高中数学集合习题及详解

高中数学集合习题及详解
一、单选题
1．已知集合(){}ln 2A x y x ==-，集合1,32x
B y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==>-⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B =（ ） A ．∅
B ．()2,8
C ．()3,8
D ．()8,+∞
2．设集合{}{lg 1},2A x
x B x x =<=≤∣∣，则A B ⋃=（ ） A ．{02}x
x <≤∣ B ．{}2x
x ≤∣ C ．{10}x x <∣ D ．R
3．已知集合{}
1A x
y x ==-∣，{}0,1,2,3B =，则A B =（ ） A ．{3} B ．{2,3} C ．{1,2,3} D ．{0,1,2,3}
4．集合{}06A x Z x =∈<<，集合{}ln 1B x x =>，求A B （ ） A ．{}6x e x << B ．{}1,2,3e e e +++ C ．{}3,4,5
D ．{}2,3,4,5
5．已知集合{}
2
4A x N x =∈≤，{}1,B a =，B A ⊆，则实数a 的取值集合为（ ）
A ．{}0,1,2
B ．{}1,2
C ．{}0,2
D ．{}2
6．设R U =，1
{|2}2
x A x =<，{|1}B x x =>，则()U B A ⋂=（ ）
A ．{|0}x x <
B ．{}|1x x >
C ．{}|01x x <<
D ．{}|01x x <≤
7．已知全集，集合{|(2)0}A x x x =+<，{|||1}B x x ，则如图所示的阴影部分表示的集
合是（ ）
A ．(2,1)-
B ．[1,0)[1,2)-⋃
C ．(2,1)[0,1]--
D ．[0,1]
8．设集合{}22M x Z x =∈-<，则集合M 的真子集个数为（ ） A ．16
B ．15
C ．8
D ．7
9．已知函数()2
ln 3y x x =-的定义域为A ，集合{}14B x x =≤≤，则()A B =R （ ）
A ．{0,1,2,3,4}
B ．{1,2,3}
C ．[0,4]
D ．[1,3] 10．已知集合{|13,N}A x x x =-<<∈，则A 的子集共有（ ）
A ．3个
B ．4个
C ．8个
D ．16个
11．若集合(){}
ln 10A x x =-≤，{}
2B x x =≥，则(
)R
A B =( )
A ．(2,2)-
B ．(1,2)
C ．[)1,2
D ．(1,2] 12．已知集合{1,5,},{2,}A a B b ==，若{2,5}A B ⋂=，则a b +的值是（ ） A ．10
B ．9
C ．7
D ．4
13．设全集{}{}{}10,2,3,5,0,3,5,9U n N n A B =∈≤==，则()U A B =（ ） A ．{2,6}
B ．{0,9}
C ．{1,9}
D ．∅
14．已知集合{}{}|14,|04U x x A x x =-<≤=≤≤，则U
A =（ ）
A ．[-1，0）
B ．[-1，0]
C ．（-1，0）
D ．（-1，0]
15．设集合{}
2Z
20A x x x =∈--≤∣，{0,1,2,3}B =，则A B =（ ） A ．{0,1}
B ．{0,1,2}
C ．{1,0,1,2,3}-
D ．{2,1,0,1,2,3}--
二、填空题
16．
从集合{}123,,,,n U a a a a =⋅⋅⋅的子集中选出4个不同的子集，需同时满足以下两个条件：①∅､U 都要选出；②对选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇.则选法有___________种.
17．集合{}{}2
3,12,1A B m m ==+，，且A B =，则实数m =________.
18．已知集合()
{}2,M x y y x ==∣，(){},0N x y y ==，则M N =______.
19．已知T 是方程()
22
040x px q p q ++=->的解集，1379147{{1}}0A B ==，
，，，，，，且T A T B T ⋂=∅⋂=，，则p q +=_____．
20．若“x a >”是“39x >”的必要条件，则a 的取值范围是________．
21．已知集合{}
4194,A x x n n *==-+∈N ，{}
6206,B y y n n *
==-+∈N ，将A B 中的所
有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列{}n a ，则数列{}n a 的前n 项和的最大值为___________.
