第八节 正弦定理和余弦定理的应用

正弦定理和余弦定理的应用
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[小题纠偏]
1．在某次测量中，在 A 处测得同一半平面方向的 B 点的仰角 是 60°，C 点的俯角是 70°，则∠BAC＝________．
答案：130°
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2． 若点 A 在点 C 的北偏东 30°， 点 B 在点 C 的南偏东 60°， 且 AC＝BC，则点 A 在点 B 的________方向上．
解析：如图所示，∠ACB＝90°， 又 AC＝BC， ∴∠CBA＝45°， 而 β＝30°， ∴α＝90°－45°－30°＝15°． ∴点 A 在点 B 的北偏西 15°．
答案：北偏西 15°
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考点一
Байду номын сангаас
测量高度问题
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[小题体验] 1．如图，设 A，B 两点在河的两岸，一测量者
在 A 的同侧，选定一点 C，测出 AC 的距离 为 50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°， 则 A，B 两点的距离为______ m．
答案：50 2
2．(教材习题改编)海面上有 A，B，C 三个灯塔，AB＝10 n mile， 从 A 望 C 和 B 成 60°视角， 从 B 望 C 和 A 成 75° 视角，则 BC＝________ n mile．
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第八节
正弦定理和余弦定理的应用
1．仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线 在水平视线 上方 时叫仰角， 目标视线在水平视线 下方时叫俯 角．(如图(a))．
图(a)
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图(b)
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答案：100 6
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[由题悟法] 求解高度问题应注意的 3 个问题 (1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂 面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键． (2)在实际问题中， 可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的 问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形， 这样处理起来既清楚又不容易搞错． (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平 面问题．
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[演练冲关] 1．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为 20 为 A．10 km C．10 5 km B．10 3 km D．10 7 km km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离 ( )
解析：由余弦定理可得：AC2＝AB2＋CB2－2AB×CB×cos 120° ＝10 ＋20
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2．方位角 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水 平夹角叫做方位角．如 B 点的方位角为 α(如图(b))． 3．方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角， 通常表达为北 (南)偏东(西)××度．
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[通法在握] 求距离问题的2个注意事项 (1)选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的 三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知 量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择 更便于计算的定理．
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解析：由题意，在△ABC 中，∠BAC＝30°， ∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°． 600 BC 又 AB＝600 m，故由正弦定理得 ＝ ， sin 45° sin 30° 解得 BC＝300 2(m)． 3 在 Rt△BCD 中，CD＝BC· tan 30°＝300 2× ＝100 3 6(m)．
2 2
6 6 6 AB＝ (km)．∴A，B 两点间的距离为 km．答案： 4 4 4
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角度二：两点不相通的距离 2．如图所示，要测量一水塘两侧 A，B 两点 间的距离，其方法先选定适当的位置 C， 用经纬仪测出角 α，再分别测出 AC，BC 的长 b ， a ，则可求出 A ， B 两点间的距离．即 AB ＝ a2＋b2－2abcos α． 若测得 CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则 A，B 两点的距离为________m． 解析：在△ABC 中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2AC· BCcos∠ACB， ∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000． ∴AB＝200 7 (m)． 即 A，B 两点间的距离为 200 7 m． 答案：200 7
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考点二
测量距离问题
[锁定考向]
研究测量距离问题，解决此问题的方法是：选择合适的辅 助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问 题，从而利用正、余弦定理求解． 常见的命题角度有： (1)两点都不可到达； (2)两点不相通的距离； (3)两点间可视但有一点不可到达．
[典例引领]
(2015· 湖北高考)如图，一辆汽车在一条水平 的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北 侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上，仰角 为 30°，则此山的高度 CD＝________m．
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答案：5 6
