信息安全数学基础习题答案[1]

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3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z
（2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1
由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k
所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。

4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a
由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1)
又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1)
又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。

5．证明：构造下列k个连续正整数列：
(k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z
对数列中任一数(k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1)
所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数
所以此k个连续正整数都是合数。

6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，
13
经验算都不能整除191 所以191为素数。

因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23
经验算都不能整除547 所以547为素数。

由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。

8．解：存在。

eg：a=6,b=2,c=9
10．证明：p1 p2 p3|n，则n= p1 p2 p3k，k∈N+
又p1≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3
p1为素数则p1≥2，又p1≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22
即p2≤(n/2)1/2得证。

11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数：
12．证明：反证法
假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。

(3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得
到的还是3k+1的形式，不能得出3k-1的数，因此假设不成立，结论得证。

同理可证其他。

13．证明：反证法
假设形如4k+3的素数只有有限个，记为p1, p2,…, p n
因为4k+3=4k`-1=4k-1 构造N=4*p1*p2*…*p n-1≥3*p1*p2*…*p n
所以N＞p i (i=1,2,…,n)
N为4k-1形式的素数，即为4k+3的形式，所以假设不成立。

原结论正确，形如4k+3的素数有无穷多个。

28．（1）解：85=1*55+30
55=1*30+25
30=1*25+5
25=5*5
所以(55,85)=5
（2）解：282=1*202+80
202=2*80+42
80=1*42+38
42=1*38+4
38=9*4+2
4=2*2
所以（202,282）=2
29．（1）解：2t+1=1*(2t-1)+2
2t-1=(t-1)*2+1
2=2*1
所以（2t+1,2t-1）=1
（2）解：2(n+1)=1*2n+2
2n=n*2
所以（2n,2(n+1)）=2 32．（1）解：1=3-1*2
=3-1*(38-12*3)
=-38+13*(41-1*38)
=13*41-14*(161-3*41)
=-14*161+55*(363-2*161)
=55*363+(-124)*(1613-4*363)
=(-124)*1613+551*(3589-2*1613) =551*3589+(-1226)*1613
所以s=-1226 t=551
（2）解：1=4-1*3
=4-1*(115-28*4)
=-115+29*(119-1*115)
=29*119+(-30)*(353-2*119)
=-30*353+89*(472-1*353)
=89*472+(-119)*(825-1*472)
=(-119)*825+208*(2947-3*825)
=208*2947+(-743)*(3772-1*2947)
=951*2947+(-743)*3772
所以s=951 t=-743
36．证明：因为（a，4）=2 所以a=2*(2m+1) m∈Z
所以a+b=4m+2+4n+2=4(m+n)+4=4(m+n+1)
即4|a+b
所以（a+b,4）=4
37．证明：反证法
假设n为素数，则n| a2- b2=(a+b)(a-b)
由1.4定理2知n|a+b或n|a-b,与已知条件矛盾
所以假设不成立，原结论正确，n为合数。

40．证明：（1）假设是21/2有理数，则存在正整数p，q，使得21/2=p/q,且（p, q）=1 平方得：p2=2q2, 即2|p2，所以p=2m, m∈N
因此p2=4m2=2q2 q2=2m2 q=2n, n∈N
则（p, q）=(2m,2n)=2(m, n)≥2与（p, q）=1矛盾
所以假设不成立，原结论正确，21/2不是有理数。

（2）假设是71/2有理数，则存在正整数m，n，使得71/2=p/q,且（m, n）=1 平方得：m2=2n2, 即7|m2
将m表示成n个素数p i的乘积，m= p1 p2 p3……p n ，p i为素数。

（3）同理可证171/2不是有理数。

41．证明：假设log210是有理数，则存在正整数p, q,使得log210=p/q,且（p, q）=1 又log210=ln10/ln2=p/q
Ln10q=ln2p 10q=2p
(2*5)q=2p 5q=2p-q
所以只有当q=p=0是成立，所以假设不成立
故原结论正确，log210是无理数。

同理可证log37，log1521都是无理数。

50．（1）解：因为8=23, 60=22*3*5
所以[8,60]=23*3*5=120
51．（4）解：(471179111011001,4111831111011000)= 4104707908301011000=1011000
[471179111011001,4111831111011000]= 4111471179111831111011001
第二章．同余
1．解：（1）其中之一为9，19，11，21，13，23，15，25，17
（2）其中之一为0，10，20，30，40，50，60，70，80
（3）.（1）或（2）中的要求对模10不能实现。