22．设集合(),5P =-∞，[),Q m =+∞，若P Q =∅，则实数m 的取值范围是______. 23．设集合21|,|32A x m x m B x n x n ⎧⎫⎧⎫
=≤≤+=-≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
，且,A B 都是集合{}|01x x ≤≤的子
集，如果把b a -叫作集合{}|≤≤x a x b 的“长度”，那么集合A B 的“长度”的最小值是___________.
24．已知集合{}
()216,x
A x
B a ∞=≤=-，，若A B ⊆则实数a 的取值范围是____.
25．若集合M 满足{}1,2,3,4M
，则这样的集合M 有______个．
三、解答题
26．函数()()sin 22
sin cos 1a x f x a x x +=
+-.
(1)若1a =，,02x π⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭
，求函数()f x 的值域；
(2)当,02x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
π，且()f x 有意义时，
①若(){}
0y y f x ∈=，求正数a 的取值范围； ②当12a <<时，求()f x 的最小值N .
27．已知集合A ＝{x |24x >}，B ＝{x ||x －a |＜2}，其中a ＞0且a ≠1． (1)当a ＝2时，求A ∪B 及A ∩B ；
(2)若集合C ＝{x |log ax ＜0}且C ⊆B ，求a 的取值范围．
28．设全集U R =，已知集合{}1,2A =，{|03}B x x =≤≤，集合C 为不等式组10
240x x +≥⎧⎨
-≤⎩的解集.
(1)写出集合A 的所有子集； (2)求
U
B 和B
C ⋃.
29．设集合{}
22,3,42A a a =++，集合{}
2
0,7,42,2B a a a =+--，这里a 是某个正数，且
7A ∈，求集合B ．
30．已知集合A ＝{}123x m x m -≤≤+， ． (1)当m ＝1时，求A B ，(
R
A )
B ；
(2)若A B ＝A ，求实数m 的取值范围．
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，并完成解答．
① 函数()f x B ；② 不等式2x ≤的解集为B ． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【参考答案】
一、单选题 1．B 【解析】 【分析】
先求出集合,A B ，然后直接求A B 即可. 【详解】
集合(){}
{}ln 22A x y x x x ==-=>，
集合{}1,3082x
B y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
==>-=<<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，()2,8A B =，
故选：B ． 2．C 【解析】 【分析】
先化简集合A ，再求A B 【详解】
lg 1lg lg10010x x x <⇔<⇔<<，
即{}010|A x x =<<，所以{}|10A B x x =< 故选：C 3．C 【解析】 【分析】
先由y =A ，再根据集合交集的原则即可求解. 【详解】
对于集合A ，10x -≥，即1≥x ，则{}1A x x =≥， 所以{}1,2,3A B =， 故选：C 4．C 【解析】
【分析】
先化简出结合,A B ，然后再求交集. 【详解】
由{}1,2,3,4,5A =，ln 1x > 则x e >，所以集合(),B e =+∞ 所以{}3,4,5A B = 故选：C 5．C 【解析】 【分析】
化简集合A ，根据B A ⊆求实数a 的可能取值，由此可得结果. 【详解】
因为集合{}
2
4A x N x =∈≤化简可得{0,1,2}A =
又{}1,B a =，B A ⊆， 所以0a =或2a =，
故实数a 的取值集合为{0,2}， 故选：C. 6．B 【解析】 【分析】
解不等式求得集合A 、B ，由此求得()U B A ⋂. 【详解】 11
222
x -<
=，由于2x y =在R 上递增，所以1x <-， 即{}|1A x x =<-，
{}|1U
A x x =≥-，
11x >⇒>，所以{}|1B x x =>，
所以(
){}|1U
B A x x =>.
故选：B 7．C
【解析】 【分析】
首先解一元二次不等式求出集合A ，再解绝对值不等式求出集合B ，阴影部分表示的集合为
()A B
A
B ⋃，根据交集、并集、补集的定义计算可得；
【详解】
解：由(2)0x x +<，解得20x -<<，所以}{|(2)0{|20}A x x x x x <-=<<+=， 又{|||1}{|11}B x x x x =-≤≤=≤，所以(2,1]A B =-，[1,0)A B =-， 所以阴影部分表示的集合为()(2,1)[0,1]A B
A B ⋃=--，
故选：C.
