2016-2017年河北省衡水市深州中学高一(下)期末数学试卷(解析版)

2016-2017学年河北省衡水市深州中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，函数f（x）＝的定义域为集合B，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，2]
2．（5分）已知且，则sin（等于（）A．B．﹣C．D．﹣
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（1，4）上单调递减的为（）A．y＝3x4﹣2x B．y＝3|x|C．y＝e x﹣e﹣x D．
4．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则AC＝（）A．13B．C．37D．
5．（5分）某公司为对本公司的160名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为1，2，3，…，159，160，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（）
A．141B．142C．149D．150
6．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3
7．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣8
8．（5分）已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（）A．B．﹣C．﹣D．
9．（5分）如图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）
A．B．C．1D．
10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．直线x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin2x 11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，在[0，上随机取一个数a，则f（a）＞0的概率是（）
A．B．C．D．
12．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设函数f（x）＝3x+9x，则f（log32）＝．
14．（5分）设向量，是夹角为的单位向量，若＝+，则||＝．15．（5分）一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，若方程x2﹣ax﹣b＝0至少有一根m∈{1，2，3，4}，就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率为．
16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A＝4，AB＝AC＝2，BC＝6，P A⊥平面ABC，则此三棱锥的外接球的半径为．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的周期，并写出其单调递减区间；
（2）当时，求f（x）的最大值与最小值．
18．（12分）2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数；
（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．
19．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
20．（12分）已知向量＝，＝，且
（1）求及||
（2）若f（x）＝﹣2λ||的最小值为，求正实数λ的值．
21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2＝b2+3ac （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b＝2，且sin B+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的点P的坐标．
2016-2017学年河北省衡水市深州中学高一（下）期末数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求
1．（5分）已知集合A＝{x|x＞0}，函数f（x）＝的定义域为集合B，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，2]D．（0，2]
【考点】1E：交集及其运算．
【解答】解：B＝{x|x≤2}
⇒A∩B＝（0，+∞）∩（﹣∞，2]＝（0，2]，
故选：D．
2．（5分）已知且，则sin（等于（）A．B．﹣C．D．﹣
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【解答】解：∵且，
∴sinα＝＝，
∴sin（＝sinα+cosα＝×（﹣）＝﹣．
故选：B．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数，又在（1，4）上单调递减的为（）A．y＝3x4﹣2x B．y＝3|x|C．y＝e x﹣e﹣x D．
【考点】2K：命题的真假判断与应用；3N：奇偶性与单调性的综合．
【解答】解：y＝3x4﹣2x为非奇非偶函数，排除A；
y＝3|x|是偶函数但在（1，4）上单调递增，排除B，
y＝e x﹣e﹣x为奇函数，排除C，
，是偶函数，又在（1，4）上单调递减，正确；
故选：D．
4．（5分）在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则AC＝（）
A．13B．C．37D．
【考点】HR：余弦定理．
【解答】解：在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝60°，则AC＝
＝＝
故选：B．
5．（5分）某公司为对本公司的160名员工的身体状况进行调查，先将员工随机编号为1，2，3，…，159，160，采用系统抽样的方法（等间距地抽取，每段抽取一个个体）将抽取的一个样本．已知抽取的员工中最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是（）
A．141B．142C．149D．150
【考点】B4：系统抽样方法．
【解答】解：根据系统抽样原理，抽取数据的间距为21﹣5＝16，共有＝10组，
最小的两个编号为5，21，那么抽取的员工中，最大的编号应该是
9×16+5＝149．
故选：C．
6．（5分）由直线y＝x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2＝1引切线，则切线长的最小值为（）A．1B．2C．D．3
【考点】J7：圆的切线方程．