2．证明：当m>2时，因为(m-1)2=m2-2m+1=m(m-2)+1
所以(m-1)2≡1(mod m)
即1与(m-1)2在同一个剩余类中，故02,12,…,(m-1)2一定不是模m的完全剩余系。

6．解：21≡2(mod7), 22≡4(mod7), 23≡1(mod7)
又20080509=6693503*3
所以220080509=(23)6693503≡1(mod7)
故220080509是星期六。

7．证明：（i）因为a i≡b i (modm),1≤i≤k 所以a i=b i+k i m 又a1+a2+… +a k=∑a i=∑(b i+k i m)=∑b i+m*∑k i
所以有∑a i≡∑b i (mod m)
即a1+a2+… +a k=b1+b2+… +b k (mod m)
（ii）因为a i≡b i (mod m),1≤i≤k 所以a i(mod m)=b i (mod m) 所以（a1a2…a k）mod m≡[(a1mod m)( a2mod m)…(a k mod m)]mod m
≡[(b1mod m)( b2mod m)…(b k mod m)]mod m
≡（b1b2…b k）mod m
所以a1a2…a k≡a1a2…a k(mod m)
8．证明：如果a2≡b2(mod p) 则a2= b2+kp , k∈Z
即kp=a2-b2=(a+b)(a-b) 所以p|(a+b)(a-b)
又p为素数，根据1.4定理2知p|a+b或p|a-b 得证。

9．证明：如果a2≡b2(mod n) 则a2= b2+kn , k∈Z
即kn=a2-b2=(a+b)(a-b) 所以n|(a+b)(a-b)
由n=pq知kpq=a2-b2=(a+b)(a-b)
因为n!|a-b, n!|a+b，所以p,q不能同时为a-b或a+b的素因数。

不妨设p|a-b, q|a+b ,则q!|a-b, p!|a+b 即(q, a-b)=1,(p, a+b)=1 因此(n, a-b)=(pq, a-b)=(p, a-b)=p>1
(n, a+b)=(pq, a+b)=(q, a+b)=q>1
故原命题成立。

10．证明：因为a≡b (mod c) 则a=cq+b , q∈Z
根据1.3定理3知(a, c)=(b, c)
17．解：（1）a k+a k-1+… +a0=1+8+4+3+5+8+1=30
因为3|30 ,9!|30 所以1843581能被3整除，不能被9整除。

（2）a k+a k-1+… +a0=1+8+4+2+3+4+0+8+1=31
因为3!|31 , 9!|31 所以184234081不能被3整除，也不能被9整除。

（3）a k+a k-1+… +a0=8+9+3+7+7+5+2+7+4+4=56
因为3!|56 , 9!|56 所以8937752744不能被3整除，也不能被9整除。

（4） a k+a k-1+…
+a0=4+1+5+3+7+6+8+9+1+2+2+4+6=58
因为3!|58 , 9!|58 所以4153768912246不能被3整除，也不能被9整除。

20．解：（89878*58965）mod9≡[(89878mod9)*(58965mod9)]mod9≡(4*6)mod9≡6(mod9) ≡5299?56270(mod9)
又5299?56270≡(45+?)mod9≡?(mod9)
所以 ?=6 即未知数字为6。

21．解：（1）因为875961*2753≡[(36mod9)(17mod9)]mod9 ≡0(mod9)
2410520633≡26(mod9) ≡8(mod9)
所以等式875961*2753=2410520633不成立
（2）因为14789*23567≡[(29mod9)(23mod9)]mod9 ≡1(mod9)
348532367≡41(mod9) ≡5(mod9)
所以等式14789*23567=348532367不成立
（3）因为24789*43717≡[(30mod9)(22mod9)]mod9 ≡3(mod9)
1092700713≡30(mod9) ≡3(mod9)
所以等式24789*43717=1092700713可能成立
（4）这种判断对于判断等式不成立时简单明了，但对于判断等式成立时，可能会较复杂。

