2014届高考数学一轮复习 第6章《数列的通项与求和》名师首选学案 新人教A版

学案30 数列的通项与求和
导学目标： 1.能利用等差、等比数列前n 项和公式及其性质求一些特殊数列的和.2.能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．
自主梳理 1．求数列的通项
(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：
a n ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.
(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．
(3)当已知数列{a n }中，满足
a n ＋1
a n
＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用________求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2
·…·
a n
a n －1
. (4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．
(5)归纳、猜想、证明法． 2．求数列的前n 项的和 (1)公式法
①等差数列前n 项和S n ＝____________＝________________，推导方法：____________； ②等比数列前n 项和S n ＝
⎩
⎪⎨
⎪⎧
，q ＝1， ＝ ，q ≠1.
推导方法：乘公比，错位相减法． ③常见数列的前n 项和： a ．1＋2＋3＋…＋n ＝________； b ．2＋4＋6＋…＋2n ＝________； c ．1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝________； d ．12
＋22
＋32
＋…＋n 2
＝________； e ．13
＋23
＋33
＋…＋n 3
＝____________.
(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(3)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
常见的拆项公式有： ①
1n
n ＋1＝1n －1
n ＋1
； ②
1
2n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1；
③
1
n ＋n ＋1
＝n ＋1－n .
(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导． 自我检测
1．(原创题)已知数列{a n }的前n 项的乘积为T n ＝3n 2
(n ∈N *
)，则数列{a n }的前n 项的和为________．
2．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是其前n 项和，若{S n }是等差数列，则q ＝________. 3．已知等比数列{a n }的公比为4，且a 1＋a 2＝20，故b n ＝log 2a n ，则b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n
＝________.
4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝log 2
n ＋1n ＋2
(n ∈N *
)，设{a n }的前n 项的和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n 的最小值为________．
5．设关于x 的不等式x 2
－x <2nx (n ∈N *
)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________．
6．数列1,412，714，101
8，…前10项的和为________．
探究点一 求通项公式 例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝
2
n ＋1
·a n
a n ＋2n ＋1
，a 1＝2，求数列{a n }的通项公式．
变式迁移1 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．
探究点二 裂项相消法求和
例2 已知数列{a n }，S n 是其前n 项和，且a n ＝7S n －1＋2(n ≥2)，a 1＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝1log 2a n ·log 2a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *
都成立
的最小正整数m .
变式迁移2 求数列1，11＋2，11＋2＋3，…，1
1＋2＋3＋…＋n ，…的前n 项和．
探究点三 错位相减法求和
例3 已知数列{a n }是首项、公比都为q (q >0且q ≠1)的等比数列，b n ＝a n log 4a n (n ∈N *
)． (1)当q ＝5时，求数列{b n }的前n 项和S n ； (2)当q ＝14
15时，若b n <b n ＋1，求n 的最小值．
变式迁移3 求和S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋n
a
n .
分类讨论思想
例 (5分)二次函数f (x )＝x 2
＋x ，当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *
)时，f (x )的函数值中所有整数值的个数为g (n )，a n ＝2n 3
＋3n
2g n
(n ∈N *)，则S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋(－1)
n －1
a n ＝
______________________.
答案 (－1)
n －1
n n ＋1
2
解析 当x ∈[n ，n ＋1](n ∈N *
)时，函数f (x )＝x 2
＋x 的值随x 的增大而增大，则f (x )的值域为[n 2
＋n ，n 2
＋3n ＋2](n ∈N *
)，∴g (n )＝2n ＋3(n ∈N *
)，于是a n ＝2n 3
＋3n 2
g n
＝n 2
.
当n 为偶数时，S n ＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…＋a n －1－a n ＝(12－22)＋(32－42
)＋…＋[(n －1)2
－n 2
]＝－[3＋7＋…＋(2n －1)]＝－3＋2n －12·n 2
＝－
n n ＋1
2
；
当n 为奇数时，S n ＝(a 1－a 2)＋(a 3－a 4)＋…＋(a n －2－a n －1)＋a n ＝S n －1＋a n ＝－n n －1
2
＋n 2
＝
n n ＋1
2
，
∴S n ＝(－1)
n －1
n n ＋1
2
.
