1.1 第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征

小值.
思路分析:把三棱锥的侧面展开,当△AEF的各边在同一直线上时, 其周长最小.
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探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
∵∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,∴∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,
探究三
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延伸探究如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两 条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端 点用一条绳子紧绕三棱锥的侧面一周(绳和侧面无摩擦),求此绳在 A,B之间的最短绳长.
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构和进行有关计算,培养直观想象与 数学运算的核心素养.
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一、空间几何体的定义、分类及相关概念 1.观察下面两组物体,你能说出各组物体的共同点吗?
(1)
(2)
提示:(1)几何体的表面由若干个平面多边形组成. (2)几何体的表面可由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋 转而成.
12-
9 2
=
15 2
=
230.
故其高为 230.
1234
当堂检测
1.有两个面平行的多面体不可能是( ) A.棱柱 B.棱锥 C.棱台 D.以上都不正确 解析:因为棱锥的任意两个面都相交, 所以不可能是棱锥. 答案:B
1234
2.棱台不具备的性质是( )
A.两底面相似
B.侧面都是梯形
C.所有棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点
解析:①错误,底面为正六边形的棱柱相对的两个侧面互相平行,
但不能作为底面;
②错误,如图所示的几何体各面均为三角形,但不是三棱锥;
③错误,因为不能保证侧棱相交于同一点; ④错误,四棱锥只有一个顶点,就是各侧面的公共顶点.
答案:A
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反思感悟判断棱柱、棱锥、棱台形状的常用方法 (1)棱柱、棱锥、棱台的定义是识别和区分多面体结构特征的关 键.因此,在涉及多面体的结构特征问题时,先看是否满足定义,再看 它们是否具备各自的性质:侧面、底面形状、侧棱、棱之间的关系 等.(2)判断时要充分发挥空间想象能力,必要时可借助于几何模型.
解:作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是 线段AB的长度.因为OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在 A,B之间最短的绳长为5.
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一题多变——几何体的计算问题
典例正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2 3 ,求正三棱锥的高.
概 侧棱:相邻侧面的公共边;
念 顶点:侧面与底面的公共顶点
分 类
①依据:底面多边形的边数; ②举例:三棱柱(底面是三角形)、四棱
柱(底面是四边形)……
如图棱柱可记作: 棱柱 ABCDEF-A'B'C'D'E'F'
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4.做一做: 下列说法中,正确的是( ) A.棱柱的侧面可以是三角形 B.若棱柱有两个侧面是矩形,则该棱柱的其他侧面也是矩形 C.正方体的所有棱长都相等 D.棱柱的所有棱长都相等 解析:棱柱的侧面都是平行四边形,选项A错误;其他侧面可能是 平行四边形,选项B错误;棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等,选 项D错误;易知选项C正确. 答案:C
提示:正三棱锥⇒侧棱、高和底面三角形外接圆半径组成直角三
角形⇒勾股定理求解.
解:作出正三棱锥如图,SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点
D为AB的中点. 在 Rt△ADO 中,AD=32,
∠OAD=30°,
3
故
AO=
2
cos∠������������������
=
3.
在 Rt△SAO 中,SA=2 3,AO= 3,
答案:①②④⑤
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多面体的表面展开与折叠
例2 如图是三个几何体的表面展开图,请问它们是什么几何体?
思路分析:几何体的侧面展开图的特点→紧扣概念→还原为原几 何体
解:①五棱柱;②五棱锥;③三棱台.如图所示.
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反思感悟空间几何体展开图的解题策略 1.解答此类问题要结合多面体的结构特征发挥直观想象能力和 动手实践能力. 2.若给出多面体画其展开图时,常常给多面体的顶点标上字母,先 把多面体的底面画出来,再依次画出各侧面. 3.若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开 的,则可把上述过程逆推.
图2
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变式训练 将本例中“三棱锥”改为“四棱锥”,如何解答?
解:如图,正四棱锥 S-ABCD 中,SO 为高,连接 OC.则△SOC 是直角
三角形,由题意 BC=3,则 OC=322,又因为 SC=2 3,则
SO= ������������2-������������2 =
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三、棱锥的结构特征 1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有一个面是多边形;(2)其余各面都是有一个公共顶点的 三角形.
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2.关于棱锥的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
棱锥
图形及表示
定 义
有一个面是多边形,其余各面都是有一 个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的多面体叫做棱锥
(由四棱锥截得)……
ABCD-A'B'C'D'
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4.做一做:下列几何体中, 是棱台(仅填相应序号).
是棱柱,
是棱锥,
解析:结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱,⑥是棱 锥,⑤是棱台.
答案:①③④ ⑥ ⑤
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棱柱、棱锥、棱台的结构特征
12-
3 4
=
325.
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方法总结 1.正棱锥中的直角三角形的应用
已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高PO,底面为正方形,作
PE⊥CD于E,则PE为斜高.
(1)斜高、侧棱构成直角三角形,如图1中Rt△PEC.
(2)斜高、高构成直角三角形,如图1中Rt△POE.
