湖北省襄阳市襄城区2013年中考适应性考试数学试题

襄城区2013年中考适应性考试
数学试题
〔时限：120分钟 总分值：120分〕
一、选择题〔每题3分，共36分〕 21
的倒数是〔 〕 21 B.-2 C.2 D.2
1 2.李明的作业本上有四道题：〔1〕a ·a=a ，〔2〕〔2b 〕=8b ，〔3〕〔x+1〕=x+1，〔4〕4a ÷(-2a)=-2a ，如果你是他的数学老师，请找出他做错的题是〔 〕
A.〔1〕
B.〔2〕
C.〔3〕
D.〔4〕 3.函数y=
1
2
+-x x 中的自变量的取值范围为〔 〕 A.x ＞-2 B.x ＞2且x ≠-1 C.x ≥≥2且x ≠-1 4. 右图是某几何体的三种视图，则该几何体是〔 〕 A ．正方体 B ．圆柱体 C ．圆锥体
D ．球体
5. 以下图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是〔 〕
6.以下说法正确的选项是〔 〕
10
1
，则做10次这样的游戏一定会中奖 B.为了解全国中学生的心理健康情况，应采用普查的方式 C.一组数据6,8,7,8,8,9,10的众数和中位数都是8
2
甲=0.01，,乙组数据的方差
S 2乙=0.1，则乙组数据比甲组数据稳定
7.北京2008奥运的国家体育场“鸟巢”建筑面积达25.8万平方米，用科学记数法表示应为 〔 〕平方米.
××10 C ×10 D ．258×10
8. 在中央电视台2套“开心辞典”节目中，有一期的某道题目是：如下图，天平中放有 〕 A ．
43倍 B ．32
倍 主视图
俯视图
左视图
A B
C D
C ．2倍
D ．3倍
9. 以下一元二次方程中，没有实数根的是〔 〕 A ．x+2x-1=0 B ．x+22x-1=0 C ．x+2x+1=0 D ．-x+2x+2=0
10. 如图，以点O 为圆心的两个同心圆，半径分 别为5和3，假设大圆的弦AB 与小圆相交，则弦 长AB 的取值范围是〔 〕
A ．8≤A
B ≤10 B ．AB ≥8
C ．8＜AB ＜10
D ．8＜AB ≤10
11. 如图已知扇形AOB 的半径为6cm ，圆心角的 度数为120°，假设将此扇形围成一个圆锥，则围成
的圆锥的底面半径为〔 〕
A ．2㎝ B. 4㎝ C ．1㎝ D.8㎝
12. 如下图的计算程序中，y 与x 之间的函数关系所对应
的图象应为〔 〕
二、填空题〔每题3分，共15分〕
13. 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．假设BD ∥AE ， ∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是 ．
14. 已知一等腰三角形的两边长x 、y 满足方程组
⎩⎨⎧,
823,32=+=-y x y x 则此等腰三角形的周长为 ． 15. 如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平 分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ， 垂足为G ，BG=24，则AF 的长为__________.
16. 某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是 ．
17. 如图，已知⊙P 的半径为2，圆心P 在抛物线
O
A B
120︒B
O
A
6cm
A
B
C
D E 取相反数 ×2 ＋4
输入x
输出y
2
112
y x =
-上运动，当⊙P 与x 轴相切时，圆心P 的坐标为 . 三、解答题〔此题有9个小题，共69分〕
18.〔6分〕先化简：)3231(21943322-+⋅-÷+x x x x ；假设结果等于32
，求出相应x 的值．
19.〔6分〕某中学对全校学生60秒跳绳的次数进行了统计，全校平均次数是100次．某班 体育委员统计了全班50名学生60秒跳绳的成绩，列出的频数分布直方图如下〔每个分组包 括左端点，不包括右端点〕.求：
〔1〕该班60秒跳绳的平均次数至少是多少？是否超过全校平均次数？
〔2〕该班一个学生说：“我的跳绳成绩在我班是中位数”，请你给出该生跳绳成绩的所在范围．
〔3〕从该班中任选一人，其跳绳次数到达或超过校平均次数的概率是多少？
20.〔6分〕为了支援四川雅安地区人民抗震救灾，某休闲用品主动承担了为灾区生产2万顶帐篷的任务，计划10天完成．
〔1〕按此计划，该公司平均每天应生产帐篷 顶；
〔2〕生产2天后，公司又从其它部门抽调了50名工人参加帐篷生产，同时，通过技术革新等手段使每位工人．．．．的工作效率比原计划提高了25％，结果提前2天完成了生产任务．求该公司原计划安排多少名工人生产帐篷？
21.〔6分〕如下图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾斜角由45°降为30°，已知原滑滑板AB 的长为5米3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由.〔参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449〕
22.〔7分〕如图，△ABC 是边长为5的等边三角
60
80 100
120140 160 180 次数
45
30
D
C B
A
F
E
D
C B
A
形，将△ABC 绕点C 顺时针旋转120°，得到△EDC,连接BD ，交AC 于F. 〔1〕猜想AC 与BD 的位置关系，并证明你的结论； 〔2〕求线段BD 的长.