22．解：因为7为素数，由Wilso定理知：(7-1)! ≡-1(mod7) 即6！≡-1（mod7）所以8*9*10*11*12*13≡1*2*3*4*5*6(mod7) ≡6!(mod7) ≡-1(mod7)
31．证明：因为c1,c2,…,c?(m)是模m的简化剩余系
对于任一c i，有m-c i也属于模m的简化剩余系
所以c i+(m-c i)≡0(modm)
因此c1+c2+…+c?(m)≡0(modm)
32．证明：因为a?(m)≡1(modm) 所以a?(m)-1≡0(mod m)
a?(m)-1=(a-1)(1+a+ a2+…+ a?(m)-1) ≡0(modm)
又（a-1,m）=1
所以1+a+ a2+…+ a?(m)-1≡0(modm)
33．证明：因为7为素数，由Fermat定理知a7≡a(mod7)
又（a，3）=1 所以(a,9)=1 由Euler定理知a?(9)≡a6≡1(mod9) 即a7≡a(mod9)
又(7,9)=1, 所以a7≡a(mod7*9)
即a7≡a(mod63)
34．证明：因为32760=23*32*5*7*13 又(a,32760)=1
所以(a,2)=(a,3)=(a,5)=(a,7)=(a,13)=1
有：a?(13)≡1(mod13) 即a12≡1(mod13)
a?(8)≡a4≡1(mod8) 即a12≡1(mod8)
a?(5)≡a4≡1(mod5) 即a12≡1(mod5)
a?(7)≡a6≡1(mod7) 即a12≡1(mod7)
a?(9)≡a6≡1(mod9) 即a12≡1(mod9)
又因为[5,7,8,9,13]=32760
所以a12≡1(mod32760)
35．证明：因为(p,q)=1 p,q都为素数所以?(p)=p-1, ?(q)=q-1 由Euler定理知：p?(q)≡1(modq) q?(p)≡1(modp)
即p q-1≡1(modq) q p-1≡1(modp)
又 q p-1≡0(modq) p q-1≡0(modp)
所以p q-1+q p-1≡1(modq) q p-1+p q-1≡1(modp)
又[p,q]=pq 所以p q-1+q p-1≡1(modpq)
36．证明：因为(m,n)=1
由Euler定理知：m?(n)≡1(modn) n?(m)≡1(modm)
所以m?(n)+n?(m)≡(m?(n)modn)+ (n?(m)modn)≡1+0≡1(modn)
同理有：m?(n)+n?(m)≡1(modm)
又[m,n]=mn 所以m?(n)+n?(m)≡1(modmn)
第三章.同余式
1．（1）解：因为（3，7）=1 | 2 故原同余式有解
又3x≡1（mod7）所以特解x0`≡5（mod7）
同余式3x≡2（mod7）的一个特解x0≡2* x0`=2*5≡3（mod7）所有解为：x≡3（mod7）
（3）解：因为（17，21）=1 | 14 故原同余式有解
又17x≡1（mod21）所以特解x0`≡5（mod21）
同余式17x≡14（mod21）的一个特解x0≡14* x0`=14*5≡7（mod21）
所有解为：x≡7（mod21）
2．（1）解：因为（127，1012）=1 | 833 故原同余式有解
又127x≡1（mod1012）所以特解x0`≡255（mod1012）
同余式127x≡833（mod1012）的一个特解x0≡833* x0`=833*255≡907（mod1012）
所有解为：x≡907（mod1012）
3．见课本3.2例1
7．（1）解：因为（5，14）=1
由Euler定理知，同余方程5x≡3（mod14）的解为：
x≡5?(14)-1*3≡9（mod14）
（2）解：因为（4，15）=1
由Euler定理知，同余方程4x≡7（mod15）的解为：
x≡4?(15)-1*7≡13（mod15）
（3）解：因为（3，16）=1
由Euler定理知，同余方程3x≡5（mod16）的解为：
x≡3?(16)-1*5≡7（mod16）
11．证明：由中国剩余定理知方程解为：
x≡a1M1M1`+ a2M2M2`+……+ a k M k M k`（mod m）
因为m i两两互素，又中国剩余定理知：M i M i`≡1（mod m i）又M i=m/m i所以（m，M i）≡1（mod m i）
所以M i M i`=M i?(mi)≡（mod m i）
代入方程解为x≡a1 M1?(m1)+ a2 M2?(m2)+……+ a k M k?(mk)(mod m) 得证。

