高考数学总复习 课时提升作业(二十二) 3.8应用举例 文

课时提升作业(二十二)
应用举例
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.如图所示,为了测量某障碍物两侧A,B间的距离,给定下列四组数据,不一定能确定A,B间距离的是( )
A.α,a,b
B.α,β,a
C.a,b,γ
D.α,β,b
【解析】选A.选项B中由正弦定理可求b,再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.选项A中利用正弦定理求β时可能会有两解,故选A.
2.已知△ABC的外接圆的半径为2,设其三边长为a,b,c,若abc=16,则三角形的面积为( )
A.1
B.2
C.22
D.4
【解题提示】根据正弦定理用上外接圆的半径,由此选择三角形的面积公式求解.
【解析】选B.由正弦定理,得
a
sin A
=2×2=4,即sin A=
a
4
,因为abc=16,
所以S△=1
2
bcsin A=
abc
8
=2.
3.某工程中要将一长为100 m,倾斜角为75°的斜坡,改造成倾斜角为30°的斜坡,并保持坡高不变,则坡底需加长( )
A.1002 m
B.1003 m
C.50(2+6)m
D.200 m
【解析】选A.设坡底需加长x m,
由正弦定理得
100x
sin 30sin 45
=
︒︒
,解得x=1002.
4.(2015·石家庄模拟)在△ABC中,面积S=a2-(b-c)2,则cos A=( )
【解析】选B.S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=2bc-2bccos A=1
2
bcsin A,
所以sin A=4(1-cos A),16(1-cos A)2+cos2A=1,所以cos A=15 17
.
5.(2015·成都模拟)如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°,45°,且A,B两点间的距离为60m,则该建筑物的高度为( )
A.(30+30错误!未找到引用源。

)m
B.(30+15错误!未找到引用源。

)m
C.(15+30错误!未找到引用源。

)m
D.(15+15错误!未找到引用源。

)m 【解题提示】先在△ABP中求PB或PA,再解直角三角形即可.
【解析】选A.在△PAB中,∠PAB=30°,∠APB=15°,AB=60,
sin15°=sin(45°-30°)
=sin45°cos30°-cos45°sin30°
=错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

-错误!未找到引用源。

×错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
由正弦定理,得错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

,
所以PB=错误!未找到引用源。

=30(错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

),
所以建筑物的高度为PBsin45°=30(错误!未找到引用源。

+错误!未找到引用源。

)×错误!未找到引用源。

=(30+30错误!未找到引用源。

)m.
【一题多解】解答本题,还可使用以下方法:
选A.设建筑物的底部为C,建筑物高PC=x,
在Rt△PCB中,∠PBC=45°,所以BC=PC=x,
在Rt△PCA中,∠PAC=30°,
所以tan30°=错误!未找到引用源。

,即CA=错误!未找到引用源。

x,
由图知错误!未找到引用源。

x-x=60,解得x=30(错误!未找到引用源。

+1)(m).
【加固训练】如图所示,D,C,B三点在地面的同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的
仰角分别为60°,30°,则A点离地面的高度AB等于( )
A.错误!未找到引用源。

