曲线积分和路径的无关性

§22.2 曲线积分和路径的无关性
一 引言
第二类曲线积分不仅与曲线的起点和终点有关，而且也与所沿的积分路径有关。

对同一个起点和同一个重点，沿不同的路径所得到的第二类曲线积分一般是不相同的。

在什么样的条件下第二类曲线积分与积分路径无关而仅与曲线的起点和重点有关呢？下面我们在平面中情形来讨论这个问题。

定理1：若函数(),P x y ，(),Q x y 在区域D 上有连续的偏导数，D 是单连通区域，则下列命题等价：
⑴ 对D 内任意一条闭曲线C ，有
()(),,0C P x y dx Q x y dy +=⎰。

⑵ 对D 内任意一条闭曲线l ，曲线积分
()(),,l
P x y dx Q x y dy +⎰
与路径无关（只依赖曲线的端点）。

⑶存在可微函数(),U x y ，使得D 内成立dU Pdx Qdy =+； ⑷P Q y x
∂∂=∂∂在D 内处处成立。

定义1：当曲线积分和路径无关时，即满足上面的诸条件时，如令点()00,A x y 固定而点(),B x y 为区域内任意一点，那么
()()()
00,,,x y x y U x y Pdx Qdy =+⎰
在D 内连续并且单值。

这个函数(),U x y 称为Pdx Qdy +的原函数。

原函数的求法：
（1）()()()000,,,x y x y U x y P x y dx Q x y dy C =
++⎰⎰； 或
（2）()()()000,,,x y
x y U x y P x y dx Q x y dy C =
++⎰⎰。

例1：求原函数u
（1）()()222222x xy y dx x xy y dy +-+--;
（2）()()222cos sin 2cos sin x y y x dx y x x y dy -+-。

定义2：只绕奇点M 一周的闭路上的积分值叫做区域D 的循环常数，记为ω。

于是，对D 内任一闭路C
C Pdx Qdy n ω+=⎰
， 这里n 为沿逆时针方向绕M 的圈数。

例2：证明
⎰++22y x ydy xdx 关于奇点的循环常数是()0,0，从而积分与路径无关。