例1 下列四个命题中,正确的有( )
①棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面;②各个面都是三角 形的几何体是三棱锥;③有两个面互相平行,其余四个面都是等腰 梯形的六面体是棱台;④四棱锥有4个顶点.
A.0个 B.1个 C.3个D.4个
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思路分析:所给命题→联想空间图形→紧扣棱柱、棱锥、棱台的 结构特征→作出判断
故 SO= ������������2-������������2=3,其高为 3.
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延伸探究将本例中“侧棱长为 2 3”,改为“斜高为 2 3”,则结论如 何?
解:在 Rt△SDO 中,SD=2 3,DO=12AO= 23,故 SO= ������������2-������������2 =
提示:不一定.下图的几何体符合要求但不是棱柱.
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3.关于棱柱的定义、分类、图示及其表示,请填写下表:
棱柱
图形及表示
有两个面互相平行,其余各面都是四边
定 形,并且每相邻两个四边形的公共边都
义 互相平行,由这些面所围成的多面体叫 做棱柱
相 底面(底):两个互相平行的面;
关 侧面:其余各面;
提示:(1)区别:该多面体有两个面相互平行而棱锥没有. (2)联系:用平行于棱锥底面的平面去截棱锥,其底面和截面之间 的部分即为棱台.
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2.观察下面的几何体是否为棱台?为什么?
提示:不是.因为延长各侧棱不能还原成棱锥.
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3.关于棱台的定义、分类、图形及表示,请填写下表:
第一章 空间几何体
-1-
1.1 空间几何体的结构
-2-
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
-3-
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核心素养培养目标
核心素养形成脉络
1.了解空间几何体的分类及其相关 概念. 2.通过对实物模型的观察、归纳认识 棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特 征描述现实生活中简单几何体的结
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4.填写下表: 类别 多面体
定义
由若干个平面多边形 围成的几何体

旋转体 由一个平面图形绕它所在平面内 的一条定直线旋转所形成的封闭 几何体
图形
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类别
相关 概念
多面体
面:围成多面体的各个 多边形; 棱:相邻两个面的 公共边; 顶点:棱与棱的 公共点
旋转体 轴:形成旋转体所绕的定直线
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二、棱柱的结构特征 1.观察下列多面体,有什么共同特点?
提示:(1)有两个面相互平行;(2)其余各面都是平行四边形;(3)其余 各面中每相邻两个四边形的公共边都互相平行.
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2.有两个面平行,其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定 是棱柱吗?举例说明.
因而侧面是平行四边形,故①对.
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体,因而其
侧面均是三角形,且所有侧面都有一个公共点,故②对.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后,截面与底面之间的部分,
因而其侧面均是梯形,且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱
锥的顶点),故③错④对.⑤显然正确.因而正确的有①②④⑤.
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变式训练2下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是( )
解析:A,B,C中底面图形的边数与侧面的个数不一致,故不能围成 棱柱.
答案:D
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多面体表面距离最短问题
例3 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,
∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最
∴AA1=4 2, ∴△AEF 周长的最小值为 4 2.
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反思感悟“化曲为直”求最短距离 本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平 面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体 侧面展开,再用平面几何的知识来求解.
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(3)侧棱、高构成直角三角形,如图1中Rt△POC.
图1
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2.正棱台中的直角梯形的应用
已知正棱台如图2(以正四棱台为例),O1,O分别为上、下底面中心, 作O1E1⊥B1C1于E1,OE⊥BC于E,则E1E为斜高,
(1)斜高、侧棱构成直角梯形,如图2中梯形E1ECC1. (2)斜高、高构成直角梯形,如图2中梯形O1E1EO. (3)高、侧棱构成直角梯形,如图2中梯形O1OCC1.
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2.如图,观察几何体,它有几个面?几个顶点?几条棱?有没有比它 的面、顶点、棱更少的几何体?
提示:4个面,4个顶点,6条棱.没有比它的面、顶点、棱更少的几 何体.
3.填空: 空间几何体的定义及分类 (1)定义:如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素,那么 由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体. (2)分类:常见的空间几何体有多面体与旋转体两类.
棱台
图形及表示
定 义
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥,底面与截面之间的部分,这样的多面 体叫做棱台
相 关 概 念
上底面:原棱锥的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻侧面的公共边; 顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
如图棱台可记作:棱 台
分 类
①依据:由几棱锥截得; ②举例:三棱台(由三棱锥截得)、四棱台
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变式训练1下列说法正确的有
(填序号).
①棱柱的侧面都是平行四边形;②棱锥的侧面为三角形,且所有
侧面都有一个公共点;③棱台的侧面有的是平行四边形,有的是梯
形;④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点;⑤多面体至少有四个
面.
解析:棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体,
相 关 概 念
底面(底):多边形面;侧面:有公共顶点的 各个三角形面;侧棱:相邻侧面的公共 边;顶点:各侧面的公共顶点
如图棱锥可记作:棱
分 类
①依据:底面多边形的边数;②举例:三
棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四 边形)……
锥 S-ABCD
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四、棱台的结构特征 1.观察下列多面体,分析其与棱锥有何区别与联系?
答案:C
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3.长方体的长、宽、高之比为5∶3∶2,对角线长为2 19,则其长、