随机过程的概念与基本类型

2.2 随机过程的分布律和数字特征
随机过程{X(t), t>0}的二维概率密度
2.2 随机过程的分布律和数字特征
设{X(t)，t T }，{Y(t)，t T }是两个随机过程，二阶矩函数存在，定义 二阶矩过程 一、二阶矩函数存在 定义2.4 互协方差函数 互相关函数 ☆ 显然有关系式
2.1 随机过程的基本概念
从数学上看，随机过程{X(t, e)， t T }是定义在T上的二元函数。 对固定的t，X(t, e) 是(, F,P)上的随机变量； 对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
2.1 随机过程的基本概念
按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
2.4 几种重要的随机过程
定理：设{W(t), - < t < +}是参数为2的维纳过程，则 (1)对任意t(-, +), W(t) ~ N(0, 2|t|) (2)对任意- < a <s, t < +, E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(a))]=2min(s-a, t-a) RW(s, t)=2min(s, t) 证 (1)由定义，显然成立。
6.1 平稳随机过程的概念
定义2. 13 设{X(t)，t T }是随机过程，并满足： (1){X(t)，t T }是二阶矩过程； (2)对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s, t T ， RX(s, t)=E[X(s)X(t)]=RX(t-s)， 则称{X(t)，t T }为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。 若T为离散集，称平稳过程{Xn，nT }为平稳序列。
例 设X(t)=Y+Zt, t>0，Y, Z N(0, 1) 求{X(t), t>0}的一、二维概率密度族。 解 因Y, Z为正态随机变量，则其线性组合X(t)也是正态随机变量，
X(t)～N(0, 1+t2)
2.2 随机过程的分布律和数字特征
随机过程{X(t), t >0}的一维概率密度
定义2.9 设 {X(t)，t T }为随机过程，若对任意正整数n及t1< t2<< tn， P{X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1}>0，且条件分布 P{X(tn)xn|X(t1)=x1,, X(tn-1)=xn-1} = P{X(tn) xn|X(tn-1)=xn-1}， 则称{X(t)，t T }为马尔可夫过程。 ☆若t1,t2,,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示将来，马尔可夫过程表明：在已知现在状态的条件下，将来所处的状态与过去状态无关。
2.4 几种重要的随机过程
(2)不妨设s t，则 E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(a))] =E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(s)+W(s)-W(a))] =E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(s))] +E[(W(s)-W(a))2] =E[W(s)-W(a)]E[W(t)-W(s)]+D[W(s)-W(a)] =2(s-a)
2.4 几种重要的随机过程
证:对于a<s<t<b 同理对于a < t < s < b , 有 于是
2.4 几种重要的随机过程
定义2.7设{X(t)，t T }是随机过程，对任意正整数n和t1<t2<<tnT, 随机变量X(t2)-X(t1)，X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1)是相互独立的，则称{X(t)，t T }是独立增量过程或可加过程。 定理：若{Xt，t T }是独立增量过程，且EX(t)=0，EX2(t)<+，则{Xt，t T }是正交增量过程。
2.4 几种重要的随机过程
事实上，对t1<t2t3<t4T,由独立增量性，有 E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))] = E[X(t2)-X(t1)]E[X(t4)-X(t3)] =0
2.4 几种重要的随机过程
定义2.8设{X(t), tT}是独立增量过程，若任意s<t, 随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于 t-s，则称{X(t), tT}是平稳独立增量过程。 ☆维纳过程和泊松过程是平稳独立增量过程
第二章 随机过程的 概念与基本类型
2.1 ຫໍສະໝຸດ Baidu随机过程的一般概念
设(, F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意 t T ，有随机变量X(t, e)与之对应，则称随机变量族{X(t, e)， t T }是(, F,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t T }或{Xt，t T }。 X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I。
2.3 复随机过程
相关函数 协方差函数 ☆显然有关系式
2.3 复随机过程
设{Xt，t T }，{Yt，t T }是两个复随机过程，定义 互相关函数 互协方差函数 ☆显然有关系式
2.3 复随机过程