【解答】解：切线长的最小值是当直线y＝x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）
到直线的距离为d＝，圆的半径为1，故切线长的最小值为
，
故选：C．
7．（5分）某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣8
【考点】EF：程序框图．
【解答】解：模拟程序的运行，可得：
i＝0，x＝1，y＝1，
不满足条件i＞3，y＝2，x＝﹣1，i＝1，
不满足条件i＞3，y＝1，x＝﹣2，i＝2，
不满足条件i＞3，y＝﹣1，x＝﹣1，i＝3，
不满足条件i＞3，y＝﹣2，x＝1，i＝4，
满足条件i＞3，退出循环，输出x+y的值为﹣1．
故选：B．
8．（5分）已知cos（α﹣）+sinα＝，则sin（α+）的值是（）A．B．﹣C．﹣D．
【考点】GP：两角和与差的三角函数．
【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα＝cosα+sinα＝sin（α+）＝，
∴sin（α+）＝，
则sin（α+）＝﹣sin（α+）＝﹣，
故选：B．
9．（5分）如图所示，某几何体的三视图中，正视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积为（）
A．B．C．1D．
【考点】L!：由三视图求面积、体积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【解答】解：由三视图可知，
该几何体是一个底面为边长为1的正方形的四棱锥，
高为1，
所以它的体积，
故选：B．
10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）
A．函数f（x）的最小正周期为
B．直线x＝﹣是函数f（x）图象的一条对称轴
C．函数f（x）在区间[﹣，]上单调递增
D．将函数f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝2sin2x 【考点】H2：正弦函数的图象．
【解答】解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象，
可得A＝2，图象的一条对称轴方程为x＝＝，一个对称中心为为（，0），
∴＝＝，∴T＝，∴ω＝2，
代入（，2）可得2＝2sin（2×+φ），∵|φ|＜π，∴φ＝﹣，
∴f（x）＝2sin（2x﹣），将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得g（x）＝2sin[2（x+）﹣]＝2sin2x，
故选：D．
11．（5分）已知函数f（x）＝2sin（2x）﹣1，在[0，上随机取一个数a，则f（a）＞0的概率是（）
A．B．C．D．
【考点】CF：几何概型．
【解答】解：由f（x）＝2sin（2x）﹣1，且f（a）＞0，
得2sin（2a）﹣1＞0，即sin（2a），
∵x∈[0，，
∴x∈（，]，
则在[0，上随机取一个数a，使f（a）＞0的概率是．
故选：A．
12．（5分）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）+（x﹣b）（x﹣c）+（x﹣c）（x﹣a）的两个零点分别位于区间（）
A．（a，b）和（b，c）内B．（﹣∞，a）和（a，b）内
C．（b，c）和（c，+∞）内D．（﹣∞，a）和（c，+∞）内
【考点】52：函数零点的判定定理．
【解答】解：∵a＜b＜c，∴f（a）＝（a﹣b）（a﹣c）＞0，f（b）＝（b﹣c）（b﹣a）＜0，f（c）＝（c﹣a）（c﹣b）＞0，
由函数零点存在判定定理可知：在区间（a，b），（b，c）内分别存在一个零点；
又函数f（x）是二次函数，最多有两个零点，
因此函数f（x）的两个零点分别位于区间（a，b），（b，c）内．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）设函数f（x）＝3x+9x，则f（log32）＝6．
【考点】4H：对数的运算性质．
【解答】解：∵函数f（x）＝3x+9x，
∴f（log32）＝＝2+＝2+4＝6．
故答案为：6．
14．（5分）设向量，是夹角为的单位向量，若＝+，则||＝1．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：∵，且，的夹角为，
∴．
则||＝||＝＝．
故答案为：1．
15．（5分）一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，若方程x2﹣ax﹣b＝0至少有一根m∈{1，2，3，4}，
就称该方程为“漂亮方程”，则方程为“漂亮方程”的概率为．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．
【解答】解：一个均匀的正四面体的表面上分别标有数字1，2，3，4，
现随机投掷两次，得到朝下的面上的数字分别为a，b，
基本事件总数n＝4×4＝16，
方程x2﹣ax﹣b＝0至少有一根m∈{1，2，3，4}包含的基本事件有：
（1，2），（2，3），（3，4），共3个，
∴方程为“漂亮方程”的概率p＝．
故答案为：．
16．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A＝4，AB＝AC＝2，BC＝6，P A⊥平面ABC，则
此三棱锥的外接球的半径为4．
【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积．
【解答】解：设△ABC外接圆半径为r，设三棱锥P﹣ABC球半径为R，
∵底面△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝6，
∴cos∠BAC＝＝﹣
∴sin∠BAC＝
∴由正弦定理，得：2r＝＝4，
解得r＝2，
设球心到平面ABC的距离为d，则由勾股定理得R2＝d2+（2）2＝（2）2+（4﹣d）2，∴d＝2，R＝4，
∴此三棱锥的外接球的半径为4．
故答案为：4．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知函数．
（1）求函数y＝f（x）的周期，并写出其单调递减区间；
（2）当时，求f（x）的最大值与最小值．
【考点】H1：三角函数的周期性；HW：三角函数的最值．
【解答】解：（1）函数．
化简可得：
＝
＝
＝，
即
函数的周期T＝．
由2kπ+
得k
∴f（x）的单调递减区间为．﹣
（2）当x时，
2x+，
∴≤sin（2x+）≤1．
故f（x）取得最大值；f（x）取得最小值．
18．（12分）2015年下学期某市教育局对某校高三文科数学进行教学调研，从该校文科生中随机抽取40名学生的数学成绩进行统计，将他们的成绩分成六段[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140）后得到如图所示的频率分布直方图．（1）求这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数；