8．D 【解析】 【分析】
求出集合M 中的元素，再由子集的定义求解． 【详解】
由题意{|04}{1,2,3}M x Z x =∈<<=， 因此其真子集个数为3217-=． 故选：D ． 9．D 【解析】 【分析】
根据对数函数的性质，可知230x x ->，由此即可求出集合A ，进而求出A R
，再根据交集
运算即可求出结果. 【详解】
由题意可知，230x x ->，所以0x <或3x >， 所以{}
{}03A x x x x =<>，故
{}03A x x =≤≤R
，
所以()[]1,3R A B =. 故选：D. 10．C 【解析】 【分析】
根据题意先求得集合{0,1,2}A =，再求子集的个数即可. 【详解】
由{|13,N}A x x x =-<<∈，得集合{0,1,2}A = 所以集合A 的子集有32=8个， 故选： C 11．B 【解析】 【分析】
分别解出集合A 和B ，再根据集合补集和交集计算方法计算即可. 【详解】
(){}
{}(]ln 10|0111,2A x x x x =-≤=<-≤=，
{}
(][)2,22,B x
x ∞∞=≥=--⋃+，
()2,2B =-R
，
∴(
)R
A
B =(1,2).
故选：B. 12．C 【解析】
利用交集的运算求解. 【详解】
解：因为集合{1,5,},{2,}A a B b ==，且{2,5}A B ⋂=， 所以a =2,b =5, 所以a b +=7， 故选：C 13．B 【解析】 【分析】
根据集合的交运算和补运算求解即可. 【详解】
因为{}{}100,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10U n N n =∈≤=，{2,3,5}A ， 则
{0,1,4,6,7,8,9,10},{0,3,5,9}U
A B ==，
故(){0,9}U A B =．
故选：B .
14．C 【解析】 【分析】
根据已知集合，应用集合的补运算求U
A 即可.
【详解】
因为{}{}|14,|04U x x A x x =-<≤=≤≤， 所以
{|10.} U
A x x =-<<
故选：C 15．B 【解析】 【分析】
解一元二次不等式，得到集合A ,根据集合的交集运算，求得答案. 【详解】
解不等式220x x --≤得：12x -≤≤ ，
故{}
2Z
20{1,0,1,2}A x x x =∈--≤=-∣， 故{0,1,2}A B ⋂=， 故选：B
二、填空题
16．3323n n -⋅+
【解析】
分析出当一个子集只含有m 个元素时，另外一个子集可以包含()1m +，()2m +，
(),1n -个元素，所以共有()
(
)
12
1
C C C C C 2
2n m
m n m m n n m n m n m n ------⨯++
+=⨯-种选法；再进行
求和即可. 【详解】
因为∅､U 都要选出；故再选出两个不同的子集，即为M ，N ， 因为选出的任意两个子集A 和B ，必有A B ⊆或A B ⊇，
故各个子集所包含的元素个数必须依次增加，且元素个数多的子集包含元素个数少的子集，
当一个子集只含有1个元素时，另外一个子集可以包含2，3，4
()1n -个元素，所以共有(
)
(
)
1
112
21111C C C C C 2
2n n n n n n n -----⨯++
+=⨯-种选法； 当一个子集只含有2个元素时，另外一个子集可以包含3，4，
()1n -个元素，所以共有
(
)
(
)
2
212
32
222C C C C C 2
2n n n n n n n -----⨯++
+=⨯-种选法；
当一个子集只含有3个元素时，另外一个子集包含4，5，
()1n -个元素，所以共有
(
)
(
)
3
312
43
333C C C C C 2
2n n n n n n n -----⨯++
+=⨯-种选法；
……
当一个子集只含有m 个元素时，另外一个子集可以包含()1m +，()2m +，
(),1n -个元
素，所以共有(
)
(
)
12
1C C C C C 2
2n m
m n m m n n m n m n m n ------⨯++
+=⨯-种选法；
……
当一个子集有()2n -个元素时，另外一个子集包含()1n -个元素，所以共有(
)
2
2
C 22
n n -⨯-种选法；
当一个子集有()1n -个元素时，另外一个子集包含有n 个元素，即为U ，不合题意，舍去；
故共有(
)(
)
(
)
(
)
1
2
2
12
2
C 22C 2
2C 2
2C 22n n n m
m n n n n n ----⨯-+⨯-+