12．（1）解：由方程组得：3x+3y≡2(mod7)
6x+6y≡4(mod7) x+y≡-4(mod7)
X≡5(mod 7) y≡5 (mod 7)
（2）解：由方程组得：2x+6y≡2(m od7) 2x-y≡2(mod7)
6x+8y≡4(mod7) x-y≡-4(mod7)
X≡6(mod 7) y≡3 (mod 7)
13．见课本3.2例4
14．同课本3.2例3 21000000≡562（mod1309）
15．（1）解：等价同余式组为：
23x≡1（mod4）
23x≡1（mod5）
23x≡1（mod7）
所以x≡3（mod4）x≡2（mod5）x≡4（mod7）
所以x≡3*35*3 + 2*28*2 + 4*20*6≡67（mod140）
（2）解：等价同余式组为：
17x≡1（mod4）
17x≡1（mod5）
17x≡1（mod7）
17x≡1（mod11）
所以x≡1（mod4）x≡2（mod5）x≡-3（mod7）x≡7（mod11）
所以x≡1*385*1 + 2*308*2 + (-3)*220*5 + 7*140*7 ≡557（mod1540）19．解：3x14+4x13+2x11+x9+x6+x3+12x2+x≡0（mod7）
左边=(x7-x)( 3x7+4x6+2x4+x2+3x+4)+ x6+2x5+2x2+15x2+5x
所以原同余式可化简为：x6+2x5+2x2+15x2+5x≡0（mod7）
直接验算得解为：x≡0（mod7）x≡6（mod7）
20．解：f`(x) ≡ 4x3+7（mod243）
直接验算的同余式f（x）≡0(mod3)有一解：x1≡1（mod3）
f`(x1) ≡4*13*7=-1(mod3) f`(x1)-1≡-1(mod3)
所以t1≡-f（x1）*( f`(x1)-1(mod3))/31≡1(mod 3)
x2≡x1+3 t1≡4(mod 9)
t2≡-f（x2）*( f`(x1)-1(mod3))/32≡2(mod 3)
x3≡x2+32 t2≡22(mod 27)
t3≡-f（x3）*( f`(x1)-1(mod3))/33≡0(mod 3)
x4≡x3+33 t3≡22(mod 81)
t5≡-f（x4）*( f`(x1)-1(mod3))/34≡2(mod 3)
x5≡x4+34 t4≡184(mod 243)
所以同余式f（x）≡0(mod243)的解为：x5≡184(mod 243)
第四章．二次同余式与平方剩余
2．解：对x=0,1,2,3,4,5,6时，分别求出y
x=0,y2≡1(mod7),y≡1,6(mod7)
x=4,y2≡4(mod7),y≡2,5(mod7)
当x=1,2,3,5,6时均无解
5．解：对x=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16时，分别求出y
x=0,y2≡1(mod17),y≡1,16(mod17)
x=1,y2≡3(mod17),无解
x=2,y2≡11(mod17),无解
x=3,y2≡14(mod17),无解
x=4,y2≡1(mod17),y≡1,16(mod17)
x=5,y2≡12(m od17),无解
x=6,y2≡2(mod17),y≡6,11(mod17)
x=7,y2≡11(mod17),无解
x=8,y2≡11(mod17),无解
x=9,y2≡8(mod17),y≡5,12(mod17)
x=10,y2≡8(mod17),y≡5,12(mod17)
x=11,y2≡0(mod17),y≡0(mod17)
x=12,y2≡7(mod17),无解
x=13,y2≡1(mod17),y≡1,16(mod17)
x=14,y2≡5(mod17),无解
x=15,y2≡8(mod17),y≡5,12(mod17)
x=16,y2≡16(mod17),y≡4,13(mod17)
10．解：(1）.（17/37）=(-1) (17-1)(37-1)/(2*2)*(37/17)=-1 (4）.（911/2003）=(-1) (2003-1)(911-1)/(2*2)*(2003/911)=1/3=1
(6）.（7/20040803）=(-1) (7-1)(20040803-1)/(2*2)*(20040803/7)=1
12．解：（1）.因为（-2/67）=(65/67)=1
所以-2是67的平方剩余
所以x2≡-2(mod67)有2个解。

（4）.因为（2/37）=(-1) (37*37-1)/8=-1
所以2是37的平方非剩余
所以x2≡2(mod37)无解。

14．证明：（1）因为p为其素数，模p的所有二次剩余个数为(p-1)/2个，
设为a1, a2, a3, …a(p-1)/2
则a1*a2*a3…a(p-1)/2≡12*22*32…((p-1)/2)2(mod p)
≡1*2*3…((p-1)/2)*(-(p-1))*(-(p-2))*…(-(p-(p-1)/2))(mod p)
≡1*2*3…((p-1)/2)*(p-(p-1)/2)…*(p-2)*(p-1)(-1)(p-1)/2(mod p) ≡(p-1)!*(-1)(p-1)/2(mod p)
≡(-1)*(-1)(p-1)/2(mod p) （2.4定理3）
≡(-1)(p+1)/2(mod p)
所以模p的所有二次剩余乘积模p的剩余为(-1)(p+1)/2得证。

