中考一模检测 数学试题 含答案解析

一、选择题(每小题3分,共计36分)
1.如图,若数轴上不重合的A、B两点到原点的距离相等,则点B所表示的数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
2.在探索因式分解的公式时,可以借助几何图形来解释某些公式．如图,从左图到右图的变化过程中,解释的因
式分解公式是( )
A．(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B．a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
C．a2+b2=(a+b)2D．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
3.如果a2+2a﹣3=0,那么代数式(a
4
a
-)•
2
2
a
a-
的值是( )
A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣3
4.x的取值范围在数轴上表示为( )
A．B．
C．D．
5.《九章算术》中有”盈不足术”的问题,原文如下：”今有共買羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人
数,羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元；每人出7元,则差3元求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人,则根据题意可列方程为( )
A ．5x +45=7x +3
B ．5x +45=7x ﹣3
C ．5x ﹣45=7x +3
D ．5x ﹣45=7x ﹣3
6.在矩形ABCD 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,设小长方形的长、宽分别为x cm,y cm,则下列方程组正确的是( )
A ．26314x y y x y -+=⎧⎨+=⎩
B ．314
26x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．31426x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．3146x y x y +=⎧⎨+=⎩
7.对于实数a 、
b ,定义一种新运算”⊗”为：2
3
a b a ab
⊗=-,这里等式右边是通常的四则运算．若(﹣3)⊗x =2⊗x ,则x 的值为( ) A ．﹣2
B ．﹣1
C ．1
D ．2
8.已知a ,b 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根,则代数式a 2+b 2的值是( ) A ．1
B ．9
C ．7
D ．11
9.光明文具店销售某品牌钢笔,当它的售价为14元/支时,月销量为180支,若每支钢笔的售价每涨价1元,月销量就相应减少15支,设每支钢笔涨价后的售价为x 元/支,若使该种钢笔的月销量不低于105支,则x 应满足的不等式为( ) A ．180﹣15x ≥105 B ．180﹣(x ﹣14)≤105
C ．180+15(x +14)≥105
D ．180﹣15(x ﹣14)≥105
10.如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy ,使”帅”的坐标为(﹣1,﹣2)”马”的坐标为(2,﹣2),则”兵”的坐标为( )
A．(﹣3,1) B．(﹣2,1) C．(﹣3,0) D．(﹣2,3)
11.直线y=﹣2x﹣1关于y轴对称的直线与直线y=﹣2x+m的交点在第四象限,则m的取值范围是( )
A．m>﹣1 B．m<1 C．﹣1<m<1 D．﹣1≤m≤1
12.二次函数y
1
2
(x﹣4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )
A．向上,直线x=4,(4,5) B．向上,直线x=﹣4,(﹣4,5)
C．向上,直线x=4,(4,﹣5) D．向下,直线x=﹣4,(﹣4,5)
二、填空题(每小题3分,共计12分)
13.将一张矩形纸片ABCD沿直线EF折成如图所示的形状,若∠HED=50°,则∠EFG=__________．
14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于点E,若BC=4,△AOE的面积为6,
则BE=__________．
15.若△ABC∽△DEF,且相似比是2：3,它们周长之和是40,则△ABC的周长是__________．
16.如图,在△ABC中,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,点F为BC边上一点,AF与DE交于点G．若
1
3 DE
BC
=,
则AG
GF
=__________．
三、简答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分)
17.先化简：(1－
3
2
x)÷244
x
x x
－1
,再将x=－1代入求值．
18.如图所示,在菱形ABCD中,点E.F分别为A D.CD边上的点,DE＝DF,
求证：∠1＝∠2．
19.某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求,随即抽样调查了该校的部分学生,并根据其中两个单选问题的
调查结果,绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组(单位：元) 频数频率
0<x≤2 60 0.15
2<x≤4 180 c
4<x≤6 92 0.23
6<x≤8 a0.12
x>8 20 0.05
合计b 1
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中,a=__________,b=__________,c=__________．
(2)扇形统计图中,m的值为__________,”甜”所对应的圆心角的度数是__________．
(3)该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备多少份较好？
20.如图是长沙九龙仓国际金融中心,位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角,投资160亿元人民币,总建
筑面积达98万平方米,中心主楼BC高452m,是目前湖南省第一高楼,大楼顶部有一发射塔AB,已知和BC
处于同一水平面上有一高楼DE,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,tanα
24
7
,在顶端E点测得A的仰
角为45°,AE
(1)求两楼之间的距离CD；
(2)求发射塔AB的高度．
21.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y
2
x
-
=的图象相交于A(﹣1,m),B(n,﹣1)两点．
(1)求出这个一次函数的表达式．
(2)求△OAB的面积．
(3)直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
22.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成,其中里程费按p元/千米计算,
耗时费按q元/分钟计算(总费用不足10元按10元计价)．李明、王刚两人用该打车方式出行,按上述计价规则,其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表：
里程数s(千米) 耗时t(分钟) 车费(元)
李明8 8 12
王刚10 12 16
(1)求p,q的值；
(2)若张华也用该打车方式出行,平均车速为50千米/时,行驶了15千米,那么张华的打车总费用为多少？ 23.如图,AG 是∠HAF 的平分线,点E 在AF 上,以AE 为直径的⊙O 交AG 于点D,过点D 作AH 的垂线,垂足为点C,交AF 于点B ．
(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；
(2)若AC=2CD,设⊙O 的半径为r,求BD 的长度．
24.如图,抛物线62
++=bx ax y 经过点A (-2,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为)41(<<m m .连接AC ,BC ,DB ,D C.
