实验五一元函数积分学
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便得到绕x轴旋转所得旋转体的图形(见图5-2)。 注 利用曲面参数方程作出曲面图形的命令，详见实验六。
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图5-2
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又输入: r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r.*cos(t); z=r.*sin(t); y=r.*sin(r).^2; surf(x,y,z) title('绕y轴旋转'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴'); zlabel('z轴')
w( x)dx
dx 0
输入: diff(int('w(x)',0,(cos(x))^2))
则得到输出: ans=-2*cos(x)*sin(x)*w(cos(x)^2)
即: 2 cos(x) sin(x)w(cos2 x)
注 这里使用了复合函数求导公式。
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5.2.5 定积分应用
输入: n=100; x=0:1/n:1; left_sum=0; right_sum=0; for i=1:n if i==1 left_sum=left_sum+1/n; else left_sum=left_sum+sin(x(i))/x(i)*(1/n); end right_sum=right_sum+sin(x(i+1))/x(i+1)*(1/n); end left_sum right_sum
200 0.9465
0.9457
500 0.9462
0.9459
注 用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随n收敛 的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（quad 命令就是利用抛物线法的）。
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5.2.2 不定积分计算
【例3】求 x2 (1 x。3)5 dx
输入: syms x int('x^2*(1-x^3)^5',x)
a
n n
k0
n
n n
k 1
n
因在此例1将中b定n a义kn这10 f 两(a 个与k近b n似a )值为bf，n aak，作n1 b为f 和(a n的k b函n a数) 。的近似ab f值(x。)dx
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【例1】计算 1 x2的dx近似值。
输入:
0
n=128;
x=0:1/n:1;
quad('sin(x.^2)',0,1)
则输出为:
ans=
0.3103
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5.2 实验内容
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5.2.1 用定义计算定积分
当f(x)在[a,b]上连续时，有:
b f (x)dx lim b a n1 f (a k b a) lim b a n f (a k b a)
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又输入: syms x int('2*x^2*pi*sin(x)^2',x,0,pi)
则得到: ans= 1/3*pi^4-1/2*pi^2
即: 4 2
32
若输入:
syms x
quad('2*pi*(x.^2).*sin(x).^2',0,pi)
则得到体积的近似值为:
ans=
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为了作出旋转体的图形，输入: r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r; z=r.*sin(t).*sin(r).^2; y=r.*cos(t).*sin(r).^2; surf(x,y,z) title('绕x轴旋转'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴'); zlabel('z轴')
【例12】求曲线 g(x) xsin2 x (与0 xx轴 所) 围成的图形分别绕x轴
和y轴旋转所形成的旋转体体积。用surf命令作出这两个旋 转体的图形。
在图形绕x轴旋转时，体积 v g 2 (x)dx 0
在图形绕y轴旋转时，体积
v
2 xg(x)dx
0
输入:
ezplot('x*sin(x)^2',[0,pi])
MATLAB
高等数学实验
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1
实验五 一元函数积分学
实验目的
掌握用MATLAB计算不定积分与定积分的方 法。通过作图和观察，深入理解定积分的 概念和几何意义。理解变上限积分概念。 提高应用定积分解决各种问题的能力。
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5.1 学习MATLAB命令
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积分; (4)int(f,v,a,b)求函数f关于变量v的从a到b的定积分。
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5.1.2数值积分命令
b
quad('f',a,b)命令是用辛普森法求定积分
f的(x近)d似x 值。
其形式为:
a
syms x
quad('f(x)',a,b)
例如求定积分 1sin x的2dx近似值，可以输入: 0 syms x
则输出为: jf= 1/2*erf(1)*pi^(1/2)
其中erf是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分， 输入: syms x quad('exp(-x.^2)',0,1)
则有结果: ans= 0.7468
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5.2.4 变上限积分
【例11】求
d
cos2 ( x)
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【例5】求 x2 arctan xdx
输入: syms x int('atan(x)*x^2',x)
则得到输出: ans= 1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)
即:
x2 1 x3 arctan x 1 log(1 x2 ) C
执行后得到的图形如图5-1所示。
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图5-1
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观察g(x)的图形。再输入: syms x int('pi*(x*(sin(x))^2)^2',x,0,pi)
则得到: ans= 1/8*pi^4-15/64*pi^2
即: ( 15 3 )
64 8
则得到输出: ans= -1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^95/6*x^6+1/3*x^3
即: x3 5x6 10x9 5x12 x15 x18 C
3 6 9 6 3 18
注 用MATLAB软件求不定积分时，不自动添加积分常数C。
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Baidu Nhomakorabea
么么么么方面
Sds绝对是假的
么么么么方面
Sds绝对是假的