复随机过程的协方差函数具有性质 (1)共轭对称性 (2)非负定性
2.4 几种重要的随机过程
若 t s ，则 E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(a))]=2(t-a)，所以 E[(W(s)-W(a)) (W(t)-W(a))]=2min(s-a,t-a) 若取a = 0，则 RW(s, t)=E[W(s)W(t)] =E[(W(s)-W(0))(W(t)-W(0))] =2min(s, t) ☆注：维纳过程也是正交增量过程 (EX(t)=0, EX2(t)=2|t|<+)， 还是马尔可夫过程
6.2 联合平稳随机过程
时间增量
正交增量过程
独立增量过程
平稳独立增量过程
维纳过程
增量服从正态分布
EX2＜∞ EX=0，EX2＜∞
泊凇过程
增量服从泊凇分布
马尔可夫过程
时间记忆
时间平移
宽平稳随机过程
严平稳随机过程
高斯过程
有限维联合变量服从正态分布
一维随机变量 e → X(e) 二维随机变量 e → （X(e)， Y(e)） 。。。 n维随机变量 e → （X1(e)， X2(e)，…,Xn(e)） 随机序列 e → （X1(e)， X2(e)，…, ） 随机过程 e → （X(t,e)， t∈T ）
2.2 随机过程的分布和数字特征
定义2.3 设{X(t)，t T }是随机过程，定义 均值函数 若对 ,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。 方差函数 协方差函数
2.2 随机过程的分布律和数字特征
相关函数 ☆显然有关系式
随机过程数字特征之间的关系
2.4 几种重要的随机过程
定义2.10设{X(t)，t T }是随机过程，对任意正整数n和t1<t2<<tnT, (X(t1),X(t2), , X(tn))是n维正态分布随机变量，则称{X(t)，t T }是正态过程或高斯过程。
2.4 几种重要的随机过程
定义2.11设{W(t), - < t < +}是随机过程，如果 (1)W(0)=0 (2)W(t)是平稳独立增量过程 (3)对任意s, t, 增量W(t)-W(s)~N(0, 2|t-s|), 2>0 则称{W(t), -< t < +}为维纳过程，或布朗运动。
随机变量族 (t ,e) → xt(e)=x(t, e)
x x (ti,e) t1 t2 t3
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。 解
2.2 随机过程的分布律和数字特征
2.3 复随机过程
定义2.5设{Xt，t T }，{Yt，t T }是取实值的两个随机过程，对t T ，Zt = Xt + iYt，则称{Zt，t T }是复随机过程。 均值函数 方差函数
2.2 随机过程的分布律和数字特征
有限维分布函数族的性质 (1)对称性 其中 是 的任意排列 (2)相容性 m < n
2.2 随机过程的分布律和数字特征
定理（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)： 设已给参数集T及满足对称、相容的有限维分布函数族F 则必存在概率空间(, F,P)及定义在其上的随机过程{X(t)，t T }，它的有限维分布函数族就是F 有限维特征函数族
随机过程的例子
以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程； 以X(t)表示某地区第t天的最高气温，则{X(t)，t=0,1,…} 是随机过程； 以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于平均海平面的高度，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程； X(t)=acos(ωt+Θ)， t∈（- ∞,∞)，其中a，ω是常数，Θ是随机变量。则{X(t)，t∈ （- ∞,∞)}是随机过程
2.3 复随机过程
例 设复随机过程 X1, X2, , Xn独立，w1, w2, , wn为参数， 求{Zt, t0}的均值函数m(t)和相关函数R(s, t) 解
2.3 复随机过程
2.4 几种重要的随机过程
定义2.6设{X(t)，t T }是随机过程，且EX(t)=0, EX2(t) <+，若对任意的t1< t2 t3 < t4T,有E[(X(t2)-X(t1))(X(t4)-X(t3))]=0，则称{X(t)，t T }为正交增量过程。 不相关 t1 t2 t3 t4 定理：设T=[a,b] , 规定X(a)=0, 若{Xt，t T }是正交增量过程，则
2.2 随机过程的分布和数字特征
随机过程{X(t)，t T }的有限维分布函数族 其中 是n维随机变量 (X(t1), X (t2), , X (tn))的联合分布函数
例：X(t)=tV,-∞<t< ∞,其中V为随机变量。 P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4, 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),
定义2.12 设{X(t)，t T }是随机过程，对任意常数和正整数n， t1,t2,, tnT, t1+, t2+,,tn+ T， 若(X(t1), X(t2), , X(tn))与 (X(t1+), X(t2+),, X(tn+)) 有相同的联合分布，则称{X(t)，t T }为严平稳过程，也称狭义平稳过程。
均值函数
自相关函数
最主要的数字特征
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求{X(t), t>0}的均值函数和协方差函数。 解
2.2 随机过程的分布律和数字特征
2.2 随机过程的分布律和数字特征