（1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的
4
3
时,求m 的值； （3）在(2)的条件下,若点M 是x 轴上的一个动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
答案与解析
一、选择题(每小题3分,共计36分)
1.如图,若数轴上不重合的A、B两点到原点的距离相等,则点B所表示的数为( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
【解析】∵A、B两点到原点的距离相等,A为﹣2,
则B为﹣2的相反数,即B表示2．
2.在探索因式分解的公式时,可以借助几何图形来解释某些公式．如图,从左图到右图的变化过程中,解释的因
式分解公式是( )
A．(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B．a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
C．a2+b2=(a+b)2D．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
【答案】B
【解析】如图,从左图到右图的变化过程中,解释的因式分解公式是：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)．
3.如果a2+2a﹣3=0,那么代数式(a
4
a
-)•
2
2
a
a-
的值是( )
A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣3 【答案】A
【解析】原式24a a -=•
2
2a a - 22a a a +-=（）（）•
2
2
a a - =a (a +2)=a 2+2a ,
∵a 2+2a ﹣3=0,∴a 2+2a =3, 故原式=3．
4.x 的取值范围在数轴上表示为( ) A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】由题意可知：30
10x x -≥⎧⎨
-≠⎩
,∴x ≤3且x ≠1． 5.《九章算术》中有”盈不足术”的问题,原文如下：”今有共買羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数,羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元；每人出7元,则差3元求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x 人,则根据题意可列方程为( ) A ．5x +45=7x +3 B ．5x +45=7x ﹣3
C ．5x ﹣45=7x +3
D ．5x ﹣45=7x ﹣3
【答案】A
【解析】设买羊人数为x 人,则根据题意可列方程为5x +45=7x +3．
6.在矩形ABCD 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,设小长方形的长、宽分别为
x cm,y cm,则下列方程组正确的是( )
A ．26314x y y x y -+=⎧⎨+=⎩
B ．314
26x y x y +=⎧⎨+=⎩
C ．314
26x y x y +=⎧⎨-=⎩
D ．314
6x y x y +=⎧⎨
+=⎩
【答案】A
【解析】设小长方形的长为x ,宽为y ,如图可知,314
26x y x y y +=⎧⎨+-=⎩
．
7.对于实数a 、
b ,定义一种新运算”⊗”为：2
3
a b a ab
⊗=-,这里等式右边是通常的四则运算．若(﹣3)⊗x =2⊗x ,则x 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1
C ．1
D ．2
【答案】B
【解析】根据题中的新定义化简得：
33
9342x x
=+-,
去分母得：12﹣6x =27+9x , 解得：x =﹣1,
经检验x =﹣1是分式方程的解．
8.已知a ,b 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根,则代数式a 2+b 2的值是( ) A ．1 B ．9
C ．7
D ．11
【答案】D
【解析】∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根,
∴a+b=﹣3,ab=﹣1,
∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(﹣3)2﹣2×(﹣1)=9+2=11．
9.光明文具店销售某品牌钢笔,当它的售价为14元/支时,月销量为180支,若每支钢笔的售价每涨价1元,月销
量就相应减少15支,设每支钢笔涨价后的售价为x元/支,若使该种钢笔的月销量不低于105支,则x应满足的不等式为( )
A．180﹣15x≥105 B．180﹣(x﹣14)≤105
C．180+15(x+14)≥105 D．180﹣15(x﹣14)≥105
【答案】D
【解析】依题意有180﹣15(x﹣14)≥105．
10.如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy,使”帅”的坐标为(﹣1,﹣2)”马”的坐标为(2,﹣2),则”兵”的坐标
为( )
A．(﹣3,1) B．(﹣2,1) C．(﹣3,0) D．(﹣2,3)
【答案】A
【解析】如图所示：可得”炮”是原点,
则”兵”位于点：(﹣3,1)．
11.直线y=﹣2x﹣1关于y轴对称的直线与直线y=﹣2x+m的交点在第四象限,则m的取值范围是( )
A．m>﹣1 B．m<1 C．﹣1<m<1 D．﹣1≤m≤1
【答案】C
【解析】联立212y x y x m =-⎧⎨
=-+⎩,解得1412m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, ∵交点在第四象限,∴1
04
102
m m +⎧>⎪⎪⎨
-⎪<⎪⎩①②, 解不等式①得,m >﹣1,解不等式②得,m <1, 所以,m 的取值范围是﹣1<m <1． 12.二次函数y 1
2
=
(x ﹣4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( ) A ．向上,直线x =4,(4,5) B ．向上,直线x =﹣4,(﹣4,5) C ．向上,直线x =4,(4,﹣5) D ．向下,直线x =﹣4,(﹣4,5)
【答案】A
【解析】二次函数y 1
2
=
(x ﹣4)2+5的图象的开口向上、对称轴为直线x =4、顶点坐标为(4,5)． 二、填空题(每小题3分,共计12分)