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【例6】求 sin x dx x
输入: syms x int('sin(x)/x',x)
则输出为: ans= sinint(x)
它已不是初等函数。
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5.2.3 定积分计算
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【例9】求 2 4 x2 dx 1
输入: syms x jf=int('sqrt(4-x^2)',x,1,2)
则得到输出: jf= 2/3*pi-1/2*3^(1/2)
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【例10】求 1 e x2 dx 0
输入: syms x jf=int('exp(-x^2)',x,0,1)
8
若将以上输入中的n依次换为2，4，8，16，32，64，128，256，512， 1024，而其他的不改动，则输出依次为:
n
left_sum
right_sum
2
0.1250
0.6250
4
0.2188
0.4688
8
0.2734
0.3984
16
0.3027
0.3652
32
0.3179
0.3491
64
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10
输出为:
left_sum=0.9469
righ_sum=0.9453
若将以上输入中的n依次换为50，150，200，500，而其余 不改动，则输出依次为:
n
left_sum
right_sum
50
0.9447
0.9445
100 0.9469
0.9453
150 0.9466
0.9456
3
5.1.1 积分命令
MATLAB软件求函数积分的命令是int，它既可以用于计算 不定积分，也可以用于计算定积分。
具体为: (1)int(f)求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分; (2)int(f,v)求函数f关于变量v的不定积分; (3)int(f,a,b)求函数f关于syms定义的符号变量的从a到b的定
便得到绕y轴旋转所得旋转体的图形(见图5-3)。
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图5-3
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【例7】求 1(x x2 )dx 0
输入: syms x jf=int('(x-x^2)',x,0,1)
则得到输出: jf= 1/6
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【例8】求
4
x 2 dx
0
输入: syms x jf=int('abs(x-2)',x,0,4)
则得到输出: jf= 4
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left_sum=0;
right_sum=0;
for i=1:n
left_sum=left_sum+x(i)^2*(1/n);
right_sum=right_sum+x(i+1)^2*(1/n);
end
left_sum
right_sum
输出为:
left_sum=
0.3294
right_sum=
0.3372 2021/4/21
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【例4】求 e2x sin。3xdx
输入: syms x int('exp(-2*x)*sin(3*x)',x)
则得到输出: ans=
-3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x)
即: 1 e2x (3cos 3x 2sin 3x) C 13
0.3256
0.3412
128
0.3294
0.3372
256
0.3314
0.3353
512
0.3324
0.3343
1024 0.3328
0.3338
这是 1 x2d的x一系列近似值，且有left_sum< 0
<r1igxh2td_xsum。 0
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【例2】计算 1 sin的x d近x似值。 0x
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图5-2
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又输入: r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r.*cos(t); z=r.*sin(t); y=r.*sin(r).^2; surf(x,y,z) title('绕y轴旋转'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴'); zlabel('z轴')
w( x)dx
dx 0
输入: diff(int('w(x)',0,(cos(x))^2))
则得到输出: ans=-2*cos(x)*sin(x)*w(cos(x)^2)
即: 2 cos(x) sin(x)w(cos2 x)
注 这里使用了复合函数求导公式。
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5.2.5 定积分应用
输入: n=100; x=0:1/n:1; left_sum=0; right_sum=0; for i=1:n if i==1 left_sum=left_sum+1/n; else left_sum=left_sum+sin(x(i))/x(i)*(1/n); end right_sum=right_sum+sin(x(i+1))/x(i+1)*(1/n); end left_sum right_sum
200 0.9465
0.9457
500 0.9462
0.9459
注 用这种方法（矩形法）得到的定积分的近似值随n收敛 的很慢。可以利用梯形法或抛物线法改进收敛速度（quad 命令就是利用抛物线法的）。
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5.2.2 不定积分计算
【例3】求 x2 (1 x。3)5 dx
输入: syms x int('x^2*(1-x^3)^5',x)
a
n n
k0
n
n n
k 1
n
因在此例1将中b定n a义kn这10 f 两(a 个与k近b n似a )值为bf，n aak，作n1 b为f 和(a n的k b函n a数) 。的近似ab f值(x。)dx
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【例1】计算 1 x2的dx近似值。
输入:
0
n=128;
x=0:1/n:1;
quad('sin(x.^2)',0,1)
则输出为:
ans=
0.3103
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5.2 实验内容
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5.2.1 用定义计算定积分
当f(x)在[a,b]上连续时，有:
b f (x)dx lim b a n1 f (a k b a) lim b a n f (a k b a)
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又输入: syms x int('2*x^2*pi*sin(x)^2',x,0,pi)
则得到: ans= 1/3*pi^4-1/2*pi^2
即: 4 2
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若输入:
syms x
quad('2*pi*(x.^2).*sin(x).^2',0,pi)
则得到体积的近似值为:
ans=