+⨯-+
+⨯-
(
)
1
12212
2
C 2
C 22C C C n n n n n n n n ---=⋅++⋅-++
+
()()
122212223323n
n n n n n n =+------=-⋅+. 故答案为：3323n n -⋅+ 【点睛】
对于集合与排列组合相结合的题目，要能通过分析，求出通项公式，再结合排列或组合的常用公式进行化简求解. 17．1或3-##3-或1 【解析】 【分析】
由题意可得223m m +=，求出m ，
因为{}{}2
3,12,1A B m m ==+，，且A B =，
所以223m m +=，
由223m m +=，得2230m m +-=，解得1m =或3- 故答案为：1或3-
18．(){}0,0
【解析】 【分析】
根据题意，得到两集合均为点集，联立2
0y x y ⎧=⎨=⎩
求解，即可得出结果.
【详解】
因为集合()
{}2,M x y y x ==∣表示直线2y x 上所有点的坐标，
集合(){},0N x y y ==，表示直线0y =上所有点的坐标，
联立20y x y ⎧=⎨=⎩
，解得0
0x y =⎧⎨=⎩
则(){}0,0M
N =.
故答案为：(){}0,0.
19．26
【解析】 【分析】
由题知{}4,10T =，再结合韦达定理求解即可. 【详解】
解：因为240p q ->，
所以方程()
22
040x px q p q ++=->的解集有两个不相等的实数根，
因为1379147{{1}}0A B ==，
，，，，，，且T A T B T ⋂=∅⋂=，， 所以{}4,10T =
所以由韦达定理得14p =-，40q = 所以26p q += 故答案为：26
20．2a ≤
【解析】 【分析】
根据题意39x >解得：2x >，得出()()2,,a +∞⊆+∞，由此可得出实数a 的取值范围. 【详解】
根据题意39x >解得：2x >，
由于“x a >”是“39x >”的必要条件，则()()2,,a +∞⊆+∞，2a ∴≤. 因此，实数a 的取值范围是：2a ≤. 故答案为：2a ≤.
21．1472
【解析】 【分析】
由题意设4194n b n =-+，6206m c m =-+，根据n m b c =可得326m n -=，从而
312194n n a b n ==-+，即可得出答案.
【详解】
设4194n b n =-+，由41940n b n =-+>，得48n ≤ 6206m c m =-+，由62060m c m =-+>，得34m ≤
A B 中的元素满足n m b c =，即41946206n m -+=-+，可得326m n -=
所以2
23
m n =
+，由,*m n N ∈,所以3,*n k k N =∈ 所以312194n n a b n ==-+，
要使得数列{}n a 的前n 项和的最大值，即求出数列{}n a 中所以满足0n a ≥的项的和即可. 即121940n a n =-+≥，得16n ≤，则116182,2a a == 所以数列{}n a 的前n 项和的最大值为12161822
1614722
a a a ++++=
⨯= 故答案为：1472
22．5m ≥
【解析】 【分析】
由交集和空集的定义解之即可. 【详解】
(),5P =-∞，[),Q m =+∞ 由P Q =∅可知，5m ≥ 故答案为：5m ≥
23．16
【解析】 【分析】
根据“长度”定义确定集合,A B 的“长度”，由A B “长度”最小时，两集合位于集合[]0,1左右两端即可确定结果. 【详解】
由题可知，A 的长度为23
，B 的长度为1
2， ,A B 都是集合{|01}x x ≤≤的子集， 当A B 的长度的最小值时，m 与n 应分别在区间[]0,1的左右两端，
即0,1m n ==，则|0,213|12A x x B x x ⎧
⎫⎧⎫=≤≤
=≤≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
， 故此时1
223A B x x ⎧⎫⋂=≤≤
⎨⎬⎩⎭的长度的最小值是：211326
-=. 故答案为：1
6
24．4a >
【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性求出集合A ，再根据A B ⊆列出不等式，即可的解. 【详解】
解：{}
(]216,4x
A x ∞=≤=-，
因为A B ⊆， 所以4a >. 故答案为：4a >. 25．15 【解析】 【分析】
结合真子集公式可直接求解. 【详解】 因为{}1,2,3,4M
，故集合M 有42115-=个.
