结构动力学_克拉夫(第二版)课后习题

例题E2-1 如图E2-1所示，一个单层建筑理想化为刚性大梁支承在无重的柱子上。

为了计算此结构的动力特性，对这个体系进行了自由振动试验。

试验中用液压千斤顶在体系的顶部（也即刚性大梁处）使其产生侧向位移，然后突然释放使结构产生振动。

在千斤顶工作时观察到，为了使大梁产生0.20in[0.508cm]位移需要施加20 kips[9 072 kgf]。

在产生初位移后突然释放，第一个往复摆动的最大位移仅为0.16 in[0. 406 cm]，而位移循环的周期为1.4 s。

从这些数据可以确定以下一些动力特性：（1）大梁的有效重量；（2）无阻尼振动频率；（3）阻尼特性；（4）六周后的振幅。

2- 1图E2-1所示建筑物的重量W为200 kips，从位移为1.2 in（t=0时）处突然释放，使其产生自由振动。

如果t=0. 64 s时往复摆动的最大位移为0.86 in，试求
(a)侧移刚度k；(b)阻尼比ξ；(c)阻尼系数c。

2-2 假设图2- la 所示结构的质量和刚度为：m= kips ·s 2/in ，k=40 kips/in 。

如果体系在初始条件
in 7.0)0(=υ、in/s 6.5)0(=υ&时产生自由振动，试求t=1.0s 时的位移及速度。

假设：(a) c=0（无阻
尼体系）； (b) c=2.8 kips ·s/in 。

2-3 假设图2- 1a 所示结构的质量和刚度为：m=5 kips ·s 2/in ，k= 20 kips/in ，且不考虑阻尼。

如果初始条件in 8.1)0(=υ，而t=1.2 s 时的位移仍然为1.8 in ，试求：(a) t=2.4 s 时的位移； (b)自由振动的振幅ρ。

例题E3-1 一种便携式谐振荷载激振器，为在现场测量结构的动力特性提供了一种有效的手段。

用此激振器对结构施以两种不同频率的荷载，并分别测出每种情况下结构反应的幅值与相位。

由此可以确定单自由度体系的质量、刚度和阻尼比。

在一个单层建筑上做这种测试，激振器工作频率分别为s rad /161=ϖ和s rad /251=ϖ，每种情况下力的幅值均为500 lbf[226.8 kgf]。

测出两种情况下的反应幅值和相位为
ρ1=7.2x10-3 in[18.3x10-3 cm]，o 151=θ，966.0cos 1=θ，259.0sin 1=θ ρ2=14.5x10-3in[36.8x10-3cm]，o 552=θ，574.0cos 2=θ，819.0sin 2=θ
例题E3-2 混凝土桥梁有时将由于蠕变而产生挠度，如果桥面由一系列等跨度的梁组成，当车辆在桥上匀速行驶时，这些挠度将产生谐波干扰。

当然，车辆弹簧和冲击减震器的设计意图就是作为一个隔振体系，用以限制来自路面传给乘客的竖向运动。

图E3-1展示了这种体系的高度理想化的模型，图中车辆重量是4000 lbf[1814 kgf]，弹簧刚度由试验确定。

试验结果为加100 lbf[45. 36 kgf]将产生0. 08 in[0.203 cm]的挠度。

用一个波长为40 ft[12. 2 m]（梁的跨度）、（单）幅值为1.2 in[3. 05 cm]的正弦曲线代表桥的剖面，当车辆以45 mi/h[72.4 km/h]的速度行驶并假定阻尼为临界阻尼的40%时，要求利用这些数据预测一下车辆的稳态竖向运动。

例题E3-3 一个往复式机器重20000 lbf[9072 kgf]，已知当机器的运转速度为40 Hz 时，产生幅值为500 lbf[226.5 kgf]的竖向谐振力。

为了限制这个机器对所在建筑物的振动，在它矩形底面的四角各用一个弹簧支承。

设计者想要知道，为了使机器传给建筑物的全部谐振力限制80 lbf[36.3 kgf]，所需采用的弹簧刚度应该为多少。

例题E3-4 单自由度体系频率-反应试验所得的数据已画在图E3-2中。

计算阻尼比所需的数据也示于图中。

曲线绘出后，分析的步骤如下：
3-1 假定图2- 1a 所示的基本结构无阻尼，并在频率比8.0=β下承受谐振干扰，试绘出既包含稳态又包括瞬态效应的反应比R(t)的曲线。

