2024中考数学全国真题分类卷 第十六讲 锐角三角函数及其实际应用(含答案)

2024中考数学全国真题分类卷第十六讲锐角三角函数及其实际应用命题点1特殊角的三角函数值
1.(2023天津)tan 45°的值等于()
A.2
B.1
C.22
D.3
3命题点2直角三角形的边角关系
2.(2023陕西)如图，AD 是△ABC 的高．若BD ＝2CD ＝6，tan C ＝2，则边AB 的长为()
第2题图
A.32
B.35
C.37
D.62
3.(2022玉林)如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有(
)
第3题图
A.h 1＝h 2
B.h 1<h 2
C.h 1>h 2
D.以上都有可能
4.(2023乐山)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，点D 是AC 上一点，连接B D.若tan A ＝
12，tan ∠ABD ＝13，则CD 的长为()
A.25
B.3
C.5
D.2
第4题图
5.(2023连云港)如图，在6×6正方形网格中，△ABC 的顶点A ，B ，C 都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sin A ＝______．
第5题图
6.(2022上海)如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝4
5，BF为AD 边上的中线．
(1)求AC的长；
(2)求tan∠FBD的值．
第6题图
命题点3锐角三角函数的实际应用
类型一解一个直角三角形
7.(2023福建)如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC ＝27°，BC＝44cm，则高AD约为(参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51)() A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm
第7题图
8.(2023金华)一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为()
第8题图
A.(4＋3sinα)m
B.(4＋3tanα)m
C.(4＋3
sinα)m D.(4＋3
tanα
)m
9.(2023柳州)如图，某水库堤坝横断面迎水坡的坡角为α，sinα＝3
5，堤坝高BC＝30m，则迎水坡面AB的长度为________m.
第9题图
10.(2023宁波)每年的11月9日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防灾减灾意识．某消防大队进行了消防演习．如图①，架在消防车上的云梯AB可伸缩(最长可伸至20m)，且可绕点B转动，其底部B离地面的距离BC为2m，当云梯顶端A在建筑物EF所在直线上时，底部B到EF的距离BD为9m.
(1)若∠ABD＝53°，求此时云梯AB的长；
(2)如图②，若在建筑物底部E的正上方19m处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否伸到险情处？请说明理由．(参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3)
第10题图
类型二背靠背型
11.(2023安徽)如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．
参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75.
第11题图
12.(2023宿迁)如图，某学习小组在教学楼AB的顶部观测信号塔CD底部的俯角为30°，信号塔顶部的仰角为45°.已知教学楼AB的高度为20m，求信号塔的高度(计算结果保留根号).
第12题图
13.(2022遂宁)小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在A处看到B，C 处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在A处测得B在北偏西45°方向，C在北偏东30°方向，
他从A处走了20米到达B处，又在B处测得C在北偏东60°方向．
(1)求∠C的度数；
(2)求两棵银杏树B，C之间的距离(结果保留根号).
第13题图
类型三母子型
考向1同一个观测点观测两个位置点
14.(2023天津)如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°.已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高度(结果取整数).
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90.
第14题图
源自人教九下P76第1题
考向2两个观测点观测同一个位置点
15.(2023山西)随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测量AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC 的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24m到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长(结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，3≈1.73).
第15题图
16.(2023甘肃省卷)灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图①)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF 和∠CBF的度数(A，B，D，F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C，F，G在同一条直线上，DF∥EG，CG⊥AF，FG＝DE).
数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE＝1.5m，∠CAF ＝26.6°，∠CBF＝35°.
问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数).
参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan 35°≈0.70.
根据上述方案及数据，请你完成求解过程．
第16题图
考向3两个观测点观测两个位置点
17.(2023重庆A卷)如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米，点E在点A的正北方向．点B，D 在点C的正北方向，BD＝100米，点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°.