（2）1，2，3,…p-1为p的一个完全剩余系
1*2*2…*(p-1)≡-1(mod p) ≡(-1)(p+1)/2(-1)(p-1)/2(mod p)
因为模p的所有二次剩余乘积模p的剩余为(-1)(p+1)/2
所以模p的所有非二次剩余乘积模p的剩余为(-1)(p－1)/2
（3）当p=3时，其二次剩余只有1，所以p=3时，模p的所有二次剩余之和模p
的剩余为1
当p>3时，由（1）得a1+a2+a3…+a(p-1)/2≡p(p-1)(p+1)/24(mod p)
因为p为奇素数，所以p只能取3k-1或3k+1形式，代入上式得0
所以当p>3时，模p的所有二次剩余之和模p的剩余为0。

（4）因为模p的所有二次非剩余之和与所有二次剩余之和的和可以被p整除
所以由(3)得，当p=3时，模p的所有二次非剩余之和模p的剩余为-1;
当p>3时，模p的所有二次非剩余之和模p的剩余为0。

16．解：(1）.因为（7/227）=(-1) (227-1)(7-1)/(2*2)*(227/7)= 1 所以7是227的二次剩余
所以x2≡7(mod227)有解
(3）.因为11对91的逆元是58
所以原同余方程等价于x2≡16(mod91)
又16是91的平方剩余
所以11x2≡-6(mod91)有解
21．证明：应用模重复平方法
11=20+21+23
令x=23,b=2,a=1
(1)x0=1 a0=a*b≡2(mod23) b1=b2≡4(mod23)
(2)x1=1 a1=a0*b1≡8(mod23) b2=b12≡16(mod23)
(3)x2=0 a2=a1*b20≡8(mod23) b3=b22≡3(mod23)
(4)x3=1 a3=a2*b3≡1(mod23)
所以211≡1(mod23) 即23|211-1
47|223-1与503|2251-1 应用同样的方法得证。

第五章．原根与指标
1．解：因为?(13)=12,所以只需对12的因数d=1,2,3,4,6,12,计算a d(mod12) 因为21≡2, 22≡4, 23≡8, 24≡3, 26≡-1, 212≡1(mod13)
所以2模13的指数为12；
同理可得：5模13的指数为4，10模13的指数为6。

2．解：因为?(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算a d(mod12) 因为31≡3, 32≡9, 33≡8, 36≡7, 39≡-1, 218≡1(mod13)
所以3模19的指数为18；
同理可得：7模19的指数为3，10模19的指数为18。

3．解：因为?(m)=?(81)=54=2*33,所以?(m)的素因数为q1=2,q2=3,进而
(m)/q1=27, ?(m)/q2=18
这样，只需验证：g27,g18模m是否同余于1。

对2，4，5，6…逐个验算：
因为227≠1(mod81) 218≠1(mod81) 根据5.2定理8得
所以2是模81的原根
7．证明：因为（a, m）=1, 故由ord m(a)=st知：a st≡1(mod m) 即(a s)t≡1(mod m) 不妨令ord m(a s)=r 则a sr≡1(mod m) 所以st|sr
由(a s)t≡1(mod m)得r|t 即t＝k*r k∈N≥1 r≤t 所以sr≤st
所以sr=st 所以r=t
所以ord m(a s)=t
8．解：存在
举例：如n=7,d=3 因为?(7)=6 d=3|6
存在a=2 (2,7)=1, 2?(7)≡1(mod 7) 又23≡1(mod 7)
所以ord7(2)=3 满足条件。

10．证明：因为p为一个奇素数，p-1/2也是一个奇素数
所以?(p)=p-1=2*(p-1)/2 即?(p)的不同素因数为2，p-1/2
又因为a?(p)/2=a p-1/2≠1(mod p) a?(p)/[(p-1)/2]=a2≠1(mod p)
根据5.2定理8得a是模p的原根。

