【初中数学竞赛】 专题04 函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练(全国竞赛专用)解析版

【初中数学竞赛】
专题04函数与不等式竞赛综合-30题真题专项训练
（全国竞赛专用）
一、单选题
1．（2021·全国·九年级竞赛）若函数22(1)32y k x x k k =++++-的图象与y 轴交点的纵坐标为4-，则k 的值是（）
A ．1-
B ．2
-C ．1-或2
D ．1-或2
-【答案】B
【详解】解因0x =时，4y =-代入函数关系得2432k k -=+-，即(1)(2)0k k ++=，所以1k =-或2k =-．故应选D ．
注：本题中的函数可以是一次函数，也可以是二次函数．不能一开始就默认它是二次函数，约定10k +≠，从而错误地选择了B ．
2．（2021·全国·九年级竞赛）设a ，b ，c 是ABC 三边的长，二次函数2()22
b b y a x cx a =----在1x =取最
小值8
3
b -，则ABC 是（
）
A ．等腰三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．直角三角形
3．（2021·全国·九年级竞赛）如图，两个反比例函数1k y x
=
和2y x =在第一象限内的图象分别是1l 和2l ，设
点P 在1l 上，PC x ⊥轴于点C ，交2l 于点,A PD y ⊥轴于点D ，交2l 于点B ，则四边形PAOB 的面积为（
）．
A ．12k k +
B ．12k k -
C ．12k k
D ．21
k k -【答案】B
【详解】OAC OBD POOD PAOB S S S S =-- 长方形四边形．
设(,),(,),(,)P a b A c d B e f ，则122,,ab k cd k ef k ===，所以
12212111111
222222
PAOB S PC PD AC OC BD OD ab cd ef k k k k k =⨯-⨯⨯-⨯⨯=--=--=-四边形．
故选：B ．
4．（2021·全国·九年级竞赛）若a b ¹2ab a b --）．A a b B ．a b -C a b
--D ．0
【答案】C
【详解】依题意0,0a b ≤≤，所以22()ab a b a b a b --=-+-=-+-．故选：C ．
5．（2021·全国·九年级竞赛）有两个四位数，它们的差是534，它们平方数的末四位数相同．则较大的四位数有（）种可能．
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】C
【详解】理由：设较大的四位数为x ，较小的四位数为y ，则534x y -=，
①
且22x y -能被10000整除．
而22()()x y x y x y -=+-2672()x y =⨯+，则x y +能被5000整除．令()5000x y k k ++=∈N ．
②
6．（2021·全国·九年级竞赛）设,n k 为正整数，123A A ===
4,k A A == ，已知1002005A
=，则n 的值为（）．
A ．1806
B ．2005
C ．3612
D ．4100
7．（2021·全国·九年级竞赛）设Rt ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2y x =上，并且斜边AB 平行于x 轴，若斜边上的高为h ，则（）
A ．1h <
B ．1
h =C ．12
h <<D ．2
h >【答案】B
【详解】解设A 的坐标为()2
,a a ，点C 的坐标为()2
,(|||| )c c c a <，则B 点的坐标为()2
,a a -．由勾股定理
可得()
2
2222()AC a c a c =-+-，
()2
2222
()BC c a a c =++-，
则22222(2)4AC BC AB a a +===，
于是
()()2
22222224a c a c a ++-=，即()
2
22
22a c a c -=-．
由于22a c >，所以221a c -=，即斜边上的高h =（A 的纵坐标）-（C 的纵坐标）221a c =-=．注：（1）如图仅画出了0c a <<的情形，在其他情形下，计算是完全相同的．
（2）设()()1122,,,A x y B x y ，利用勾股定理可得计算A 与B 的距离的公式为()()2
2
22121AB x x y y =-+-．
8．（2021·全国·九年级竞赛）若正数a ，b ，c 满足不等式11
263
52
35
1124c a b c a b c a b a c ⎧<+<⎪⎪
⎪<+<⎨⎪⎪<+<⎪⎩
则a ，b ，c 的大小关系是（
）
A ．a b c <<
B ．b<c<a
C ．c<a<b
D ．不确定
9．（2021·全国·九年级竞赛）设4,,1r a b c r r ≥=-==+是（
）．
A ．a b c >>
B ．b c a
>>C ．c a b
>>D ．c b a
>>【答案】D
10．（2021·全国·九年级竞赛）+，且0x y <<