(1)求步道DE的长度(精确到个位)；
(2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D.请计算说明他走哪一条路较近？(参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
第17题图
源自人教九下P84第9题
类型四拥抱型
18.(2022自贡)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1.参考数据tan37°≈0.75，tan 53°≈1.33，3≈1.73)
第18题图
类型五实物模型
19.(新趋势)·真实问题情境(2023成都)2023年6月6日是第27个全国“爱眼日”，某数学兴趣小组开展了“笔记本电脑的张角大小、顶部边缘离桌面的高度与用眼舒适度关系”的实践探究活动．如图，当张角∠AOB＝150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为10cm，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识，发现当张角∠A′OB＝108°时(点A′是A的对应点)，用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘A′处离桌面的高度A′D的长．(结果精确到1cm；参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08)
第19题图
20.(新趋势)·真实问题情境(2023常德)第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情.某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台(如图①)，它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成.图②是其示意图，已知：助滑坡道AF ＝50米，弧形跳台的跨度FG＝7米，顶端E到BD的距离为40米，HG∥BC，∠AFH＝40°，∠EFG＝25°，∠ECB＝36°.求此大跳台最高点A距地面BD的距离是多少米(结果保留整数).
(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)
第20题图
21.(2023江西)图①是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图②所示的示意图，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四点在同一直线上，测得∠FEC＝∠A≈72.9°，AD＝1.6m，EF ＝6.2m．(结果保留小数点后一位)
(1)求证：四边形DEFG为平行四边形；
(2)求雕塑的高(即点G到AB的距离).
(参考数据：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25)
第21题图
22.(2023嘉兴)小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图①，纸飞机机尾的横截面是一个轴对称图形，其示意图如图②，已知AD＝BE＝10cm，CD＝CE＝5cm，AD⊥CD，BE⊥CE，∠DCE＝40°.
(1)连接DE，求线段DE的长；
(2)求点A，B之间的距离．
(结果精确到0.1cm.参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan40°≈0.84)
第22题图
参考答案与解析
1.B
2.D 【解析】∵AD 是△ABC 的高，∴AD ⊥BC ，∵BD ＝2CD ＝6，∴CD ＝3，又∵tan C ＝
2，∴AD CD ＝2，即AD 3
＝2，∴AD ＝6.在Rt △ABD 中，AB ＝AD 2＋BD 2＝62＋62＝62.3.A
4.C 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵tan A ＝12
，且BC ＝5，∴AC ＝25，∴AB ＝5，∵tan A ＝DE AE ＝12，tan ∠ABD ＝DE EB ＝13，∴AE ∶EB ＝2∶3，∴EB ＝35
AB ＝3，∴DE ＝1，∴BD ＝BE 2＋DE 2＝10，∵BC ＝5，∴CD ＝BD 2－BC 2＝5.
第4题解图
5.4
5【解析】如解图，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∵点A ，B ，C 都在网格线上，且都是
小正方形边的中点，∴CD ＝4，AD ＝3，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝5，∴sin A ＝CD AC ＝45
.
第5题解图
6.解：(1)在Rt △ABC 中，cos ∠ABC ＝
BC AB ＝45
，∵BC ＝8，∴AB ＝10，
由勾股定理，得AC ＝AB 2－BC 2＝6；
(2)如解图，过点F 作FN ⊥BD 于点N ，
第6题解图
∵BF 为AD 边上的中线，AC ⊥BD ，∴FN 为△ACD 的中位线，∴FN ＝12AC ＝3，CN ＝12CD ＝2，
∴tan ∠FBD ＝FN BN ＝FN BC ＋CN
＝310.7.B 【解析】由题意知AD ⊥BC ，AB ＝AC ，∴BD ＝CD ＝12BC ＝22，∵tan B ＝AD BD
，∴AD ＝BD ·tan B ＝22×tan27°≈22×0.51＝11.22cm.8.B 【解析】如解图，过点A 作BC 的垂线，垂足为D ，∵AB ＝AC ，∴D 为BC 的中点．∵BC ＝6m ，∴BD ＝3m ．∵∠ABC ＝α，∴tan ∠ABD ＝AD BD
，∴AD ＝3tan α，又∵BC 与EF 的距离为4m ，即BE ＝4m ，∴A 离地面EF 的高度为BE ＋AD (4＋3tan α)m.
第8题解图
9.50【解析】由题意知，AB ＝BC sin α＝3035
＝50m.10.解：(1)在Rt △ABD 中，∠ABD ＝53°，BD ＝9m ，
∴AB ＝BD cos ∠ABD
＝9cos 53°≈90.6＝15(m).答：此时云梯AB 的长为15m ；
(2)云梯能伸到险情处，理由如下：
∵AE ＝19m ，BC ＝2m ，
∴AD ＝19－2＝17m.
在Rt △ABD 中，BD ＝9m ，
∴AB ＝AD 2＋BD 2＝172＋92＝370(m).