15．证明：反证法
假设n是一个合数，令ord n(a)=m 则a m≡1(mod n)
因为a n-1≡1(mod n) 所以由5.1定理1得m|n-1 即n-1=k*m
对n-1的所有素因数q，必可找到一个q1使m|((n-1)/q1)
所以a n-1/q=a m*t≡1(mod n) 与已知条件矛盾，故假设不成立，原结论得证。

16．解：因为d=(n,?(m))=(22,?(41))=(22,40)=2 ind5=22
所以(n,?(m))|ind5，同余式有解
等价同余式为22indx≡ind5(mod40) 即11indx≡11(mod20)
解得：indx=1,21(mod40)
所以原同余式解为x=6,35(mod41)
17．解：因为d=(n,?(m))=(22,?(41))=(22,40)=2 ind29=7
(2,7)=1 所以原同余式无解。

第六章．素性检验
1．证明：因为91=13*7是奇合数， (3,91)=1
又36=729≡1(mod91) 则391-1=390≡(36)15≡1(mod91)
则91是对于基3的拟素数。

2．证明：因为45=5*3*3是奇合数， (17,45)=1
由Euler定理：174≡1(mod5) 172≡1(mod3)
所以174≡1(mod3) 所以174≡1(mod45)
则1745-1=1744≡(174)11≡1(mod45)
则45是对于基17的拟素数。

同理45是对于基19的拟素数。

10．证明：25=5*5是奇素数设n=25 n-1=24=23*3 则t=3 (7,25)=1
73≡18(mod25) 72*3≡-1(mod25)
所以25是基于7的强拟素数。

15．证明：n=561=3*11*17 为奇素数（561,2）=1
b(n-1)/2≡2(561-1)/2≡2280≡1(mod561)
(b/n)=(2/561)=(-1)(561*561-1)/8=1
所以2280≡(2/561)(mod561)
所以561是对于基2的Euler拟素数。

第八章．群
2. 证明：群G 是交换群的充要条件是对任意,a b G ∈，有2
2
2
()ab a b =。

证明：?必要性：若G 是交换群，则对任意,a b G ∈，有ab ba =，从而
2
2
2
()ab abab aabb a b ===。

充分性：若对任意,a b G ∈，有2
2
2
()ab a b =。

那么
1
21
1221
()ba ebae a
ab b
a a
b b
eabe ab ----=====。

因此群G 是交换群。

4. 设G 是n 阶有限群。

证明：对任意元a G ∈，有n
a e =。

证明：任取a G ∈，考虑a 生成的循环群a 。

不妨设a q =。

根据拉格朗日定理，有|q n ，
从而存在正整数k ，使得n qk =。

因为q
a e =（否则a q ≠），所以()n
q
k
k
a a e e ===。

6. 设G 是一个群。

记(){|()}cent G a G b G ab ba =∈?∈=。

证明：()cent G 是G 的正规子群。

证明：首先证明()cent G 是G 的子群。

任取12,()a a cent G ∈，b G ∈。

计算
1
1
1
111
1
11
11
1
1
12121212121212()()
()
()
ba a a ba a b
a a a b
a b a a a b
a a
b -------------======。