（2）若从数学成绩[80，100）内的学生中任意抽取2人，求成绩在[80，90）中至少有一人的概率．
【考点】B7：分布和频率分布表；B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．
【解答】解：（1）由频率分上方图得：
这40名学生中数学成绩不低于120分的学生所占频率为：（0.025+0.010）×10＝0.35，
∴这40名学生中数学成绩不低于120分的学生人数为40×0.35＝14人﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）从图中知，成绩在[80，90）的人数为m1＝0.005×10×40＝2（人），
成绩在[90，100）的人数为m2＝0.010×10×40＝4（人），
设成绩在[80，90）的学生记为a，b，成绩在[90，100）的学生记为c，d，e，f．
则从成绩在[80，100）内的学生中任取2人组成的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（d，f），
（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）
其中成绩在[80，90）的学生至少有一人的基本事件有：
（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），共9种．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）
∴成绩在[80，90）的学生至少有一人的概率为p＝＝．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
19．（12分）在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D是BC的中点．
（1）求证：A1C∥平面AB1D；
（2）设M为棱CC1的点，且满足BM⊥B1D，求证：平面AB1D⊥平面ABM．
【考点】LS：直线与平面平行；L Y：平面与平面垂直．
【解答】证明：（1）记A1B∩AB1＝O，连接OD．
∵四边形AA1B1B为矩形，∴O是A1B的中点，
又∵D是BC的中点，∴A1C∥OD．…2分
又∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．…6分
注意：条件“A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D”少写一个扣除2分，两个都不写本小步4分扣完！
（2）∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC．…8分
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，
平面ABC∩平面BB1C1C＝BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C．
或利用CC1⊥平面ABC证明AD⊥平面BB1C1C．…10分
∵BM⊂平面BB1C1C，∴AD⊥BM．…12分
又∵BM⊥B1D，AD∩B1D＝D，AD，B1D⊂平面AB1D，
∴BM⊥平面AB1D．
又∵BM⊂平面ABM，
∴平面AB1D⊥平面ABM．…14分．
20．（12分）已知向量＝，＝，且
（1）求及||
（2）若f（x）＝﹣2λ||的最小值为，求正实数λ的值．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；HW：三角函数的最值．
【解答】解：（1）由题意可得＝cos cos﹣sin sin＝cos2x，
∵＝（cos+cos，sin﹣sin），
∴||＝＝＝＝2|cos x|，由且，可得||＝2cos x．
（2）若f（x）＝﹣2λ||＝cos2x﹣4λcos x＝2cos2x﹣4λcos x﹣1＝2（cos x﹣λ）2﹣1﹣2λ2的最小值为，
∵，∴cos x∈[0，1]，
①当0≤λ≤1时，则当cos x＝λ时，函数f（x）取得最小值为﹣1﹣2λ2＝﹣，求得λ＝．
②当λ＞1 时，当cos x＝1时，函数f（x）取得最小值为1﹣4λ＝﹣，解得λ＝（舍去），综上可得λ＝．
21．（12分）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）2＝b2+3ac （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b＝2，且sin B+sin（C﹣A）＝2sin2A，求△ABC的面积．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【解答】解：（Ⅰ）把（a+c）2＝b2+3ac整理得，a2+c2﹣b2＝ac，
由余弦定理有cos B＝＝＝，
∵B为三角形内角，
∴B＝；
（Ⅱ）在△ABC中，A+B+C＝π，即B＝π﹣（A+C），
∴sin B＝sin（A+C），
由已知sin B+sin（C﹣A）＝2sin2A可得：sin（A+C）+sin（C﹣A）＝4sin A cos A，
∴sin A cos C+cos A sin C+sin C cos A﹣cos C sin A＝4sin A cos A，
整理得：cos A sin C＝2sin A cos A，
若cos A＝0，则A＝，于是由b＝2，可得c＝＝，
此时△ABC的面积为S＝bc＝；
若cos A≠0，则sin C＝2sin A，由正弦定理可知，c＝2a，
代入a2+c2﹣b2＝ac整理可得：3a2＝4，
解得：a＝，进而c＝，
此时△ABC的面积S＝ac sin B＝，
∴综上所述，△ABC的面积为．
22．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．
（1）若圆C的切线在x轴、y轴上的截距相等，求切线的方程；
（2）从圆C外一点P（x1，y1）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，
求使|PM|最小的点P的坐标．
【考点】JE：直线和圆的方程的应用．
【解答】解：（1）由方程x2+y2+2x﹣4y+3＝0知（x+1）2+（y﹣2）2＝2，所以圆心为（﹣1，2），半径为．
当切线过原点时，设切线方程为y＝kx，则＝，所以k＝2±，即切线方程为y
＝（2±）x．
当切线不过原点时，设切线方程为x+y＝a，则＝，所以a＝﹣1或a＝3，即切线方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0．
综上知，切线方程为y＝（2±）x或x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；
（2）因为|PO|2+r2＝|PC|2，所以x12+y12+2＝（x1+1）2+（y1﹣2）2，即2x1﹣4y1+3＝0．
要使|PM|最小，只要|PO|最小即可．
当直线PO垂直于直线2x﹣4y+3＝0时，即直线PO的方程为2x+y＝0时，|PM|最小，
此时P点即为两直线的交点，得P点坐标（﹣，）．。