a
B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引用源。

a
D.错误!未找到引用源。

a
【解析】选 B.因为∠DAC=∠ACB-∠D=60°-30°=30°,所以AC=CD=a,在Rt△ABC 中,AB=AC·sin60°=错误!未找到引用源。

a.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.在▱ABCD中,AB=6,AD=3,∠BAD=60°,则▱ABCD的面积为.
【解析】▱ABCD的面积S=2S△ABD
=AB·AD·sin∠BAD
=6×3sin 60°=93.
答案:93
7.(2015·宜宾模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔
顶A的仰角是45°,在D点测得塔顶A的仰角是30°,并测得水平面上的∠
BCD=120°,CD=
40 m,则电视塔的高度为m.
【解析】设电视塔AB高为x m,
则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°,得BC=x.
在Rt△ADB中,∠ADB=30°,
所以BD=3x.
在△BDC中,由余弦定理,得
BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos 120°,
即(3x)2=x2+402-2·x·40·cos 120°,
解得x=40,所以电视塔高为40 m.
答案:40
8.某渔轮在航行中不幸遇险,发出呼叫信号,我海军舰艇在A处获悉后,立即测出该渔轮在方位角为45°距离为10海里的C处,并测得渔轮正沿方位角为105°的方向,以9海里/小时的速度向小岛靠拢,我海军舰艇立即以21海里/小时的速度前去营救,则舰艇靠近渔轮所需的时间为小时.
【解题提示】首先根据题意画出图形,再根据两船所用时间相同,在三角形中利用余弦定理列
方程求解.
【解析】如图,设舰艇在B′处靠近渔轮,所需的时间为t小时,则AB′=21t, CB′=9t.
在△AB′C中,根据余弦定理,则有AB′2=AC2+B′C2-2AC·B′Ccos 120°,
可得,212t2=102+81t2+2·10·9t·1
2
.
整理得360t2-90t-100=0,解得t=2
3
或t=-
5
12
(舍去).故舰艇需
2
3
小时靠近渔轮.
答案:2 3
【加固训练】一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西60°方向,另一灯塔在船的南偏西75°方向,则这只船的速度是每小时.
【解析】如图,
依题意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,从而CD=CA=10,在直角三角形ABC
中,可得AB=5,于是这只船的速度是
5
0.5
=10(海里/小时).
答案:10海里
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2014·新课标全国卷Ⅱ)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.
(1)求C和BD.
(2)求四边形ABCD的面积.
【解题提示】(1)设出BD的长,利用余弦定理求解.
(2)利用S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD求解.
【解析】(1)设BD=x,在△ABD,△BCD 中,由余弦定理,
得cos A=214x 212+-⨯⨯,cos C=2
94x 232
+-⨯⨯.
因为A+C=π, 所以cos A+cos C=0, 联立上式解得x=7,cos C=
1
2
, 所以C=
3
π
,BD=7. (2)因为A+C=π,C=3
π
,
所以sin A=sin C=
3, 四边形ABCD 的面积S=S △ABD +S △BCD =
12AB ·AD ·sin A+1
2
CB ·CD ·sin C=32(1+3)=23.所以
四边形ABCD 面积为23.
10.(2015·广州模拟)如图,某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点A,B 之间的距离,她在西江南岸找到一个点C,从C 点可以观察到点A,B;找到一个点D,从D 点可以观察到点A,C;找到一个点E,从E 点可以观察到点B,C;并测量得到数据:∠ACD=90°,∠ADC=60°,∠ACB=15°,∠BCE=105°,∠CEB=45°,DC=CE=1(百米). (1)求△CDE 的面积. (2)求A,B 之间的距离.
【解题提示】(1)连接DE,在△CDE 中,求出∠DCE,直接利用三角形的面积公式求解即可. (2)求出AC,通过正弦定理求出BC,然后利用余弦定理求出AB.
【解析】(1)连接DE,在△CDE 中,∠DCE=360°-90°-15°-105°=150°,
S △ECD =
1
2DC ·CE ·sin 150° =12×sin 30°=12×12=1
4
(平方百米). (2)依题意知,在Rt △ACD 中,AC=DC ·tan ∠ADC =1×tan 60°=3.
在△BCE 中,∠CBE=180°-∠BCE-∠CEB=180°-105°-45°=30°.
由正弦定理
BC CE
sin CEB sin CBE =
∠∠ 得BC=CE sin CBE ∠·sin ∠CEB=1
sin 30︒
×sin 45°=2.
因为cos 15°=cos(60°-45°) =cos 60°cos 45°+sin 60°sin 45°
123262.2+=⨯+⨯= 连AB,在△ABC 中,由余弦定理AB 2
=AC 2
+BC 2
-2AC ·BCcos ∠ACB
可得AB 2=(3)2+(2)2
-23×2×
62
4
+=2-3,所以AB=23- (百米). 【加固训练】我炮兵阵地位于地面A 处,两观察所分别位于地面点C 和D 处,已知CD=6000米,∠ACD=45°,∠ADC=75°,目标出现于地面点B 处时,测得∠BCD=30°,∠BDC=15°(如图),求炮兵阵地到目标的距离.(结果保留根号)
【解题提示】四点A,B,C,D 可构成四个三角形,要求AB 的长,由于∠ADB=75°+ 15°=90°,只需知道AD 和BD 长,这样可选择在△ACD 和△BCD 中应用定理求解. 【解析】在△ACD 中,∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=60°, CD=6000,∠ACD=45°,
根据正弦定理有AD=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

CD,
在△BCD 中,∠CBD=180°-∠BCD-∠BDC=135°,CD=6000,∠BCD=30°,根据正弦定理有BD=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

CD. 又在△ABD 中,∠ADB=∠ADC+∠BDC=90°,
根据勾股定理有:AB=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