【突破思维障碍】
在利用并项转化求和时，由于数列的各项是正负交替的，所以一般需要对项数n 进行分类讨论，但最终的结果却往往可以用一个公式来表示．
1．求数列的通项：(1)公式法：例如等差数列、等比数列的通项； (2)观察法：例如由数列的前几项来求通项； (3)可化归为使用累加法、累积法；
(4)可化归为等差数列或等比数列，然后利用公式法； (5)求出数列的前几项，然后归纳、猜想、证明． 2．数列求和的方法：
一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．
3．求和时应注意的问题：
(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．
(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．
课后练习
(满分：90分)
一、填空题(每小题6分，共48分)
1．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1且a 4与2a 7的等差中项为5
4
，则S 5＝________.
2．有两个等差数列{a n }，{b n }，其前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝7n ＋2n ＋3，则a 5
b 5
＝________.
3．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n a n －1＝a n －a n ＋1
a n a n ＋1
(n ≥2)，则此数列的第10项为________．
4．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝
1
n n ＋1
，则S 5＝________.
5．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22
＋…＋2n －1
，…的前n 项和S n >1 020，那么n
的最小值是________．
6．数列{a n }的前n 项和为S n 且a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ＝1,2,3，…)，则log 4S 10＝__________. 7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1
a n
，则该数列前26项的和为________．
8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n
，则数列{a n }的前n 项和S n ＝____________.
二、解答题(共42分)
9．(12分)已知函数f (x )＝x 2
－2(n ＋1)x ＋n 2
＋5n －7(n ∈N *
)．
(1)若函数f (x )的图象的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列； (2)设函数f (x )的图象的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .
10．(14分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝12
na n ＋a n －c (c 是常数，n ∈N *
)，
a 2＝6.
(1)求c 的值及数列{a n }的通项公式； (2)证明
1
a 1a 2＋
1
a 2a 3
＋…＋
1
a n a n ＋1<18
.
11．(16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n
，数列{b n }满足b 1＝－1，b n ＋1＝b n ＋(2n
－1) (n ∈N *
)．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{b n }的通项公式b n ； (3)若c n ＝
a n ·
b n
n
，求数列{c n }的前n 项和T n .
答案 自主梳理 1．(4)n ＝1或n ≥2 自我检测
1．22 2.32 3.15 4.8 5.9
19
课堂活动区
例1 解题导引 1.等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点．
2．利用等比数列前n 项和公式时注意公比q 的取值．同时对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好性质，可降低题目的思维难度，解题时有时还需利用条件联立方程求解．
解 (1)由已知得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 2＋a 3＝7a 1＋3＋a 3＋4
2＝3a 2
，解得a 2＝2.
设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，
可得a 1＝2q ，a 3＝2q .又S 3＝7，可知2
q
＋2＋2q ＝7，
即2q 2
－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.
由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1
.
(2)由(1)得a 3n ＋1＝23n
， ∴b n ＝ln a 3n ＋1＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝
n b 1＋b n
2
＝
3n n ＋1
2
·ln 2.
故T n ＝
3n n ＋1
2
ln 2.
变式迁移1 4
解析 设a 1，a 2，a 3，a 4的公差为d ，则a 1＋2d ＝4，又0<a 1<2，所以1<d <2.易知数列{b n }是等比数列，故(1)正确；a 2＝a 3－d ∈(2,3)，所以b 2＝2a 2>4，故(2)正确；a 4＝a 3＋d >5，所以b 4＝2a 4>32，故(3)正确；又a 2＋a 4＝2a 3＝8，所以b 2b 4＝2a 2＋a 4＝28
＝256，故(4)正确．
例2 解题导引 这是一道数列、函数、不等式的综合题，利用函数关系式求通项a n ，观察T n 特点，求出T n .由a n 再求b n 从而求S n ，最后利用不等式知识求出m .