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易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向线与 目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南 方向线与目标方向线所成的锐角．
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考点三
测量角度问题
[典例引领]
在一次海上联合作战演习中，红方一艘 侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小 时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前 进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的 速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的 时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．
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[即时应用] (2016· 湖北七市(州)协作体联考)如图，为了估 测某塔的高度，在同一水平面的 A，B 两点处 进行测量， 在点 A 处测得塔顶 C 在西偏北 20° 的方向上， 仰角为 60°； 在点 B 处测得塔顶 C 在东偏北 40°的方向上，仰角为 30°．若 A， B 两点相距 130 m，求塔的高度 CD． 解：分析题意可知，设 CD＝h， h 则 AD＝ ，BD＝ 3h， 3 在△ADB 中，∠ADB＝180°－20°－40°＝120°， ∴由余弦定理 AB2＝BD2＋AD2－2BD· AD· cos 120°， 2 h h 1 2 2 － ， 可得 130 ＝3h ＋ －2· 3h· · 3 3 2 解得 h＝10 39，故塔的高度为 10 39(m)．
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解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处 追上蓝方的小艇， 则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°． 根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°， 解得x＝2． BC AC 故AC＝28，BC＝20．根据正弦定理得 ＝ ， sin α sin 120° 20sin 120° 5 3 解得sin α＝ ＝ ． 28 14 5 3 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为 ． 14
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[题点全练] 角度一：两点都不可到达 1．如图，A，B 两点在河的同侧，且 A，B 两点 均不可到达，要测出 A，B 的距离，测量者可 以在河岸边选定两点 C，D，测得 CD＝a，同 时在 C， D 两点分别测得∠BCA＝α， ∠ACD＝β， ∠CDB＝γ， ∠BDA＝δ．在△ADC 和△BDC 中，由正弦定理分别计算出 AC 和 BC，再在△ABC 中，应用余弦定理计算出 AB． 3 若测得 CD ＝ km ，∠ ADB ＝∠ CDB ＝ 30°，∠ ACD ＝ 2 60°，∠ACB＝45°，则 A，B 两点间的距离为________km．
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解析： ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°， ∠ACD＝60°， 3 ∴∠DAC＝60°， ∴AC＝DC＝ (km)． 在△BCD 中， ∠DBC 2 DC ＝ 45° ， 由 正 弦 定 理 ， 得 BC ＝ · sin ∠ BDC ＝ sin∠DBC 3 2 6 · sin 30°＝ ．在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝ sin 45° 4 3 3 3 6 2 3 AC ＋BC －2AC· BCcos 45°＝ ＋ －2× × × ＝ ．∴ 4 8 2 4 2 8
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角度三：两点间可视但有一点不可到达 3．如图所示，A，B 两点在一条河的两岸，测量者 在 A 的同侧，且 B 点不可到达，要测出 A，B 的距离，其方法在 A 所在的岸边选定一点 C， 可以测出 A，C 的距离 m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠ CAB＝β，在△ABC 中，运用正弦定理就可以求出 AB． 若测出 AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则 A，B 两 点间的距离为________m．
解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，∠DAC＝ 60°，∠CBM＝15°， ∴∠MAB＝30°，∠AMB＝45°． 60 在△AMB中，由正弦定理，得 ＝ sin 45° BM ， sin 30° 解得BM＝30 2，故选B． 答案：B
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解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°， AB AC 所以由正弦定理得， ＝ ， sin C sin B AC· sin C 60×sin 45° ∴AB＝ ＝ ＝20 6(m)． sin B sin 60° 即 A，B 两点间的距离为 20 6 m．
答案：20 6
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[由题悟法] 解决测量角度问题的3个注意事项 (1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义． (2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值． (3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一 步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要 注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．
2 2
1 －2×10×20×－2＝700．
∴AC＝10 7(km)，故选 D．
答案：D
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2．一艘船以每小时 15 km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯 塔 M 在北偏东 60°方向，行驶 4 h 后，船到达 B 处，看到这 个灯塔在北偏东 15°方向，这时船与灯塔的距离为 A．15 2 km C．45 2 km B．30 2 km D．60 2 km ( )