最新高等数学(第五版)4-1 原函数的概念与性质精品课件

性质：如果F ( x)是f ( x)的一个原函数，则 f ( x) 的所有原函数可以表示 为 F ( x) C 的形式.
记作 f ( x)dx.
表示一族函数!
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y
f ( x)dx F ( x) C
任 意 常 数
y F(x) C
称为(chēnɡ wéi)f (x)的积 分曲线
再由此求 x(t)
(加速度)
先由此求 v(t)
x
x x(t)
x0 x(0) o
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先求
由
知
v(t) ( g) d t g t C1
由 v(0) v0 , 得C1 v0 , 故
v(t) g t v0
再求
由
知
x
x x(t)
x0 x(0)
o
x(t)
(g t v0 )d t
例4 求 ( x3 7e x 4 )dx. x
解:
原式
x 3dx
7
e xdx
4
1 x
dx
1 x2 7e x 4 ln x C
2
例5. 求
解: 原式 (sec2 x 1)dx sec2 xdx dx
tan x x C.
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例6. 求
x4 1 x2 dx .
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
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( A) 1 sin x; (C ) cos x ;
解: f ( x) sin x
则
的一个(yī ɡè)
原函数
(B) 1 sin x;
(D) cos x .
f ( x) sin xdx cos x C1 ,
f ( x)的所有原函数为
f ( x)d x sin x C1 x C2 .
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力例面, 求3.它质的点运(z动hìd(yiǎùnn)d在ò距ng地)处 (规ch以律ū 初s.ù速)
垂直上抛 , 不计阻
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为
此时质点位置为 初速为
设时刻 t 质点所在位置为
则
dx v(t) (运动速度) dt
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)
dx x
ln
x
C;
(4)
1
1 x
2 dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
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(7) sin xdx cos x C;
例2 ( x2 )x 2 x x2是2x对x的原函数.
问题：什么样的函数(hánshù)具有原函数(hánshù)？
连续函数 f (x)一定有原函数. （即 x f (t)dt ） a
因为初等函数在定义区间上连续， 所以初等函数在定义区间上有原函数。
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问题(wèntí)：原函数是否唯一？
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要点
(yàodiǎ n):
原函数的定义 (dìngyì):
第一节 原函数的概念与性质
如果F ( x) f ( x)，称F ( x)是 f ( x)对x的原函数（反导数）.
求原函数的运算(yùn suàn)是求导数的逆运算 (yùn suàn).
f ( x)dx的理解：
(1)代表 f ( x)的所有反导数, f ( x)dx F ( x) C
1 2
g
t
2
v0t C2
由x(0) x0 , 得C2 x0 , 于是(yúshì)所求运动
x(t)
1 2
gt2
规律为
v0t x0
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三、原函数的性质 (xìngzhì)
(1) [ f ( x)dx]x f ( x) 要证 f ( x)dx F ( x) C,
f ( x)dx f ( x) C 只要证F ( x) f ( x).
o
x
注：原函数之所以用积 分的符号表示是因为
积分 x f (t)dt是f ( x)的一个原函数，因此 f ( x) a
的所有原函数可以表示 为 x f (t)dt C的形式。 a
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因此 f ( x)dx可以从两个角度去理解 ：
(1)从定义上看它代表 f ( x)的所有反导数.
解: 原式
( x4 1) 1 1 x2 dx
( x2 1)( x2 1) 1
1 x2
dx
(
x2
1
1
1 x2
)
dx
1 x3 x arctan x C 3
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例7
求
cos2
x 2
dx.
解:
原式
1 cos 2
x
dx
1 2

(
1dx
cos
xdx)
1 ( x sin x) C. 2
例2 设曲线通过点(1, 2)，且其上任一点 处的切线(qiēxiàn)斜率等于这点横坐标的 两倍，求此曲线方程.
解: 设曲线方程为 y f ( x),
根据(gēnjù)题dy 2x,
意知
dx
y 2xdx x2 C
y (1, 2)
o
x
由曲线(qūxiàn)通过点(1,C2) 1,
所求曲线方程为 y x2 1.
是f ( x)在该区间上对x的原函数（反导数）.
求导
图示： F ( x) 求反导 f ( x)
求原函数的运算(yùn suàn)是求导数的 逆因此运要算求(y一ù个n 函su数àn的)。原函数，就是找另一个函数，
使另一个函数的导数等于这个函数。
第三页，共20页。
例1 因为(yīn wèi)位移对时间的导数是 速度， 所以位移(wèiyí)是速度对时间的原函数 。
(2) 也可理解为积分,
x
f ( x)dx a f (t)dt C .
原函数（反导数）也可以理解为积分函数.
原函数的计算:
利用恒等变形、原函数的性质及基本原函数表 .
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2xdxdy处以初速ch取质点运动轨迹为坐标轴原点在地面指向朝上质点抛出时刻为此时质点位置为初速为设时刻t质点所在位置为运动速度加速度垂直上抛不计阻先由此求于是ysh所求运动规律为xdxdx说明
第四章 不定积分(bù dìnɡ jī fēn)
原函数（反导数）
原函数（反导数）
应用
求原函数的运算(yùn suàn)是求导数的逆运 算(yùn suàn).
(2) 它也可理解为积分,
(
x a
f (t )dt )x
f (x)
x
f ( x)dx a f (t)dt C .
因此有些书将 f ( x)dx 称为f ( x)的不定积分.
综上所述，原函数（反导数）也可以(kěyǐ) 理解为积分函数。
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例1 1 dx x C
x
dx
说明：以上几例中的被积函数都需要进行 (jìnxíng)恒等变形，才能使用基本原函数表.
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注：要判断(pànduàn)求原函数的结果 是否正确，只要验证结果的导数是否等 于被积函数.
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概念(gàiniàn) 理若解: 的导函数 是 ( B ()h.ánshù)为
如果F ( x)是f ( x)的原函数，则F ( x) C也是。 设G( x)也是f ( x)的原函数，则G( x) f ( x).
F ( x) f ( x) G( x) F ( x)
G( x) F ( x) 0 G( x) F ( x) C
G(x) F(x) C
f ( x)的任何两个原函数至多 相差一个常数.
((y1ì)n已gy知ò函数的导数，求出原来的函数关系； n(2g))：求积分.
第一页，共20页。
第一节
第四章
原函数的概念与性质
一、 原函数的概念(gàiniàn) 二、 基本(jīběn)原函数表 三、原函数的性质(xìngzhì)
第二页，共20页。
一、原函数的概念(gàiniàn)
原函数的定义(dìngyì) ：如果对于x 某区间，F ( x) f ( x)，称F ( x)
(2) [ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx; 证: [ f ( x)dx g( x)dx]
[ f ( x)dx] [ g( x)dx] f ( x) g( x).
(3) kf ( x)dx k f ( x)dx.（k是非零常数）
第十四页，共20页。
1 2
x2
C
t dt
1 t2 C 2
一般(yībānx)dx 1 x1 C ( 1)
的,
1
x1dx 1dx ln x C x
因为(yīn wèi)求原函数的运算是求导数的逆
运算，所以可以把基本导数公式反过来得到
基本的反导数公式。
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二、基本(jīběn)原函数（积分） 表