故答案为：15
三、解答题
26．(1)(
,2-∞-
(2)①2a ≥；②)
2
1N a
=
【解析】 【分析】
（1）当1a =时，求得()sin 22
sin cos 1
x f x x x +=
+-，令[)sin cos 1,1t x x =+∈-，令
[)12,0m t =-∈-，()()2
2h m f x m m
==+
+，利用双勾函数的单调性可得出函数()h m 在[)2,0-上的值域，即可得解；
（2）①分析可知210a a --≤
≤，可得出2a ≥，分1a =、1a ≠两种情况讨论，化简函数()221
at a
p t at +-=-的函数解析式或求出函数()f x 的最小值，综合可得出正实
数a 的取值范围；
②令[]11,1n at a a =-∈---，则1
n t a +=，可得出()()21122a a p t n n a n ϕ⎡⎤+-=+
+=⎢⎥⎣⎦
，分
析可得出101a a --<<-<法可求得N . (1)
解：当1a =时，()sin 22
sin cos 1
x f x x x +=
+-，
因为,02x π⎡⎫
∈-⎪⎢⎣⎭，则,444x πππ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭
，令[)sin cos 1,14t x x x π⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝
⎭，
则212sin cos 1sin 2t x x x =+=+，可得2sin 21x t =-， 设()()21
1
t g t f x t +==-，其中11t -≤<，
令1m t =-，则()2
2
111221m t m t m m
+++==++-， 令()2
2h m m m
=+
+，其中20m -≤<，下面证明函数()h m
在2,⎡-⎣
上单调递增，在()
上单调递减，
任取1m 、[)22,0m ∈-且12m m <，则()()12121222
22h m h m m m m m ⎛⎫⎛⎫-=++-+
+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()()()()
121212121212
22m m m m m m m m m m m m ---=--
=，
当122m m -≤<<122m m >，此时()()12h m h m <，
当120m m <<，则1202m m <<，此时()()12h m h m >， 所以，函数()h m
在2,⎡-⎣
上单调递增，在()上单调递减，
则(
)(
max 2h m h ==-
因此，函数()f x 在,02π⎡⎫
-⎪⎢⎣⎭
上的值域为(
,2-∞-. (2)
解：因为,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，则,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦
，令[]sin cos 1,14t x x x π⎛
⎫=+=+∈- ⎪⎝
⎭，
设()()22
2211
a a t at a a f x p t at at -⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭===
--， ①若(){}
0y y f x ∈=，必有210a
a
--≤≤，因为0a >，则2a ≥，
当
1a =
时，即当1a =(
)110p t t t a =+==
，可得1t =，合乎题
意；
当
1a ≠2a ≥
且1a ≠()min 0p t =，合乎题意. 综上所述，2a ≥；
②令[]11,1n at a a =-∈---，则1
n t a
+=
， 则()()22121122n a a a a a a p t n n n a n ϕ⎡⎤+-⎛⎫+
⎢⎥ ⎪⎝⎭⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦==++=⎢⎥⎣⎦， 令()()20q
s x x q x
=++>，下面证明函数()s x
在(
上单调递减，在)
+∞上为增函
数，
任取1x
、(2x ∈且12x x <，则120x x -<，120x x q <<， 所以，
()()()()()()121212121212121212
220q x x x x x x q q q
s x s x x x x x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫-=++-++=--=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
所以，()()12s x s x >，故函数()s x
在(上单调递减， 同理可证函数()s x
在)+∞
上为增函数，在(,-∞
上为增函数，在()
上为减
函数，
因为12a <<，则()()2
212121,2a a a +-=--+∈，
且()()2
2121220a a a a a +---=->
10a >->， 又()2
2212120a a a a +----=-<
，1a ∴--<，
101a a ∴--<<-
由双勾函数的单调性可知，函数()n ϕ
在1,a ⎡--⎣上为增函数，
在()
上为减函数，在(]0,1a -上为减函数，
当[)1,0x a ∈--时，(
)(
(max 1
20n a
ϕϕ==
-<， ()2101
a a ϕ-=>-，(
)(
(22
111a a a ϕϕ⎡⎤---=+⎢⎥⎣⎦- (
(
))(
)
)()
21
1
42214210111a a a a a a a a a a +------=≥=
>---，
由双勾函数性质可得(
)(
)
min 21f x a ϕ=-=
，
综上所述(
))
min 2
1f x N a
==.