∵370<20，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能够伸到险情处．
11.解：如解图，由题意可知CE ∥AD ，∠ECA ＝37°，∠BDA ＝53°，
∴∠A ＝37°，∠ABD ＝90°，
在Rt △BCD 中，CD ＝90，∠BDC ＝37°，
∴BD ＝CD ·cos 37°≈90×0.8＝72，
在Rt △ABD 中，∠A ＝37°，BD ＝72，
∴AB ＝BD tan 37°≈720.75
＝96(米).答：A ，B 两点间的距离为96米．
第11题解图
12.解：如解图，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，
第12题解图
∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，
∴四边形ABDE 是矩形，
∴AB ＝DE ＝20，
∵在Rt △ADE 中，∠DAE ＝30°，
∴tan 30°＝DE AE ，即33＝20AE
，解得AE ＝203，
∵在Rt △ACE 中，∠CAE ＝45°，
∴CE ＝AE ＝203，
∴CD ＝CE ＋DE ＝(203＋20)m.答：信号塔的高度为(203＋20)m.
13.解：(1)∵BE ∥AD 且∠EBD ＝60°，
∴∠BDA ＝∠EBD ＝60°.
∵∠BDA ＝∠C ＋∠CAD 且∠CAD ＝30°，
∴∠C ＝∠BDA －∠CAD ＝30°；
(2)如解图，过点B 作BG ⊥AD 于点G ，
则∠AGB ＝∠BGD ＝90°.
在Rt △AGB 中，∵AB ＝20米，∠BAG ＝45°，
∴AG ＝BG ＝20·sin 45°＝102，
在Rt △BGD 中，∵∠BDA ＝60°，
∴BD ＝BG sin 60°＝102sin 60°＝2063
，DG ＝BG tan 60°＝102tan 60°＝1063
，∵∠C ＝∠CAD ＝30°，
∴CD ＝AD ＝AG ＋DG ＝(102＋1063
)米．∴BC ＝BD ＋CD ＝(102＋106)米．
答：两棵银杏树B ，C 之间的距离为(102＋106)米．
第13题解图
14.解：根据题意得，BC ＝32m ，∠APC ＝42°，∠APB ＝35°.
在Rt △PAC 中，tan ∠APC ＝AC PA ，∴PA ＝AC tan ∠APC
.在Rt △PAB 中，tan ∠APB ＝AB PA ，∴PA ＝AB tan ∠APB ，∵AC ＝AB ＋BC ，∴AB ＋BC tan ∠APC
＝AB tan ∠APB ，∴AB ＝BC ·tan ∠APB tan ∠APC －tan ∠APB ＝32×tan 35°tan 42°－tan 35°≈32×0.700.90－0.70
＝112(m).答：这座山AB 的高度约为112m.
15.解：如解图，延长AB 和CD 分别与直线OF 交于点G 和点H ，
则∠AGO ＝∠EHO ＝90°.
又∵∠GAC ＝90°，
∴四边形ACHG 是矩形，
∴GH ＝AC .
由题意，得AG ＝60，OF ＝24，∠AOG ＝70°，∠EOF ＝30°，∠EFH ＝60°.
在Rt △AGO 中，∠AGO ＝90°，tan ∠AOG ＝AG OG
，∴OG ＝AG tan ∠AOG
＝60tan 70°≈602.75≈21.82.∵∠EFH 是△EOF 的外角，
∴∠FEO ＝∠EFH －∠EOF ＝60°－30°＝30°，
∴∠EOF ＝∠FEO ，
∴EF ＝OF ＝24.
在Rt △EHF 中，∠EHF ＝90°，cos ∠EFH ＝FH EF
，∴FH ＝EF ·cos ∠EFH ＝24×cos 60°＝12，
∴AC ＝GH ＝GO ＋OF ＋FH ＝21.82＋24＋12≈58(m).
答：楼AB 与CD 之间的距离AC 的长约为58m.
第15题解图
16.解：设CF ＝x ，
在Rt △ACF 中，AF ＝CF tan ∠CAF ＝x tan 26.6°≈x 0.50，在Rt △BCF 中，BF ＝CF tan ∠CBF
＝x tan 35°≈x 0.70，∵AF －BF ＝AB ＝8.8，
∴x 0.50－x 0.70
＝8.8，解得x ＝15.4，∴CF ＝15.4.