计算反应时采用增量o 80t =∆ϖ，连续分析10个增量。

3-2 假定图2-1a 所示的基本体系具有如下特性：m=2 kips ·s 2/in 和k= 20 kips/in ，如果体系承受从静止条件开始的共振简谐荷载()ωϖ=，试确定四周后()πϖ8=t 反应比R(t)的值。

假设： (a) c= 0[用式(3- 38)]；(b) c=0.5 kips. s/in[用式(3-37)]；(c) c=2.0 kips. s/in[用式(3-37)]。

3-3 除假定梁跨度减小到L=36 ft外，车辆和桥梁结构都和例题E3-2一样。

试确定：
(a)车辆的速度为多少时将在车辆弹簀体系内产生共振；
υ；
(b)在共振时竖向运动的总振幅t
max
υ。

(c)在速度为45 mi/h时，竖向运动的总振幅t
max
3-4 一个安装有精密仪器的支架放置在试验室的地板上，而地板以20 Hz的频率作竖向振动，振幅为0.03 in。

如果支架的重量为800 lbf，试确定为使支架的竖向运动振幅减小到0.005 in所需隔振系统的刚度。

3-5 一个重6500 lbf 的筛分机，当满载运行时将在其支承上产生12 Hz 700 lbf的谐振力。

当把机器安装在弹簧式隔振器上后，作用于支承上的谐振力幅值减小到50 lbf。

试确定隔振装置的弹簧刚度k。

3-6 图P3- la 所示的结构可理想化为图P3-1b 所示的等效体系。

为了确定这个数学模型的c 和k 值，按图P3- 1c 对混凝土柱子进行了谐振荷载试验，当试验频率为s rad /10=ϖ时，得到如图P3- ld 所示的力-变位（滞变）曲线，根据这些数据： (a)确定刚度k ；
(b)假定为粘滞阻尼机理，试确定名义粘滞阻尼比ξ和阻尼系数c ； (c)假定为滞变阻尼机理，试确定名义滞变阻尼系数ζ。

3-7 用频率s rad /20=ϖ重做习题3-6中的试验，
并假设所得到的力-变位曲线（图P3- ld ）不变，在这种情况下：
(a)试确定名义粘滞阻尼值ξ和c ； (b)试确定名义滞变阻尼系数ζ；
(c)根据这两次试验（s rad /10=ϖ和s rad /20=ϖ），试问用哪种阻尼机理显得更合理——粘滞阻尼还是滞变阻尼？
3-8 如果习题3-6中体系的阻尼确实用图P3-1b 所示的粘滞阻尼器来提供，试求用：
s rad /20=ϖ进行试验时所得E D 的值为多少？
例题E4-1作为一个受周期性荷载作用结构反应的分析例子，研究图E4-1所示的体系和荷载。

此时荷载由简单正值的正弦半波函数组成。

4-1 图P4-1所示周期荷载的表达式如下所示，试用式(4 - 3)的方法确定系数a n 和b n ，将周期荷载表示成式(4- 1)形式的Fourier 级数。

4-2 对如图P4-2所示周期荷载，重做习题4-1。

4-3 假定结构有10%的临界阻尼，试求解例题E4-1的问题。

4-4 类似于图3-6那样，按规定比例建立一个表示作用力、稳态惯性力、阻尼力和弹性恢复力矢量的Argand 图。

假定结构具有15%的临界阻尼，承受谐振荷载()()t i p p t ϖexp 0=作用，其中()ωϖ5/6=（也即5/6=ω），在4/πϖ=t 时绘制图形。

4-5 周期荷载如图P4-3所示，可用如下级数表示
()∑∞
==1n sin t b p n n t ϖ 其中：()n n n p 12b 0
−−
=π
对此荷载的一个完整周期，仅考虑级数的前四项，计算时的时间增量取为o 30=∆t ϖ，绘制图E4-la 所示结构稳态反应。