【点睛】
关键点点睛：在求解本题第二问第2小问中，要通过不断地换元，将问题转化为双勾函数
的最值，结合比较法可得出结果.
27．(1)A ∪B ＝{x |x ＞0}，A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}； (2){a |1＜a ≤2}, 【解析】 【分析】
（1）化简集合A ，B ，利用并集及交集的概念运算即得； （2）分a ＞1，0＜a ＜1讨论，利用条件列出不等式即得. (1)
∵A ＝{x |2x ＞4}＝{x |x ＞2}，B ＝{x ||x －a |＜2}＝{x |a －2＜x ＜a +2}， ∴当a ＝2时，B ＝{x |0＜x ＜4}，
所以A ∪B ＝{x | x ＞0}，A ∩B ＝{x |2＜x ＜4}； (2)
当a ＞1时，C ＝{x |log ax ＜0}＝{x |0＜x ＜1}，
因为C ⊆B ，所以20
21a a -≤⎧⎨+≥⎩，解得－1≤ a ≤2，
因为a ＞1，此时1＜a ≤2，
当0＜a ＜1时，C ＝{x |log ax ＜0}＝{x |x ＞1}，此时不满足C ⊆B ， 综上，a 的取值范围为{a |1＜a ≤2}． 28．(1)∅，{1}，{2}，{1，2}； (2)
U
B {|0x x =<或3}x >，{|13}B
C x x ⋃=-≤≤.
【解析】 【分析】
（1）直接写出集合A 的所有子集即可； （2）直接写出U
B ，求得
C ，再求B C ⋃即可.
(1)
因为{}1,2A =，故A 的所有子集为∅，{}{}{}1,2,1,2. (2)
因为{}|12C x x =-≤≤，U
B ={|0,x x <或3}x >，
{|13}B C x x ⋃=-≤≤.
29．B ＝{0，7，3，1}． 【解析】 【分析】
解方程2427a a ++=即得解. 【详解】
解：由题得2427a a ++=， 解得1a =或5a =-. 因为0a >，所以1a =. 当1a =时， B ＝{0，7，3，1}. 故集合B ＝{0，7，3，1}．
30．(1){}|25=-≤≤A B x x ；(){}|20R A B x x =-≤< (2)1|4,12m m m ⎧
⎫<--≤≤-⎨⎬⎩
⎭或
【解析】 【分析】
（1）利用集合的运算求解即可.
（2）通过A B ＝A 得出A B ⊆，计算时注意讨论A 为空集的情况. (1) 选条件①：
（1）当1m =时，{}|05A x x =≤≤，{}2B x x =|-2≤≤
{}|25A B x x ∴=-≤≤
{}|0,5R
A x x x =<>或
(){}|20R A B x x ∴⋂=-≤<
选条件②：此时集合{}2B x x =|-2≤≤与①相同，其余答案与①一致； (2)
若A B A =，则A B ⊆
当A =∅时，123m m ->+，解得4m <-
当A ≠∅时，21
123232m m m m -≤-⎧⎪
-≤+⎨⎪+≤⎩，即1412m m m ⎧
⎪≥-⎪≥-⎨⎪⎪≤-
⎩
，解得112m -≤≤-
综上，实数m 的取值范围为1|412m m m ⎧
⎫<--≤≤-⎨⎬⎩
⎭或。