08-固有频率与振型

多自由度系统
固有频率 主振型
k k k 2 6 9 4 9 2 0 m m m
12 0.1267 ,
k m
2 2 1.2726 ,
2
3
解方程得到
k m
32 3.1007
k m
求出系统的三个固有频率为
1 0.3559
k , m
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多自由度系统
固有频率 主振型
对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有频率 和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
A(i)为对应于ωi的特征矢量。它表示系统在以ωi的频率作自 由振动时，各物块振幅的相对大小，称之为第i阶主振型，也 称固有振型或主模态。 对于任何一个n自由度振动系统，总可以找到n个固有 频率和与之对应的n阶主振型
A1 A1(1) 1 A2 1 An A1 2 2 A A2 2 2 An A n A1( n ) (n) A2 (n) An
归一化后，得到三个主振型
A1 . 10000 10000 . . 10000 , A 2 . 10000 0.2808 0.6404 , A1 . 10000 17808 . 0.3904

(i ) 令 An 1 ，于是可得第i阶主振型矢量为
Ai A1(i )

(i ) A2
1

T
在主振型矢量中，规定某个元素的值为 1 ，并进而确定其 它元素的过程称为归一化。
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固有频率 主振型
2k K k 0
k 2k k
0 k k
2 将M和K代入频率方程 K M 0
2k 2 m k 0
k 2k 2 m k
0 k k 2 2 m
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0
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A2
An
T
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固有频率 主振型
(K 2M)A 0
B K 2M
特征矩阵
要使A有不全为零的解，必须使其系数行列式等于零。于
是得到该系统的频率方程(或特征方程)。
K 2M 0
式是关于ω2的n次多项式，由它可以求出n个固有频率(或称 特征值)。因此，n个自由度振动系统具有n个固有频率。
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固有频率 主振型
例1 图是三自由度振动系统，设k1= k2= k3= k， m1= m2= m， m3= 2m，试求系统的固有频率和主振型。 解：选择x1、 x2、 x3坐标如图所示。则系统的质量矩阵和刚 度矩阵分别为
m 0 0 M 0 m 0 0 0 2m
特征矩阵为
k 2 m k 0 B k 2k 2 m k 2 0 k k 2 m
可得到频率方程
(2m3 4 7km2 2 4k 2m) 2 0
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固有频率 主振型
(2k 2 m)(k 2 2 m) k 2 adj B k (k 2 2 m) 2 k (2k 2 m)(k 2 2 m) k ( 2 k 2 m) k ( 2 k 2 m) ( 2 k 2 m) 2 k 2 k2 k (k 2 2 m)
, A1
. 10000 17808 . 0.3904
这种振型是与零固有频率对应的称之为零振型。刚度矩
阵 K 0 是半正定系统。而且，在其运动方向上系统的
外力的合力为零，是动量守恒系统。
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多自由度系统
固有频率与振型
固有频率 主振型
主坐标和正则坐标
固有频率相等的情形
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固有频率 主振型
x K x 0 M
1 m12 x 2 m1n x n k 11 x1 k 12 x 2 k 1n x n 0 m11 x m x 2 m2 n x n k 21 x1 k 22 x 2 k 2 n x n 0 21 x1 m22 x1 mn 2 x 2 mnn x n k n1 x1 k n 2 x 2 k nn x n 0 mn1
所以伴随矩阵的每一列就是主振型矢量或者差一常数因子。
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固有频率 主振型
当运动微分方程是位移方程时，仍可设其解具有 代入位移方程 x 0 Mx
xi Ai sin(t )
sin(t )
主振型矢量也可以利用特征矩阵的伴随矩阵来求得。
1 2 1 特征矩阵 用矩阵 A的第 j 列的代数余子 B i行第 K M B adj B 逆矩阵 B 式把第j 行第i 列的元素替换掉得到 代入 adjA。 就是A的伴随矩阵，记作 乘以 B I B adj B i 任 BB 何 i B i I Bi adj Bi A Bi 0 非 零 Bi adj Bi 0 列 adj Bi 比较 成 (K i2M)A(i ) 0 比 例
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固有频率 主振型
例4 有三个具有质量的小球，置于一根张紧的钢丝上如图所示。 假设钢丝中的拉力T很大，因而各点的横向位移不会使拉力有 明显的变化。设m1= m2= m3= m ，尺寸如图所示，试用位移方 程求该系统的固有频率和主振型。 解：系统的质量矩阵是
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固有频率 主振型
A1
. 10000 10000 . . 10000
, A 2
. 10000 0.2808 0.6404
于是，得到
A T KA T 0 A MA
2
ATMA 0
AT KA 0
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固有频率 主振型
ATMA 0，
ATKA 0
频率方程中所有的固有频率值都是实数，并且是正数或为 零。通常刚度矩阵为正定的称之为正定系统；刚度矩阵为半 正定的称之为半正定系统。对应于正定系统的固有频率值是 正的；对应于半正定系统的固有频率值是正数或为零。 一般的振动系统的 n 个固有频率的值互不相等 ( 也有特殊情 况)。将各个固有频率按照由小到大的顺序排列为
设取其第三列(计算时可只求出这一列)，将ω1值代入，得到第一 . 10000 阶主振型为
A1 18733 . 2.5092
得到第二、三阶主振型为
. 10000 0.7274 0.4709 . 10000 11007 . 0.2115
设n自由度系统运动微分方程的解为
xi Ai sin(t )
i 1,2,3,n
即设系统的各坐标作同步谐振动。上式又可表示为
x A sin(t )
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固有频率 主振型
x K x 0 M
0 1 2 n
其中最低阶固有频率ω 1称为第一阶固有频率或称基频，然后 依次称为二阶、三阶固有频率等。
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固有频率 主振型
(K 2M)A 0
2 (i ) 对应于ω i可以求得A(i)，它满足 (K i M)A 0
可得主振型
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固有频率 主振型
例2 在例1中，若k1 =0, 求系统的固有频率和主振型。 解： k1 0 相当于图所示系统中去掉这个弹簧，这时刚度矩阵为
k K k 0 k 2k k 0 k k
x A sin(t )
将解式代入系统运动微分方程，并消去 sin(t ) ，得到
KA 2MA 0
KA 2MA
(K 2M)A 0
A1 A2 A A1 An
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固有频率 主振型
K 2M 0
下面对其取值情况进行讨论。
KA 2MA
前乘以 A T
可得到
A T KA 2 A T MA
由于系统的质量矩阵M是正定的，刚度矩阵K是正定的或半正
定的，因此有
2 1.12810
k , m
3 1.7609
k m
再求特征矩阵的伴随矩阵
2k 2 m k 0 B K 2M k 2k 2 m k 2 0 k k 2 m
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固有频率 主振型
解出 12 0,
2 2 0.7192
k , m
32 2.7808
k , m
k m
3 1.6676
k m
得到三个固有频率
1 0,
2 0.8481
1, 2 , 3
分别代入的第三列
adj B
k2 2 k ( k m) (k 2 m)(2k 2 m) k 2
i 1,2,3,n
2 MA A 0
L M
(M 1
1

2
I
2
I) A 0
特征矩阵
频率方程
M
1

2
I 0
求出n个固有频率，其相应的主振型也可从特征矩阵的伴随矩 阵adjL将ω i值代入而求出.
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A( 2 )
A 3
三个主振型由图所示
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固有频率 主振型
2 主振型也可由式 (K M)A 0 求得
1, 2 , 3
代入
(K 2M)Ai = 0
i 归一化后，即令 A1 1 (i 1 , 2 , 3)