例题E5-1 作为一个利用上述反应谱（或震动谱）计算在冲击荷载下单自由度结构最大反应的例子，讨论图E5-1所示承受三角形冲击波荷载的单层建筑物体系的最大弹性力。

例题E5- 2 作为应用这个近似公式的一个例子，讨论图E5-2的结构在所示冲击荷载下的反应。

5-1 考察图2-1a中具有如下特性的基本动力体系：W= 600 lbf（m= W/g）而k=1000 lbf/in。

假定体系承受幅值为p0 = 500 lbf，持续时间为t1=0.15 s的半正弦冲击波（图5-2）。

试确定：
(a)最大反应出现的时间；
(b)由这个荷载引起的最大弹簧力；利用图5-6获得的结果来校核这个结果。

5-2 从零线性增大到峰值的三角形脉冲可用p (t)= p 0 (t/t 1)表示(0<t<t)，
(a)试推导在此荷载作用下从“静止”条件开始的单自由度结构反应的表达式； (b)如果ωπ/31=t ，试确定由此荷载引起的最大反应比k
p R /0max
max υ=。

5-3 一个四分之一余弦波脉冲用下式表示()t p p t ϖcos 0= ϖ
π20<<t (a)试推导从静止开始由此脉冲荷载引起的反应表达式； (b)如果ωϖ=，试确定最大反应比k
p R /0max
max υ=
5-4 图2-la 所示基本的单自由度体系，其特性为k= 20 kips/in ，m=4 kips ·s 2/in ，承受图5-5所示的三角形脉冲，其中p 0=15 kips ，t 1=0. 15T 。

(a)利用图5-6的震动反应谱，试确定最大弹性力max s f ；
(b)利用式(5- 21)，近似地计算最大位移和弹簧力，并与(a)所得结果比较。

5-5 图P5- la 所示的水塔可当作单自由度结构来处理，它具有如下特性：m=4 kips ·s 2/in ，k= 40 kips/in 。

由于爆炸的结果，水塔承受的动力荷载时程如图P5- 1b 所示。

利用式(5- 21)近似计算水塔基底的最大倾覆力矩M 0，并借助Simpson 法则计算冲量积分
()∫++++∆=432104243
dt p p p p p t
p
例题E6-1 现在来计算一个承受冲击波荷载的水塔的动力反应，以便说明根据式(6-14)求无阻尼
时域反应的数值方法。

图E6-1给出了结构和冲击波荷载的理想化模型。

在数值积分中所用的时间增量为s 005.0=∆τ
例题E6-2为了说明在Duhamel积分数值计算中可以包括阻尼，重新分析图E6-1所示阻尼比为5%(ξ=0.05)的体系的反应。

对于这个小阻尼体系来说，其阻尼频率可以认为等于无阻尼频率。

6-1 图P6-la 所示的无阻尼单自由度体系承受图P6- 1b 所示的半正弦波的荷载。

取s 1.0=∆τ，试用Duhamel 积分的数值计算法计算0<t<0.6s 的弹性力时程： (a)用简单求和；(b)用梯形法则；(c)用Simpson 法则。

并把计算结果与用式(5- 1)计算时间增量同为0.1 s 的结果相比较。

0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
0 1 2 3 4 5 6
6-4 图P6-2a 所示的单自由度刚架，承受图P6 -2b 所示的冲击波荷载时程。

取s 12.0=∆τ，用Simpson 法则按Duhamel 积分的数值计算法计算0<t<0.72 s 的位移时程。

例题E7-2 为了说明应用上述线加速度逐步法的手算技术，计算图E7-3所示弹塑性单自由度刚架在所给加载历程下的反应。

在分析中，时间步长取为0.1 s，它比要得到精度较高的结果所需的步长大了一些，但为了说明手算方法，这个步长已经足够了。

7-1 试用线加速度法，通过逐步积分求解习题6-4中的线弹性反应。

7-2 假定柱子的弹塑性力-位移关系如图P7-1a所示，屈服力为8kips，试解习题7-1。

7-3 假定非线性弹性力-位移关系为，这一关系的简图如图P7-1b（f s单位为kips，v单位为in），试解习题P7-1。