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)设c n=x x
x x
,求数列{c n}的前n项和T n.
答案：
1.D【解析】不等式x(x-2)≤0对应方程的两个实数根为0和2,
所以该不等式的解集是[0,2].
故选D.
2.A【解析】∵M={x|-2≤x≤2},
∴∁R M={x|x<-2,或x>2},
又∵N={x|x<1},
∴(∁R M)∩N={x|x<-2}.
故选A.
3.C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本
中,18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31.故选C.
4.B【解析】∵2x-y+2=0中,
由x=0,得y=2;由y=0,得x=-1.
∴直线2x-y+2=0与坐标轴围成的三角形的面积是
S=1
2
×2×1=1.
故选B.
5.A【解析】{x+1>0,
x≠0,
解得,x>-1且x≠0,区间形式为(-1,0)∪(0,+∞),故选A.
6.A【解析】由题意得,点(a,1)到两条直线的距离相等,且
为圆的半径.∴
√22+(-1)2=
√22+(-1)2
,解得a=1.
∴r=
√22+(-1)2
=√5,
∴所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.
7.D【解析】f(2)=22+2-2=4,
则f (1
x (2))=f (1
4)=1-(14)2
=15
16.
故选D .
8.C 【解析】三视图还原的几何体是圆柱,底面半径为1、高为3,
所以这个几何体的体积是π×12
×3=3π. 故选C .
9.B 【解析】由三角函数的诱导公式可知cos(π-2α)=-cos
2α,由倍角公式可得cos 2α=1-2sin 2
α=1-2×49=
1
9
,cos(π-2α)=-1
9,故选B . 10.C 【解析】作出不等式{x +2x -3≤0,x +3x -3≥0,x ≤1
对应的平面区域如
图,
由z=x-y ,得y=x-z ,
平移直线y=x-z ,由图象可知,当直线y=x-z 经过点B (3,0)时,直线y=x-z 的截距最小,此时z 最大. 此时z 的最大值为z=3-0=3.故选C .
11.A 【解析】xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −
xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⇔xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2
3xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .故选A .
12.B 【解析】∵f (-1)=1
2-3<0,f (0)=1>0,∴f (-1)·f (0)<0. 又函数f (x )的图象在(-1,0)上是连续不断的,故f (x )的零点所在的一个区间为(-1,0).故选B .
13.C 【解析】由函数f (x )=A sin(ωx+φ)+b 的图象可
知,A=1.5-0.52=1
2,
b=
1.5+0.5
2
=1,
又最小正周期T=4=2π
x ,
∴ω=π
2.又0×ω+φ=0,∴φ=0.
∴f (x )的解析式为f (x )=12sin πx 2
+1.
故选C .
14.C 【解析】∵α,β为钝角,且sin α=√5
5,cos β=-3√1010
,
∴cos α=-2√5
5,sin β=√
10
10
, ∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β
=-
2√55
×(-
3√1010
)−
√55
×
√1010
=
√22
, 又α,β为钝角,∴α+β∈(π,2π),∴α+β=7π
4.故选C . 1
5.A 【解析】∵a n+1=1
1-x x
,a 1=1
2,
∴a 2=11-x 1
=1
1-
12
=2,
a 3=11-x 2
=1
1-2=-1, a 4=1
1-x 3
=11-(-1)=1
2,
∴数列{a n }是以3为周期的周期数列, ∵2 018=672×3+2, ∴a 2 018=a 2=2.故选A .
16.[1,2) 【解析】要使函数有意义,须满足{
x -1≥0,
2-x >0,
解得
1≤x<2,
∴函数y=√x -1+ln(2-x )的定义域是[1,2).
17.16√2 【解析】如图所示,直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形,侧面对角线的长为2√3,
∴侧棱长为CC 1=√(2√3)2
-22=2√2,
∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2√2=16√2.
18.120° 【解析】(2a +b )·b =0⇔2|a||b|cos <a ,b >+b 2
=0,
因为|a |=|b |,所以cos <a ,b >=-1
2,所以<a ,b >=120°. 19.-√3
6 【解析】sin (-15π6)cos
20π3
tan (-7π6
)
=sin (-2π-π
2)cos (6π+2π3
)tan (-π-π
6)
=cos 2π
3tan π
6=(-1
2)×
√33
=-√36
. 20.【解】(1)由题及正弦定理得2sin A sin B=√3sin B , ∵sin B ≠0,∴sin A=√3
2
,又A ∈(0,π
2),∴A=π
3. (2)由a=3,A=π
3得
x sin x
=
x sin x
=
x sin x
=
√32
=2√3,
∴b=2√3sin B ,c=2√3sin C ,
∴l=a+b+c=2√3sin B+2√3sin C+3
=2√3sin B+2√3sin (2π
3-x )+3 =3√3sin B+3cos B+3
=6sin (x +π
6)+3,
当B=π
3时,l 取最大值9.
∴△ABC 的周长l 的最大值为9.
21.【解】(1)证明:在直角梯形ABCD 中, AC=√xx 2+xx 2=2√2, BC=√(xx -xx )2
+xx 2=2√2.
∴AC 2+BC 2=AB 2,即BC ⊥AC.
∵PC ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,∴BC ⊥PC. 又AC ∩PC=C ,∴BC ⊥平面PAC.
(2)点N 是PB 的中点,连接MN ,CN ,理由如下; 如图,∵点M 为PA 的中点,点N 为PB 的中点, ∴MN ∥AB.
又∵AB ∥DC ,∴MN ∥CD. ∴M 、N 、C 、D 四点共面.
即点N 为过C 、D 、M 三点的平面与线段PB 的交点; ∵BC ⊥平面PAC ,N 为PB 的中点,
∴点N 到平面PAC 的距离d=1
2BC=√2,
S △ACM =12S △PAC =12·12·PC ·AC=1
4×2×2√2=√2.
∴x 三棱锥xxxx =1
3S △AMC ·d=1
3×√2×√2=2
3.
22.【解】(1)由a n+1=2S n +1可得,a n =2S n-1+1(n ≥2), 两式相减得a n+1-a n =2a n , 即a n+1=3a n (n ≥2).
又a 2=2S 1+1=3,所以a 2=3a 1.
故{a n }是首项为1,公比为3的等比数列,
所以a n =3n-1
.
由点P (b n ,b n+1)在直线x-y+2=0上,所以b n+1-b n =2. 则数列{b n }是首项为1,公差为2的等差数列, 则b n =1+(n-1)·2=2n-1.
(2)因为c n =x x x x
=2x -1
3x -1,
所以T n =1
30+3
31+532+…+2x -1
3x -1, 则1
3T n =1
31+3
32+5
33+…+2x -3
3x -1+
2x -13x
,
两式相减,得2
3T n =1+2
3+2
32+…+2
3x -1−2x -13x
,
所以T n =3-1
2·3
x -2
−
2x -1
2·3x -1
=3-x +1
3x -1.。