13.将一张矩形纸片ABCD 沿直线EF 折成如图所示的形状,若∠HED =50°,则∠EFG =__________．
【答案】65°
【解析】设∠EFG =α,则由折叠可得∠BFE =α, ∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠BFE =α,∠FEH =α+50°
,
由折叠可得∠AEF=∠HEF=α+50°,又∵∠AED=180°,
∴α+50°+α=180°,解得α=65°,∴∠EFG=65°．
14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于点E,若BC=4,△AOE的面积为6,
则BE=__________．
【答案】
【解析】连接E C．∵四边形ABCD是矩形
∴AO=CO,且OE⊥AC,∴OE垂直平分AC∴CE=AE,S△AOE=S△COE=6,
∴S△AEC=2S△AOE=12．∴1
2
AE•BC=12,
又∵BC=4,∴AE=6,∴EC=6．∴BE==
15.若△ABC∽△DEF,且相似比是2：3,它们周长之和是40,则△ABC的周长是__________．
【答案】16
【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为2：3,∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：3,∴△ABC的周长
2 2
3 =⨯
+
40=16．
16.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,交AB 于点D ,交AC 于点E ,点F 为BC 边上一点,AF 与DE 交于点G ．若1
3
DE BC =,则
AG
GF
=__________．
【答案】
12
． 【解析】∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴
1
3
AD DE AB BC ==．同理：△ADG ∽△ABF , ∴
13AG AD AF AB ==,又∵AF =AG +GF ,∴11
312
AG AG GF AF AG ===--． 三、简答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分)
17.先化简：(1－
32
x )÷
2
44
x x x －1
,再将x=－1代入求值． 【答案】见解析.
【解析】先把括号内的分式进行通分相减,再把除法化为乘法进行约分化简,最后代入求值．
原式=2x x －1
×2
2x x －1
=x+2．
当x=－1时,原式=－1+2=1．
18.如图所示,在菱形ABCD 中,点E.F 分别为A D.CD 边上的点,DE ＝DF , 求证：∠1＝∠2．
【答案】见解析.
【解析】由菱形的性质得出AD＝CD,由SAS证明△ADF≌△CDE,即可得出结论．
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AD＝CD,
在△ADF和△CDE中,,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠1＝∠2．
19.某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求,随即抽样调查了该校的部分学生,并根据其中两个单选问题的
调查结果,绘制了如下尚不完整的统计图表．
学生能接受的早餐价格统计表
价格分组(单位：元) 频数频率
0<x≤2 60 0.15
2<x≤4 180 c
4<x≤6 92 0.23
6<x≤8 a0.12
x>8 20 0.05
合计b 1
根据以上信息解答下列问题：
(1)统计表中,a=__________,b=__________,c=__________．
(2)扇形统计图中,m的值为__________,”甜”所对应的圆心角的度数是__________．
(3)该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备多少份较好？
【解析】(1)b=60÷0.15=400,a=400×0.12=48,c=180÷400=0.45,
故答案为：400,48,0.45；
(2)m%=1﹣26%﹣12%﹣23%﹣9%=30%,即m的值是30,
“甜”所对应的圆心角的度数是：360°×30%=108°,故答案为：30,108°；
(3)2000×26%=520(份),
答：该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备520份较好．
20.如图是长沙九龙仓国际金融中心,位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角,投资160亿元人民币,总建
筑面积达98万平方米,中心主楼BC高452m,是目前湖南省第一高楼,大楼顶部有一发射塔AB,已知和BC
处于同一水平面上有一高楼DE,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,tanα
24
7
,在顶端E点测得A的仰
角为45°,AE
(1)求两楼之间的距离CD；
(2)求发射塔AB的高度．
【解析】(1)过点E作EF⊥AC于点F,
∵∠AEF=45°,AE∴EF=140,
由矩形的性质可知：CD=EF=140,故两楼之间的距离为140m；
(2)在Rt△ADC中,tanα
AC
CD
=,∴AC=140
24
7
⨯=480,∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28,
故发射塔AB的高度为28m．
21.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y
2
x
-
=的图象相交于A(﹣1,m),B(n,﹣1)两点．
(1)求出这个一次函数的表达式．
(2)求△OAB的面积．
(3)直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．
【解析】(1)把A(﹣1,m),B(n,﹣1)分别代入y
2
x
-
=得﹣m=﹣2,﹣n=﹣2,解得m=2,n=2,
所以A点坐标为(﹣1,2),B点坐标为(2,﹣1),
把A(﹣1,2),B(2,﹣1)代入y=kx+b得
2
21
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=-
⎩
,解得
1
1
k
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
