山东省青岛市胶州第一中学2020年高三数学理上学期期末试题含解析

山东省青岛市胶州第一中学2020年高三数学理上学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，设是图中边长为的正方形区域，是内函数图象下方的点构成的区域．向中随机投一点，则该点落入中的概率为（）
A． B． C． D．
参考答案：
C
略
2. 已知，，，则点D的坐标是（）
A．(11,－3) B．(9,－3) C．(9,3) D．(4,0)
参考答案：
B
3. 已知若或，则
的取值范围是
A． B． C．．
参考答案：
B
略
4. 若是等差数列{}的前n项和，且则的值为__________.
A．12 B．18 C．22 D．44
参考答案：
C
略
5. 设为两个非零向量、的夹角，已知对任意实数，的最小值为1（）
A.若确定，则唯一确定
B.若确定，则唯一确定
C.若确定，则唯一确定
D.若确定，则唯一确定
参考答案：
D
6. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
D
输入，。

，，，，，满足条件，输出，选D.
7. 将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得函数图象的一条对称轴是
A． B. C． D.
参考答案：
C
8. 在区间[﹣1，1]上任取两数s和t，则关于x的方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的概率为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：几何概型．
专题：计算题．
分析：先将二次方程x2+2sx+t=0的两根都是正数的s，t必须满足的条件列出来，再在坐标系sot中画出区域，最后求出面积比即可．
解答：解：由题意可得，，其区域是边长为2的正方形，面积为4
由二次方程x2+2sx+t=0有两正根可得，其区域如图所示
即其区域如图所示，面积S=s2ds==
所求概率P=
故选B
点评：本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是利用积分求出指定事件的面积
9. 一个半径为2的球体经过切割后，剩余部分几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．C．4πD．8π
参考答案：
D
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】几何体为一个球切割掉球体，根据几何体的体积为球的体积，把数据代入球的体积公式计算可得答案．
【解答】解：由已知中的三视图可得：
几何体为一个球切割掉球体，
故几何体的体积V=?=8π，
故选：D．
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积和体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．
10. 设，均不为0，则“”是“关于的不等式
的解集相同”的（）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
C
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设全集，集合，，则
___________。

参考答案：
【命题立意】本题考查集合的基本运算法则，难度较小.
，，
12. 已知数列{a n}满足，且．记数列{a n}的前n项和为S n，若对一切的
，都有恒成立，则实数m能取到的最大整数是____________．
参考答案：
9
【分析】
首先由数列的递推公式求通项公式，，再求，并判断数列
单调性，最后转化为，根据数列的单调性求最小值.
【详解】由已知可知，，
数列是等差数列，并且首项，公差，
，，
，
，
，
，
数列是单调递增数列，
若对一切的，都有恒成立，
，
当时，的最小值是，
即
，
能取到的最大整数是9.
故答案为：9
【点睛】本题考查数列的的递推公式求通项公式，以及数列求和，数列与函数结合的综合应用问题，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，本题的关键步骤是需要判断数列的单调性，根据数列的单调性求最小值.
13. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点在第_______象限．
参考答案：
三
【分析】
利用复数代数形式的乘法运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应点的坐标即可．
【详解】复数＝，所以在复平面内对应的点的坐标为
.在第三象限.
故答案为：三
【点睛】本题考查了复数代数形式的运算及其几何意义，属于基础题.
14. 在正方形中，为的中点，是以为圆心，为半径的圆弧上的任意一点．
（1）若向正方形内撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在扇形内的概率
为；
（2）设，向量(，)，若，则
.
参考答案：
；.
（1）所求概率为扇形的面积与正方形的面积的比值，设正方形边长为，则所求概率为.故填.
（2）不妨设正方形边长为，以为坐标原点，，
所在直线为轴，轴建立直角坐标系，则，
，.由，得
，解得.由，求得，从而.
故填.
【解题探究】本题是一道涉及几何概型和向量知识的综合问题.第（1）题是几何概型问题，求解转化为扇形的面积与正方形面积的比来解决；第（2）问是关于平面向量线性运算的考题，解题时可建立适当的坐标系，用向量的坐标运算来实现转化.若假设正方形边长为，则点在单位圆上，就可以考虑引入三角函数来表示点的坐标.
15. 在二项式的展开式中，前3项的二项式系数之和等于79，则展开式中的系数为．
参考答案：
考点：1、二项式定理的应用；2、组合式的应用.
16. 若直线被圆所截得的弦长不小于，则的取值范围是_____.
参考答案：
略
17. 已知，则数列{a n}的通项公式
为.
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分13分）
已知函数，当时，函数有极大值.（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
参考答案：
①当时，，令得
当变化时，的变化情况如下表：
-+-
单调递减单调递减
根据表格，又，，
19. 本小题满分12分）
如图所示，直角梯形ACDE与等腰直角ABC所在平面互相垂直，F为BC的中点，，
（Ⅰ）求证：平面BCD⊥平面ABC
（Ⅱ）求证：AF//平面BDE
（Ⅲ）求四面体B-CDE的体积
参考答案：
略
20. 已知递增的等比数列{a n}和等差数列{b n}，满足，是和的等差中项，且.
（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{c n}的前n项和S n.
参考答案：
（Ⅰ）由题意知，，解得，设等比数列的公比为，∴，∴；由题意知，，则等差数列的公差,∴.
（Ⅱ）∵，
∴. 21. 本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求△的面积
参考答案：
（Ⅰ）+=1（Ⅱ）
22. （04全国卷I文）（12分）
从10位同学（其中6女，4男）中随机选出3位参加测验.每位女同学能通过测验的概率均为，每位男同学能通过测验的概率均为.试求：
（I）选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率；
（II）10位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率.
参考答案：
解析：（Ⅰ）随机选出的3位同学中，至少有一位男同学的概率为
1－；………………6分
（Ⅱ）甲、乙被选中且能通过测验的概率为
；………………12分。