，则满足此等式的不同整数对(,)x y 有（）
对．A ．1B ．2
C ．3
D ．4
二、填空题
11．（2021·全国·九年级竞赛）已知01a ≤≤，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦ （[]x 表示不超
过x 的最大整数），则[]10a 的值等于_______．
12．（2021·全国·九年级竞赛）设正ABC 的边长为2，M 是AB 边上的中点，P 是BC 边上任意一点，PA PM
十
的最大值和最小值分别记为s 和t ，则22s t -=_______．
13．（2021·全国·九年级竞赛）已知a ，b 是正数，并且二次函数22y x ax b =++和22y x bx a =++的图象都与x 轴相交，则22a b +的最小值是________．【答案】20
【详解】解因两条抛物线都与x 轴相交，故其判别式218a b =- 及2
2(2)4b a =- 都不小于零，即
22222
280,
8,8440a b a b a b a b b a b a ⎧⎧-≥≥⎪⇒⇒+≥+⎨⎨-≥≥⎪⎩⎩
．因,a b 都是正数，所以
423(8)64644a b a a a ≥≥⇒≥⇒≥，及242b a b ≥≥⇒≥，
所以22224220a b +≥+=，即22a b +的最小值为20．故应填20．
注：本题中求最值的方法叫做放缩法，即根据题目条件，将各变量的值适当放缩为一个常数，从而求出其最值．
14．（2021·全国·九年级竞赛）代数式
110x 的最小值是_______．
15．（2021·全国·九年级竞赛）当x 变化时，分式22365
11
2
x x x x ++++的最小值是_______．
16．（2021·全国·九年级竞赛）如图所示，点A C 、都在函数0)y x =
>的图象上，点B D 、
都在x 轴上，且使得OAB ,BCD △都是等边三角形，则点D 的坐标是_______．
三、解答题
17．（2021·全国·九年级竞赛）已知实数a ，b ，c 满足0,10a b c ac ++==，证明111
0a b c
++<．
18．（2021·全国·九年级竞赛）设正数a ，b ，c ，x ，y ，x 满足a x b y c z k +=+=+=，证明；2ay bz cx k ++<．【答案】见解析
【详解】因3()()()()()()
k a x b y c z abc xyz ay c z bz a x cx b y =+++=+++++++()()abc xyz k ay bz cx k ay bx cx =++++>++．
又0k >，所以2ay bz cx k ++<．
19．（2021·全国·九年级竞赛）已知01,01,01a b c <<<<<<，证明：()()()1,1,1a b b c c a ---中至少有一
个不大于
14
．
20．
（2021·全国·九年级竞赛）证明：对任意实数x 及任意正整数n 有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡
⎤++
+++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ．
21．（2021·全国·九年级竞赛）在40与100之间任取一个实数x
，如果7=，那么10=的概率是
多少?这是[]a 表示不超过a 的最大整数（要求答案写成最简分数的形式）．
22．（2021·全国·九年级竞赛）求2221026249T x y z xy yz z =++---+的最小值．
【答案】5
【详解】解()()()
22222
692445T x xy y y yz z z z =-++-++-++222(3)()(2)55x y y z z =-+-+-+≥．
当6,2x y z ===时，T 取最小值5．
注：例2~3中求最值的方法是常用的配方法．
23．（2021·全国·九年级竞赛）求0x >时，228
x x y x
-+=的最小值．
24．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了描点作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，取了自变量7个值：127x x x <<⋯<且213276x x x x x x -=-=⋯=-，分别计算了y 的值列出下表：x
1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 6
x 7
x y
51
107
185
285
407
549
717
但由于粗心算错了其中一个y 值，请指出算错的是哪一个值?正确值是多少?并说明理由．【答案】549是被算错y 的值，应该是551，理由见解析
【详解】解设213276,i x x x x x x d x -=-==-= 对应的函数值为(1,2,,7)i y i = ，则
()()
22111i i i i i i i y y ax bx c ax bx c +++∆=-=++-++()()2
