2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：三角形综合题(五)

2021年九年级数学中考复习分类压轴大题专题：

三角形综合题（五）

1．思维启迪：

（1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝200米，那么A，B间的距离是米．

思维探索：

（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE 绕点A顺时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点P是线段BD的中点，连接PC，PE．

①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：PC与PE的数量关系和位置关系分别是；

②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断PC与PE的数量关系和位置关系，

并证明你的结论；

③当α＝150°时，若BC＝3，DE＝1，请直接写出PC2的值．

2．数学拓展课上，老师给出如下定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍，那么称这个三角形为“趣味三角形”．

理解：

（1）如图1，在△ABC 中，AB ＝AC ＝，BC ＝2，试判断△ABC 是否为“趣味三角形”，

并说明理由． 发现：

（2）如图2，已知△ABC 是“趣味三角形”，AD ，BE ，CF 分别是BC ，AC ，AB 边上的中线，且AD ＝BC ，试探究BE 和CF 之间的位置关系． 应用：

（3）如图3，直线l 1∥l 2，l 1与l 2之间的距离为2，点B ，C 在直线l 1上，点A 在直线

l 2上，AD ，BE ，CF 分别是△ABC 的边BC ，AC ，AB 上的中线．若△ABC 是“趣味三角形”，BC ＝2

．求BE 2+CF 2的值．

3．在平面直角坐标系中，点A（a，6），B（4，b），

（1）若a，b满足（a+b﹣5）2+|2a﹣b﹣1|＝0，

①求点A，B的坐标；

②点D在第一象限，且点D在直线AB上，作DC⊥x轴于点C，延长DC到P使得PC＝DC，

若△PAB的面积为10，求P点的坐标；

（2）如图，将线段AB平移到CD，且点C在x轴负半轴上，点D在y轴负半轴上，连接AC交y轴于点E，连接BD交x轴于点F，点M在DC延长线上，连EM，3∠MEC+∠CEO＝180°，点N在AB延长线上，点G在OF延长线上，∠NFG＝2∠NFB，请探究∠EMC和∠BNF 的数量关系，给出结论并说明理由．

4．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，以CA为边在∠ACB的另一侧作∠ACM＝∠ACB，点D为射线CM上任意一点，在射线CM上载取CE＝BD，连接AD、AE．

（1）如图1，当点D落在线段BC的延长线上时，求证：△ABD≌△ACE；

（2）在（1）的条件下，求出∠ADE的度数；

（3）如图2，当点D落在线段BC（不含端点）上时，作AH⊥BC，垂足为H，作AG⊥EC，垂足为G，连接HG，判断△GHC的形状，并说明理由．

5．如图1，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴，点B在x轴负半轴，连接AB，∠ABO ＝45°，AB＝2，

（1）求点B坐标；

（2）如图2，点D是线段AB上一点，连接OD，以OD为直角边做等腰直角△DOE，∠DOE ＝90°，设点D的横坐标为m，求点E的坐标；（用含m的代数式表示）

（3）在（2）的条件下，如图3，在BA延长线上有一点F，过点F作DE的平行线，交x 轴于点H，延长OE交FH于点G，若AF＝GH，DO＝FD，求点F的坐标．

6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 为BC 边所在直线上的一个动点（不与点B 、C 重合），在AD 的右侧作△ADE ，使得AE ＝AD ，∠DAE ＝∠BAC ，连接CE ． （1）求证：∠ABC ＝∠ACE ；

（2）当点D 为线段BC 的中点时，判断DE 与AC 的位置关系，并说明理由； （3）试探究∠DAE 与∠BCE 的数量关系，并直接写出其结果 ．

7．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为（a ，0），（2，﹣4），（c ，0），且

a ，c 满足方程（2a ﹣4）x c ﹣4+y

＝0为二元一次方程．

（1）求A ，C 的坐标．

（2）若点D 为y 轴正半轴上的一个动点．

①如图1，∠AOD +∠ADO +∠DAO ＝180°，当AD ∥BC 时，∠ADO 与∠ACB 的平分线交于点P ，求∠P 的度数；

②如图2，连接BD ，交x 轴于点E ．若S △ADE ≤S △BCE 成立．设动点D 的坐标为（0，d ），求d 的取值范围．

8．已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E为△ABC内一点，连接AE，CE，CE⊥AE，过点B作BD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）如图1，求证：BD＝AE；

（2）如图2，点H为BC的中点，分别连接EH，DH，求∠EDH的度数；

（3）如图3，在（2）的条件下，点M为CH上一点，连接EM，点F为EM的中点，连接FH，过点D作DG⊥FH，交FH的延长线于点G，若GH：FH＝6：5，△FHM的面积为30，∠EHB＝∠BHG，求线段EH的长．

9．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的BC边在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OB＝a，OA＝a，△ABC的面积为36．

（1）求点A的坐标；

（2）动点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿B→A→C的方向运动．设运动时间为t，求t为何值时，过O、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍；

（3）设点D为AB的中点，连接CD，在x轴上是否存在点Q，使△DCQ是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．