23.〔7分〕如图，反比例函数y=
x
k
△OAD 、△OCE 的面积分别为S 、S . 〔1〕①点B 的坐标为 ；②S S 〔填“＞”、“＜”、“=”〕； 〔2〕当点D 为线段AB 的中点时，求k 的值及点E 的坐标； 〔3〕当S+S=2时，试判断△ODE 的形状，并求△ODE 的面积.
24.〔8分〕为加强对学生的爱国主义教育，某学校团组织决定在“五·四”青年节到来之际，计划租用6辆客车送一批团员师生去烈士塔参加新团员入团宣誓仪式.现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表.设租用甲种客车x 辆，租车的总费用为y 元.
甲种客车 乙种客车 载客量〔人/辆〕 45 30 租金〔元/辆〕
280
200
〔1〕求出y 〔元〕与x 〔辆〕之间的函数关系式，指出自变量的取值范围；
〔2〕假设该校共有240名师生前往参加，领队老师从学校预支租车费用1650元，试问预支的租车费用是否可以结余？假设有结余，最多可结余多少元？
25.〔11分〕如图，已知以Rt △ABC 的直角边AB 为直径做圆O ，与斜边AC 交于点D ，E 为BC 边的中点，连接DE.
〔1〕求证：DE 是⊙O 的切线；
〔2〕连接OE 、AE ，当∠CAB 为何值时，四边形AODE 是平
行四边形，并说明理由；
〔3〕在(2)的条件下，求sin ∠CAE 的值.
26.〔12分〕矩形OABC 在平面直角坐标系中的位置如下图，A 、C 两点的坐标分别为A 〔6,0〕，
C 〔0，-3〕，直线y=-43
x 与BC 边相交于D 点. 〔1〕假设抛物线y=ax-4
9
x 经过点A ，试确定此抛物线的解析式；
〔2〕在〔1〕中的抛物线的对称轴上取一点E ，求出EA+ED 的最小值；
〔3〕设〔1〕中的抛物线的对称轴与直线OD 交于点M ，点P 为对称轴上一动点，以P 、O 、M 为顶点的三角形与△OCD 相似，求符合条件的点P 的坐标.
襄城区2013年中考适应性考试
E D O C
B
A
数学试题答案
一、选择题：
二、填空题：
13. 70° 14.5 15.6 16.5
3
17. )2,6(或)2,6(- 三、解答题： 18.解：
……(3分)
由32x =3
2
，可得x=2，解得 x =±2． ……(6分) 19. 解：〔1〕该班60秒跳绳的平均次数至少是：50
2
16051407120191001380460⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝100.8．
因为100.8>100，所以一定超过全校平均次数． ……(2分) 〔2〕这个学生的跳绳成绩在该班是中位数，由4+13+19=36，
所以中位数一定在100～120范围内． ……(4分)
〔3〕该班60秒跳绳成绩大于或等于100次的有：19+7+5+2=33〔人〕， 所以，从该班任选一人，跳绳成绩到达或超过校平均次数的概率为
50
33． ……(6分) 20. 解：〔1〕2000 ……(1分) 〔2〕设该公司原计划安排x 名工人生产帐篷，则由题意得：
20002000022000(125)(1022)(50)x x -⨯+=
--+％， 516
3(50)
x x ∴=+． 解这个方程，得750x =．
经检验，750x =是所列方程的根，且符合题意．
答：该公司原计划安排750名工人生产帐篷． ……(6分) 21.解：∵在直角三角形ABC 中，sin45°=
AB
AC
， ∴AC=AB ·sin45°=
2
2
5. ∵在直角三角形ABC 中，∠C=90°，∠ABC=45°， ∴BC=AC=
2
2
5， ∵在直角三角形ADC 中，tan30°=CD
AC
, ∴CD=
030tan AC =
2
5
6
∴BD=CD-BC=
2
5
(6-2)≈≈ ∵6-2.59=3.41〔米〕＞3米,∴这样改造是可行的. ……(6分) 22.解：〔1〕AC 与BD 互相垂直平分.