解 (1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a n ＝2
a n ＋3
3a n
＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以2
3为公差的等差数列．
又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋1
3
.
(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·
n ⎝ ⎛⎭
⎪⎫53＋4n 3＋13
2
＝－49(2n 2
＋3n )．
(3)当n ≥2时，b n ＝
1
a n －1a n ＝
1⎝ ⎛⎭⎪⎫23
n －13⎝ ⎛⎭
⎪
⎫23
n ＋13
＝92⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1，
又b 1＝3＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－13，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝92×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－1
5＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝92⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝9n
2n ＋1，
∵S n <
m －2 001
2
对一切n ∈N *
成立．
即
9n 2n ＋1<m －2 001
2
， 又∵9n 2n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1递增，
且
9n 2n ＋1<92.∴m －2 0012≥9
2
， 即m ≥2 010.∴最小正整数m ＝2 010.
变式迁移2 解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q . 依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4， 代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.
∴a 2＋a 4＝20.∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1q ＋a 1q 3
＝20，a 3＝a 1q 2
＝8，
解之，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝12，
a 1＝32.
又{a n }单调递增，∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
q ＝2，
a 1＝2. ∴a n ＝2n
.
(2)b n ＝2n ·log 12
2n ＝－n ·2n
，
∴－S n ＝1×2＋2×22
＋3×23
＋…＋n ×2n
.①
∴－2S n ＝1×22
＋2×23＋3×24
＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1
.②
∴①－②，得S n ＝2＋22
＋23
＋…＋2n －n ·2n ＋1
＝21－2n
1－2
－n ·2
n ＋1
＝2
n ＋1
－n ·2
n ＋1
－2.
由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0， 即2
n ＋1
－n ·2
n ＋1
－2＋n ·2
n ＋1
＋m ·2
n ＋1
<0对任意正整数n 恒成立，
∴m ·2n ＋1
<2－2
n ＋1
对任意正整数n ，m <1
2
n －1恒成立．
∵1
2n －1>－1，∴m ≤－1， 即m 的取值范围是(－∞，－1]． 例3 解 依题意，第1个月月余款为
a 1＝10 000(1＋20%)－10 000×20%×10%－300＝11 500，
第2个月月底余款为a 2＝a 1(1＋20%)－a 1×20%×10%－300， 依此类推下去，设第n 个月月底的余款为a n 元，
第n ＋1个月月底的余款为a n ＋1元，则a n ＋1＝a n (1＋20%)－a n ×20%×10%－300＝1.18a n
－300.
下面构造一等比数列． 设
a n ＋1＋x
a n ＋x
＝1.18，则a n ＋1＋x ＝1.18a n ＋1.18x ， ∴a n ＋1＝1.18a n ＋0.18x .∴0.18x ＝－300. ∴x ＝－5 000
3，即a n ＋1－
5 0003a n －
5 000
3
＝1.18.
∴数列{a n －5 0003}是一个等比数列，公比为1.18，首项a 1－5 0003＝11 500－5 000
3＝
29 500
3
. ∴a n －5 0003＝29 5003×1.18n －1
，
∴a 12－5 0003＝29 5003
×1.1811
，
∴a 12＝5 0003＋29 5003×1.1811
≈62 396.6(元)，
即到年底该职工共有资金62 396.6元． 纯收入有a 12－10 000(1＋25%) ＝62 396.6－12 500＝49 896.6(元)．
变式迁移3 解 (1)设中低价房的面积形成的数列为{a n }， 由题意可知{a n }是等差数列，其中a 1＝250，d ＝50， 则a n ＝250＋(n －1)·50＝50n ＋200，
S n ＝250n ＋n n －12
×50＝25n 2
＋225n ，
令25n 2
＋225n ≥4 750，
即n 2
＋9n －190≥0，而n 是正整数，∴n ≥10.