,
所以这个一次函数的表达式为y=﹣x+1；
(2)设直线AB交y轴于P点,如图,
当x=0时,y=1,所以P点坐标为(0,1),
所以S△OAB=S△AOP+S△BOP
1
2
=⨯1×1
1
2
+⨯1×2
3
2
=；
(3)使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x<﹣1或0<x<2．
22.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成,其中里程费按p元/千米计算,
耗时费按q元/分钟计算(总费用不足10元按10元计价)．李明、王刚两人用该打车方式出行,按上述计价规则,其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表：
里程数s(千米) 耗时t(分钟) 车费(元)
李明8 8 12
王刚10 12 16
(1)求p,q的值；
(2)若张华也用该打车方式出行,平均车速为50千米/时,行驶了15千米,那么张华的打车总费用为多少？【解析】(1)小明的里程数是8km,时间为8min；小刚的里程数为10km,时间为12min．
由题意得
8812 101216
p q
p q
+=
⎧
⎨
+=
⎩
,
解得
1
1
2 p
q
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
；
(2)张华的里程数是15km,时间为18min．
则总费用是：15p+18q=24(元)．
答：总费用是24元．
23.如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B．
(1)求证：直线BC是⊙O的切线；
(2)若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度．
【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC,证明OD⊥CB,可得结论；
(2)在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,证明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得：
,代入可得结论．
【解答】(1)证明：连接OD,
∵AG是∠HAF的平分线,
∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,
∴∠OAD=∠ODA,
∴∠CAD=∠ODA,
∴OD∥AC,
∵∠ACD=90°,
∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,
∵D在⊙O上,
∴直线BC是⊙O的切线；(4分)
(2)解：在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,
连接DE,
∵AE是⊙O的直径,
∴∠ADE=90°,
由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,
∴△ACD∽△ADE,
∴,
即,
∴a=,
由(1)知：OD ∥AC,
∴,即,
∵a=,解得BD=r ．
24.如图,抛物线62++=bx ax y 经过点A (-2,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,
设点D 的横坐标为)41(<<m m .连接AC ,BC ,DB ,D C.
（4）求抛物线的函数表达式；
（5）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的4
3时,求m 的值； （6）在(2)的条件下,若点M 是x 轴上的一个动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.
【答案】见解析.
【解析】(1)抛物线c bx ax y ++=2
经过点A (-2,0),B (4,0),
∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得3432
a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线的函数表达式为233642
y x x =-++ (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点G ,作CF ⊥DE ,垂足为F . ∵点A 的坐标为(-2,0),∴OA =2
由0=x ,得6=y ,∴点C 的坐标为(0,6),∴OC =6
∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=,∵S △BCD =43S △AOC =29643=⨯ 设直线BC 的函数表达式为n kx y +=,
由B ,C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩,解得326
k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的函数表达式为62
3+-=x y . ∴点G 的坐标为3(,6),2
m m -+ ∴2233336(6)34224
DG m m m m m =-++--+=-+ ∵点B 的坐标为(4,0),∴OB =4
S △BCD =S △CDG +S △BDG =1
111()2222
DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅ =221
33346242
m m m m -+⨯=-+（） ∴239622
m m -+=,解得11=m (舍),32=m ,∴m 的值为3
(3)1234(8,0),(0,0),(M M M M
如下图所示,以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图 以BD 为边进行构图,有3种情况,采用构造全等发进行求解. ∵D 点坐标为)415,3(,所以21,N N 的纵坐标为4
15 233156424
x x -++=,解得3,121=-=x x (舍) 可得2215(1,),(0,0)4
N M -∴
∴34,N N 的纵坐标为415-
时,2123315611424x x x x -++=-==+，
∴3315(1),4N M +-∴,4415(1),(4
N M -∴ 以BD 为对角线进行构图,有1种情况,采用中点坐标公式进行求解. ∵111151515(1,),(34(1),0),(8,0)444
N M M -∴+--+-∴。