证明：连接AD ，由题意知，△ABC ≌△EDC ，∠ACE=120°，
又∵△ABC 是等边三角形，∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°， ∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，∴B 、C 、E 三点在一条直线上.
∴AB ∥DC ，∴四边形ABCD 为菱形，∴AC 与BD 互相垂直平分. ……(4分) 〔2〕由〔1〕知，四边形ABCD 为菱形，∴∠DBE=2
1
∠ABC=30°， ∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，∴∠BDE=90°. ∵ B 、C 、E 三点在一条直线上，∴BE=10，
∴ BD=22DE BE -=2
2510-=53 ……(7分) 23.解：〔1〕①点B 的坐标为〔4,2〕；②S=S ……(2分) 〔2〕k 的值为1，点E 的坐标为〔4，4
1
〕 ……(4分) (3)可证得△ODE 为直角三角形. ∴
S
ODE
∆=
21OD
·
DE=
2
1×
5
×
253=4
15
……(7分) 24.解：〔1〕y=280x + 200〔6-x 〕= 80x+1200〔0≤x ≤6〕. ……(3分) 〔2〕可以有结余.由题意，知
⎩
⎨⎧≥-+≤+240)6(30451650120080x x x
解之，得4≤x ≤5
8
5
. 故预支的租车费用可以有结余. ∵x 取整数，∴x 取4或5.
∵k=80＞0，∴y 随x 的增大而增大，
∴当x=4时，y 的值最小，其最小值y=4×80+1200=1520〔元〕，
∴最多可结余1650-1520=130〔元〕. ……(8分) 25.〔1〕证明：连接OD 、BD.
∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°， ∵∠ADB+∠BDC=180°，∴∠BDC=90°， ∵E 为BC 边的中点，∴BE=DE=CE=
2
1BC ∴∠BDE=∠DBE, ∵OB=BD, ∴∠OBD=∠ODB, 又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°， ∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°， ∴OD ⊥DE ，∴DE 是⊙O 的切线. ……(4分) 〔2〕解：当∠CAB=45°时，四边形AODE 是平行四边形.
F
又∵∠ABC =90°，∴∠CAB=∠C =45°，∴AB=BC. 同理可得BD=CD, ∵∠BDC=90°，E 为BC 边的中点， ∴DE ⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE ∥AB. 又∵DE=
21BC,OA=2
1
AB, ∴DE=OA. ∴四边形AODE 是平行四边形. ……(8分)
〔3〕过点E 作EF ⊥AC 交AC 于点F,设EF=x ，则CE=BE=2x,BC=AB=22x, 在Rt △ABE 中，AE=
22BE AB +=10x
在Rt △AFE 中，sin ∠CAE=
AE EF
=x x 10=10
10 ……(11分) 26.解：〔1〕抛物线y=ax-
4
9
x 经过点A 〔6,0〕， ∴0=36a-49×36, ∴a=83,故抛物线的解析式为y=83x-49
x. ……(3分)
〔2〕直线y=-4
3
x 与BC 边相交于D 点，
当y=-3时，x=4，∴点D 的坐标为〔4，-3〕.
∵点O 与点A 关于对称轴对称，且点E 在对称轴上， ∴EA=EO, ∴EA+ED=EO+ED,
则最小值为OD=2
2
34+=5，∴EA+ED 的最小值为5. ……(6分)
〔3〕抛物线的对称轴与x 轴的交点P 1符合条件. ∵OA ∥CB ，∴∠P 1OM=∠CDO.
∵∠OP 1M=∠DCO=90°，∴Rt △P 1OM ∽Rt △CDO.
∵抛物线的对称轴为x=3，∴点P 1的坐标为〔3,0〕. 过点O 作OD 的垂线交抛物线的对称轴于点P 2. ∵对称轴平行于y 轴，∴∠P 2MO=∠DOC.
∵∠P 2OM=∠DCO=90°, ∴Rt △P 2MO ∽Rt △DOC. ∴点P 2也符合条件，∠OP 2M=∠ODC. ∵P 1O=CO=3，∠P 2P 1O=∠DCO=90°， ∴Rt △P 2P 1O ≌Rt △DCO. ∴P 1P 2=CD=4.
∵点P 2在第一象限，∴点P 2的坐标为〔3,4〕.
∴符合条件的点P 有两个，分别是P 1〔3,0〕，P 2〔3,4〕. ……(12分)。