2i i i i a x d x b x d x ⎡⎤=+-++-⎡⎤⎣⎦⎣⎦
22()i adx ad bd =++，
故()()
2
21122i i i i adx ad bd adx ad bd ++⎡⎤⎡⎤∆-∆=++-++⎣⎦⎣⎦
可见5142∆=被算错，故6549y =是被算错y 的值，应该是()5492220551+-=．
26．（2021·全国·九年级竞赛）求证：对任意的实数x ，y ，[2][2][][][]x y x x y y ++++ ．
27．（2021·全国·九年级竞赛）整数012010,,,x x x 满足条件：00x =，10|||1|x x =+，21|||1|x x =+，…，201020091x x =+，求122010x x x +++ 的最小值．
28．（2021·全国·九年级竞赛）函数22(21)y x k x k =+-+的图象与x 轴的两个交点是否都在直线1x =的右侧，若是，请说明理由；若不一定，请求出两个交点在直线1x =的右侧时，k 的取值范围．
【答案】不一定，2
k <-【详解】解不一定，例如，当0k =时，函数化为2y x x =-，它的图象与x 轴的交点为(0, 0)和(1,0)，不都
29．（2021·全国·九年级竞赛）已知x ，y ，z 为实数，且满足2023
x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩，求222x y z ++的最小值．【答案】14
【详解】解由20,20x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩可得4,1,
x z y z =-⎧⎨=+⎩于是22222222(4)(1)36173(1)1414x y z z z z z z z ++=-+++=-+=-+≥．
当3,2,1x y z ===时，222x y z ++取最小值14．
30．
（2021·全国·九年级竞赛）如图，在直角梯形OABC 中，//OA BC ，A ，B 两点的坐标分别是(13,0)A ，(11,12)B ，动点P ，Q 分别从O ，B 两点同时出发，点P 以每秒3个单位长的速度沿OA 方向运动，点Q 以每秒1个单位长的速度沿线段BC 运动，线段OB 与PQ 的交点为D ，过D 作//DE OA 交AB 于E ，射线QE 交x 轴于点F ，设P ，Q 运动的时间为t 秒．
（1）当t 为何值时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请写出推理过程．
（2）设以P A E Q 、、、为顶点的图形面积为y ，求y 关于运动时间t 的函数关系式，并求出y 的最大值．（3）当t 为何值时，PQF △为等腰三角形？请写出推理过程．【答案】（1）134t =
或132t =，推理见解析；（2）当1303t <≤时，27782y t =-；当13113t <≤时，117182y t =-，y 的最大值为2792；（3）当98t =或4或32或34
时，PQF △是等腰三角形，推理见解析【详解】解（1）设(011),3QB t t OP t =≤≤=，则1313303PA t t ⎛⎫=-<≤ ⎪⎝⎭或1331311 ) 3
t t ⎛-<≤ ⎝．因//OA BC ，故当且仅当PA QB =时，以P A B Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形，所以133t t -=或313t t -=，
解得134t =，或132
t =．（2）过点Q 作QG x ⊥轴于G ，过点E 作EH x ⊥轴于H ，则12QG =．
①当1303
t <≤时，QPF EAF y S S =- ．又因为//,//BC OA DE OA ，所以133QB QE QD QB t AF EF DP OP t =====，故3,334EH FE FE AF QB t QG FQ FE EQ =====+．而33129,13331344
EH QG PF OA AF OP t t ==⨯==+-=+-=，所以
1111271312397822222
y PF QG AF EH t t =⋅-⋅=⋅⋅-⋅⋅=-．②当
13113t <≤时，QAF EPF y S S =- ，同①类似地易得3,13,9AF t PF EH ===，所以11111173121391822222
y AF QG PF EH t t =⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=-．由①，②知11t =时，117279181122y =⨯-
=为其最大值．（3）①若QP QF =，则GP GF =．而()(11)3114GP OG OP BC BQ OP t t t =-=--=--=-，()()(313)(11)42GF OF OG OP PF BC BQ t t t =-=+--=+--=+，所以11442t t -=+，即98t =．②若PQ FP =，而(3,0),(11,12)P t Q t -，。