因此，112()a a cen t G -∈，从而()cent G 是G 的子群。

再证明()cent G 是G 的正规子群。

任取1
, c e n t () a G x a G a -∈∈。

那么存在
c e n t ()
y G ∈，使得1
x a ya -=。

由y 的交换性，有1
1
cent ()x aya
aa
y ey y G --====∈。

从而1
cent () cent ()a G a G -?，()cent G 是G 的正规子群。

7. 设a 是群G 的一个元素。

证明：映射1
:x axa σ-→是G 到自身的自同构。

证明：（1）任取,x y G ∈。

计算
1
1
11
()()()()xy a xy a
axeya
axa aya
x y σσσ----====
因此σ是同态映射。

（2）若,x y G ∈，且()()x y σσ=。

那么1
1
axa
aya
--=，从而
1
1
11
x a axa a a aya a y ----===，
因此σ是单射。

（3）任取c G ∈。

由于111
()()a ca a a ca a ece c σ---===，故σ是满射。

综上所述，映射1
:x axa σ-→是G 到自身的自同构。

8. 设H 是群G 的子群。

在G 中定义关系1
:R aR b b a H -?∈。

证明：（i ）R 是等价关系。

（ii ）aR b 的充要条件是aH bH =。

证明：（i ）任取a G ∈。

既然H 是群G 的子群，那么e H ∈。

因此1
a a e H -=∈，这说明aR a ，即R 满足自反性。

取,a b G ∈满足aR b 。

那么1
b a H -∈。

根据H 是群G 的子群以及逆元的性质，我们有
1
1
1
()
a b b a H ---=∈，这说明bR a ，即R 满足对称性。

取,,a b c G ∈满足a R b ，b R c 。

那么1
b a H -∈，1
c b H -∈。

根据H 是群G 的子群，我们有111
()()c a c b b a H ---=∈。

从而aR c 成立，即R 满足传递性。

综上所述R 是等价关系。

（ii ）即要证明：1
b a H aH bH -∈?=。

充分性：设aH bH =，则a ae aH bH =∈=，于是存在h H ∈使得a bh =，左右
两边同乘1
b
-，得11
b a b bh h H --==∈。

必要性：如果1
b a H -∈。

对任意
c aH ∈，存在2h H ∈使得2c a h =。

进而，
1
212()c b b a h bh h bH -==∈，
因此，aH bH ?。

同样，对任意c bH ∈，存在3h H ∈使得3c b h =，进而1
1
1
312()c a b a h ah h aH ---==∈。

因此bH aH ?，故aH bH =。

2007年试题
1 证明：如果a 是整数，则3
a a -能被3整除。

2 用广义欧几里德算法求最大公因子(4655,12075)
3 设m 是一个正整数，(m od )a b m ≡，如果|d m
，证明：(m od )a b d ≡。

4 解方程987610(m od 2668)
x
≡
5
解方程组2(m o d 3)1(m o d 5)
1(m o d 7)x x x ≡??
≡??≡?
6 计算3模19的指数。

7 计算653??
的Legendre 符号
8 证明：91是对基3的拟素数。

9 设
f
是群G 到G '的一个同态，{}ker
|,()f a a G f a e '=∈=，其中e '是G '的单位
元。

证明：k er f
是G 的子群。

10 设a 是群G 的一个元素。

证明：映射1
:x axa
σ-→是G 到自身的自同构。

2007年试题答案
1 证明：因为a 3-a=(a-1)a(a+1)
当a=3k ，k ∈Z 3|a 则3|a 3-a 当a=3k-1，k ∈Z 3|a+1 则3|a 3-a 当a=3k+1，k ∈Z 3|a-1 则3|a 3-a 所以a 3-a 能被3整除。

2. 12075=2*4655+2765 4655=1*2765+1890 2765=1*1890+875 1890=2*875+140 875=6*140+35 140=4*35 所以(4655,12075)=35
3. 因为d|m ，所以存在整数'm 使得m d m '=。

又因为(m od )
a b m ≡，所以存在整
数k 使得a b m k
=+。

该式又可以写成()a
b d m k '=+。

故(m od )a b d ≡。

4. 987610(m od 2668)
x
≡
计算最大公因式(987,2668)=1，所以原同余式有解且只有一个解。

利用广义欧几里德除法，求同余式9871(m od 2668)
x ≡的解为0
2495(m od 2668)
x '=。

再写出同余
式987610(m od 2668)
x ≡的解为0
610*610*24951190(m od 2668)x x '==≡。

5 令1
233,5,7m m m ===，
3*5*7105
m ==，
12
35*735,3*721,3*515
M M
M ======。

分别求解同余式1(m od )
i i i M M m '≡（i =1,2,3）
得到12
M '=
，21M '=，3
1M '=。

故同余式的解为 112
233*2*1*1(m o d 105)2*35*21*21*11*15*1(m o d 105)71(m o d 105)
x M M M M M M '''≡++≡++≡
6 解：因为?(19)=18,所以只需对18的因数d=1,2,3,6,9,18计算a
d (mod12)
因为31
≡3, 32
≡9, 33
≡8, 36
≡7, 39
≡-1, 218
≡1(mod13)
所以3模19的指数为18； 7
2
2(531)/8
(31)(531)/4
(31)/8
62353535353(1)
(1)
32111(1)1
3----= ? ? ?
=-?-
=-??=-?-=
8 证明：因为91=13*7是奇合数， (3,91)=1
又36=729≡1(mod91) 则391-1=390≡(36)15
≡1(mod91)
则91是对于基3的拟素数。

9 对任意,k er a b f ∈，有(),()f a e f b e ''==，从而，1
1
1
1
()()()()()
()()
f ab
f a f b
f a f b f a f a e ----'====。

因此，1
k er a b
f -∈，k er f 是群G 的子群。

10 证明：（1）任取,x y G ∈。