∵FG ＝DE ＝1.5，
∴CG ＝CF ＋FG ＝15.4＋1.5＝16.9.
答：灞陵桥拱梁顶部C 到水面的距离CG 约为16.9m ．
17.解：(1)如解图，过点E 作EH ⊥DC 于点H .
第17题解图
由题意得，EH ＝AC ＝200米．
∵在Rt △EHD 中，∠HDE ＝45°，
∴DE ＝2EH ＝2002≈200×1.414≈283米．
答：步道DE 的长度约为283米；
(2)∵DH ＝EH ＝200，BD ＝100，
∴BH ＝DH －BD ＝100，
∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，
∴AB ＝400，BC ＝2003，
∴HC ＝BC －BH ＝(2003－100)米，
∴AE ＝HC ＝(2003－100)米，
从点A 经过点B 到达点D 的路线长为AB ＋BD ＝400＋100＝500米；
从点A 经过点E 到达点D 的路线长为AE ＋DE ＝2003－100＋2002≈529.2＞500.答：小红经过点B 到达点D 的路线较近．
18.解：在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，AB ＝24，∠ABD ＝90°－53°＝37°，
∴AD ＝AB ·tan ∠ABD ＝24×tan 37°≈24×0.75＝18(米)，
在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，
∴CD ＝AD ·tan 30°＝18×33＝63≈10.38≈10.4(米).答：办公楼的高度约为10.4米．
19.解：∵∠AOB ＝150°，∴∠AOC ＝30°，
∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OA
，
即sin 30°＝10OA
，解得OA ＝20cm ，∴OA ′＝OA ＝20cm.
∵∠A ′OB ＝108°，∴∠A ′OD ＝72°，
∴在Rt △A ′OD 中，sin ∠DOA ′＝A ′D A ′O ，即sin 72°＝A ′D 20
，解得A ′D ≈19cm.答：此时顶部边缘A ′处离桌面的高度A ′D 的长约为19cm.
20.解：如解图，过点E 作EM ⊥BC 于点M ，与FG 交于点N ，则BH ＝MN ，EM ＝40，∵HG ∥BC ，
∴∠EGN ＝∠ECB ＝36°，
设EN ＝x ，
∴NG ＝EN tan ∠EGN
＝x tan 36°≈x 0.73＝100x 73，FN ＝EN tan ∠EFN
＝x tan 25°≈x 0.47＝100x 47，∵FN ＋NG ＝FG ，
∴100x 47＋100x 73
＝7，解得x ≈2，
∴EN ＝2，
∴HB ＝MN ＝EM －EN ＝40－2＝38，
∵AH ＝AF ·sin ∠AFH ＝50×sin 40°≈50×0.64＝32，
∴AB ＝AH ＋BH ＝32＋38＝70米，
答：此大跳台最高点A 距地面BD 的距离约是70米．
第20题解图
21.(1)证明：∵AB ∥CD ，
∴∠CDG ＝∠A ，
∵∠FEC ＝∠A ，
∴∠CDG ＝∠FEC ，
又∵CD ∥FG ，即ED ∥FG ，
∴四边形DEFG 是平行四边形；
(2)解：如解图，过点G 作GM ⊥AB 于点M ，由(1)知四边形DEFG 是平行四边形，
∵DG ＝EF ＝6.2，
∴AG ＝AD ＋DG ＝1.6＋6.2＝7.8，
∵在Rt △AGM 中，∠A ＝72.9°，sin A ＝GM AG
，∴GM ＝AG ·sin A ＝7.8×sin 72.9°≈7.8×0.96≈7.5(m)，答：雕塑的高约为7.5m.
第21题解图
22.解：(1)如解图，过点C 作CF ⊥DE 于点F ，∵CD ＝CE ，
∴DF ＝EF ，CF 平分∠DCE ，
∴∠DCF ＝∠ECF ＝20°，
∴DF ＝CD ·sin 20°≈5×0.34＝1.7，
∴DE ＝2DF ＝3.4cm ；
第22题解图
(2)如解图，连接AB ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ，∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，∴AB ⊥CF ，DE ⊥CF ，
∴AB ∥DE .
∴DG ∥CF .
∴∠DAB ＝∠GDC ＝∠DCF ＝12
∠DCE ＝20°，∴AG ＝AD ·cos 20°≈10×0.94＝9.4，∴AB ＝2AG ＋DE ＝22.2cm.。