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为了作出旋转体的图形，输入: r=0:0.1:pi; t=-pi:0.1:pi; [r,t]=meshgrid(r,t); x=r; z=r.*sin(t).*sin(r).^2; y=r.*cos(t).*sin(r).^2; surf(x,y,z) title('绕x轴旋转'); xlabel('x轴'); ylabel('y轴'); zlabel('z轴')
【例12】求曲线 g(x) xsin2 x (与0 xx轴 所) 围成的图形分别绕x轴
和y轴旋转所形成的旋转体体积。用surf命令作出这两个旋 转体的图形。
在图形绕x轴旋转时，体积 v g 2 (x)dx 0
在图形绕y轴旋转时，体积
v
2 xg(x)dx
0
输入:
ezplot('x*sin(x)^2',[0,pi])
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高等数学实验
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实验五 一元函数积分学
实验目的
掌握用MATLAB计算不定积分与定积分的方 法。通过作图和观察，深入理解定积分的 概念和几何意义。理解变上限积分概念。 提高应用定积分解决各种问题的能力。
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5.1 学习MATLAB命令
2021/4/21
积分; (4)int(f,v,a,b)求函数f关于变量v的从a到b的定积分。
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5.1.2数值积分命令
b
quad('f',a,b)命令是用辛普森法求定积分
f的(x近)d似x 值。
其形式为:
a
syms x
quad('f(x)',a,b)
例如求定积分 1sin x的2dx近似值，可以输入: 0 syms x
则输出为: jf= 1/2*erf(1)*pi^(1/2)
其中erf是误差函数，它不是初等函数。改为求数值积分， 输入: syms x quad('exp(-x.^2)',0,1)
则有结果: ans= 0.7468
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5.2.4 变上限积分
【例11】求
d
cos2 ( x)
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13
【例5】求 x2 arctan xdx
输入: syms x int('atan(x)*x^2',x)
则得到输出: ans= 1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)
即:
x2 1 x3 arctan x 1 log(1 x2 ) C
执行后得到的图形如图5-1所示。
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图5-1
24
观察g(x)的图形。再输入: syms x int('pi*(x*(sin(x))^2)^2',x,0,pi)
则得到: ans= 1/8*pi^4-15/64*pi^2
即: ( 15 3 )
64 8
则得到输出: ans= -1/18*x^18+1/3*x^15-5/6*x^12+10/9*x^95/6*x^6+1/3*x^3
即: x3 5x6 10x9 5x12 x15 x18 C
3 6 9 6 3 18
注 用MATLAB软件求不定积分时，不自动添加积分常数C。
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么么么么方面
Sds绝对是假的
么么么么方面
Sds绝对是假的
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【例6】求 sin x dx x
输入: syms x int('sin(x)/x',x)
则输出为: ans= sinint(x)
它已不是初等函数。
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5.2.3 定积分计算
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【例9】求 2 4 x2 dx 1
输入: syms x jf=int('sqrt(4-x^2)',x,1,2)
则得到输出: jf= 2/3*pi-1/2*3^(1/2)
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【例10】求 1 e x2 dx 0
输入: syms x jf=int('exp(-x^2)',x,0,1)
8
若将以上输入中的n依次换为2，4，8，16，32，64，128，256，512， 1024，而其他的不改动，则输出依次为:
n
left_sum
right_sum
2
0.1250
0.6250
4
0.2188
0.4688
8
0.2734
0.3984
16
0.3027
0.3652
32
0.3179
0.3491
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输出为:
left_sum=0.9469
righ_sum=0.9453
若将以上输入中的n依次换为50，150，200，500，而其余 不改动，则输出依次为:
n
left_sum
right_sum
50
0.9447
0.9445
100 0.9469
0.9453
150 0.9466
0.9456
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5.1.1 积分命令
MATLAB软件求函数积分的命令是int，它既可以用于计算 不定积分，也可以用于计算定积分。
具体为: (1)int(f)求函数f关于syms定义的符号变量的不定积分; (2)int(f,v)求函数f关于变量v的不定积分; (3)int(f,a,b)求函数f关于syms定义的符号变量的从a到b的定
便得到绕y轴旋转所得旋转体的图形(见图5-3)。
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图5-3
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【例7】求 1(x x2 )dx 0
输入: syms x jf=int('(x-x^2)',x,0,1)
则得到输出: jf= 1/6
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【例8】求
4
x 2 dx
0
输入: syms x jf=int('abs(x-2)',x,0,4)
则得到输出: jf= 4
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left_sum=0;
right_sum=0;
for i=1:n
left_sum=left_sum+x(i)^2*(1/n);
right_sum=right_sum+x(i+1)^2*(1/n);
end
left_sum
right_sum
输出为:
left_sum=
0.3294
right_sum=
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【例4】求 e2x sin。3xdx
输入: syms x int('exp(-2*x)*sin(3*x)',x)
则得到输出: ans=
-3/13*exp(-2*x)*cos(3*x)-2/13*exp(-2*x)*sin(3*x)
即: 1 e2x (3cos 3x 2sin 3x) C 13
0.3256
0.3412
128
0.3294
0.3372
256
0.3314
0.3353
512
0.3324
0.3343
1024 0.3328
0.3338
这是 1 x2d的x一系列近似值，且有left_sum< 0
<r1igxh2td_xsum。 0
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【例2】计算 1 sin的x d近x似值。 0x