CD=错误!未找到引用源。

CD=1000错误!未找到引用源。

(米).
(20分钟 40分)
1.(5分)甲船在岛B 的正南A 处,AB=10千米.甲船以每小时4千米的速度向北航行,同时,乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去.当甲船在A,B 之间,且甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间是( )
A.150
7
分钟 B.
15
7
小时
C.21.5分钟
D.2.15分钟
【解析】选A.如图,设航行x小时,甲船航行到C处,乙船航行到D处,在△BCD中,BC=10-4x,BD=6x,
∠CBD=120°,两船相距S千米,根据余弦定理可得,
DC2=BD2+BC2-2BC·BDcos∠CBD
=(6x)2+(10-4x)2-2×6x(10-4x)·cos 120°,
即S2=28x2-20x+100
=28(x-20
56
)2+100-28×(
20
56
)2,
所以当x=20
56
=
5
14
时,S2最小,从而S也最小,即航行
5
14
×60=
150
7
分钟
时两船相距最近.故选A.
2.(5分)(2014·浙江高考)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面的射击线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角).若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是( )
【解析】选D.由勾股定理可得,BC=20 m,过点P
作PP′⊥BC,交BC于点P′,连接AP′,如图,则
tanθ=PP
AP
'
'
,设BP′=x,则CP′=20-x,
由∠BCM=30°得,
PP ′=CP ′tan 30°
=
3
(20-x). 在Rt △ABP ′中,AP ′
=
故tan θ
)20x 20x --=
令20x -,则y
′=
当x<-45
4
时,y ′>0, 当-
45
4
<x<20时,y ′<0, 所以当x=-45
4
时, y 最大=
5
3
,
所以tan θ的最大值
=
5339= 3.(5分)(2015·黄山模拟)若△ABC 中,b=3,B=
3
π
,则该三角形面积的最大值为 . 【解题提示】利用余弦定理列式,利用基本不等式求ac 的最大值,代入面积公式即可.
【解析】由b=3,B=
3
π
及余弦定理可得 9=b 2=a 2+c 2
-2accos 3
π=a 2+c 2-ac ≥2ac-ac=ac,
所以ac ≤9,当a=c=3时,取“=”, 所以
S △ABC
=
1acsin B ac 92444
=≤⨯= 所以
S △ABC 当a=b=c=3时取得
. 答案:【加固训练】(2011·安徽高考)已知△ABC 的一个内角为120°,并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC 的面积为 .
【解析】设三角形一边长为x,则另两边的长为x-4,x+4,那么 (x+4)2
=x 2
+(x-4)2
-2x(x-4)cos 120°,
解得x=10,所以S△ABC=1
2
×10×6×sin 120°
.
答案:
【方法技巧】三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S=1
2
absin C=
1
2
acsin B=
1
2
bcsin A,一般是已知哪一个角就使用与该角正
弦值有关的面积公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.
4.(12分)(2014·重庆高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且a+b+c=8.
(1)若a=2,b=错误!未找到引用源。

,求cosC的值.
(2)若sinAcos2错误!未找到引用源。

+sinBcos2错误!未找到引用源。

=2sinC,且△ABC的面积S=错误!未找到引用源。

sinC,求a和b的值.
【解题提示】(1)直接根据余弦定理即可求出cosC的值.
(2)根据题设条件可以得到关于a和b的关系式进而求出a和b的值.
【解析】(1)由题意可知:c=8-(a+b)=错误!未找到引用源。

,
由余弦定理得:
cosC=错误!未找到引用源。

=错误!未找到引用源。

=-错误!未找到引用源。

.
(2)由sinAcos2错误!未找到引用源。

+sinBcos2错误!未找到引用源。

=2sinC可得: sinA·错误!未找到引用源。

+sinB·错误!未找到引用源。

=2sinC,
化简得sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC.
因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,
所以sinA+sinB=3sinC.由正弦定理可知:a+b=3c.
又因为a+b+c=8,故a+b=6.
由S=错误!未找到引用源。

absinC=错误!未找到引用源。

sinC,
所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.
5.(13分)(能力挑战题)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种途径,一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C,现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为
50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C,
假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1 260 m,经测量,cos
A=12
13
,cos C=
3
5
.
(1)求索道AB的长.
(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
【解题提示】(1)在△ABC中,利用正弦定理求AB.
(2)设时间t,画图形,用余弦定理建立两人的距离关于时间t的函数,求函数的最值. 【解析】(1)在△ABC中,AC=1 260,
因为cos A=
12
13
,cos C=
3
5
,所以sin A=2
5
1cos A,
13
-=
sin C=2
4
1cos C,
5
-=
sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
5312463
.
13513565
=⨯+⨯=
因为
AB AC
,
sin C sin B
=
所以AB=
AC 1 2604
sin C 1 040,
63
sin B5
65
=⨯=
g
故索道AB的长为1 040米.
(2)设乙出发t分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短.
设乙出发t分钟后到达E点,此时甲到达F点,如图,连接EF,
则AE=130t,AF=50(t+2).
在△EAF中,因为cos A=
12
13
,所以EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos A
=(130t)2+[50(t+2)]2-2·130t ·50(t+2)×1213 =200(37t 2-70t+50), 由0≤t ≤1 040130,得0≤t ≤8. 即EF=()
220037t 70t 50-+,t ∈[0,8], 故当t=703523737
--
=⨯时,EF 最小. 即乙出发3537min 后,乙在缆车上与甲的距离最短. 【加固训练】如图,甲船以每小时302海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船位于A 1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A 2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处,此时两船相距102海里.问:乙船每小时航行多少海里?
【解析】如图,连接A 1B 2,由已知A 2B 2=102,
A 1A 2=302×2060
=102, 所以A 1A 2=A 2B 2.
又∠A 1A 2B 2=180°-120°=60°,
所以△A 1A 2B 2是等边三角形,
所以A 1B 2=A 1A 2=102.
由已知,A 1B 1=20,
所以∠B 1A 1B 2=105°-60°=45°,
在△A 1B 2B 1中,由余弦定理得
B 1B 22=A 1B 12+A 1B 22-2A 1B 1·A 1B 2·cos 45°
=202+(102)2-2×20×102×22
=200, 所以B 1B 2=102.
因此,
乙船的速度为
20
60
(海里/时).。