∴到2020年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{b n }，
由题意可知{b n }是等比数列，其中b 1＝400，q ＝1.08， 则b n ＝400·(1.08)
n －1
.
由题意可知a n >0.85b n ， 即50n ＋200>400·(1.08)n －1
·0.85.
当n ＝5时，a 5<0.85b 5， 当n ＝6时，a 6>0.85b 6，
∴满足上述不等式的最小正整数n 为6.
∴到2016年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 课后练习区
1．3＋2 2 2.② 3.991 4．7
解析 设至少需要n 秒钟，则1＋21
＋22
＋…＋2n －1
≥100，∴1－2
n
1－2
≥100，∴n ≥7.
5．64
解析 依题意有a n a n ＋1＝2n
，所以a n ＋1a n ＋2＝2
n ＋1
，两式相除得
a n ＋2
a n
＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24
＝32，a 11＝1×25
＝32，又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.
6．3
解析 该题是数列知识与函数知识的综合．
a n ＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫252n －2－4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
5n －1＝5·⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
25n －1－25
2－45
，
显然当n ＝2时，a n 取得最小值，当n ＝1时，a n 取得最大值，此时x ＝1，y ＝2，∴x ＋y ＝3.
7．21
解析 y ′＝(x 2
)′＝2x ，则过点(a k ，a 2
k )的切线斜率为2a k ，则切线方程为y －a 2
k ＝2a k (x －a k )，
令y ＝0，得－a 2k ＝2a k (x －a k )， ∴x ＝12a k ，即a k ＋1＝12
a k .
故{a n }是a 1＝16，q ＝12
的等比数列， 即a n ＝16×(12
)n －1，∴a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21. 8．107
解析 由数表知，第一行1个奇数，第3行3个奇数，第5行5个奇数，第61行61
个奇数，前61行用去1＋3＋5＋…＋61＝62×312
＝961个奇数．而2 009是第1 005个奇数，故应是第63行第44个数，即i ＋j ＝63＋44＝107.
9．解 (1)∵f (1)＝a ＝13，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x .…………………………………………………(1分)
a 1＝f (1)－c ＝13－c ，
a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝－29，
a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝－227
；
又数列{a n }成等比数列，a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ， ∴c ＝1；……………………………………………………………………………………(2分)
公比q ＝a 2a 1＝13，a n ＝－23×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n －1 ＝－2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫13n ，n ∈N *；……………………………………………………………………(3分) ∵S n －S n －1＝()S n －S n －1()S n ＋S n －1 ＝S n ＋S n －1(n >2)，……………………………………………………………………(4分) 又b n >0，S n >0，∴S n －S n －1＝1.
数列{S n }构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，S n ＝n 2.…………………………………………………………(6分)
当n ≥2，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2
＝2n －1；
又当n ＝1时，也适合上式，
∴b n ＝2n －1，n ∈N *.………………………………………………………………………(8分)
(2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1
＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1
.……………………………………………(12分)
由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009
， ∴满足T n >
1 000
2 009的最小正整数为112.…………………………………………………(14分)
10．解 设乙企业仍按现状生产至第n 个月所带来的总收益为A n (万元)，技术改造后生产至第n 个月所带来的总收益为B n (万元)．依题意得
A n ＝45n －[3＋5＋…＋(2n ＋1)]
＝43n －n 2
，………………………………………………………………………………(5分) 当n ≥5时，B n ＝16⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫325－132
－1＋ 16⎝ ⎛⎭
⎪⎫324(n －5)－400＝81n －594，………………………………………………………(10分)
∴当n ≥5时，B n －A n ＝n 2
＋38n －594，
令n 2＋38n －594>0，即(n ＋19)2>955，解得n ≥12，
∴至少经过12个月，改造后的乙企业的累计总收益多于仍按现状生产所带来的总收益．……………………………………………………………………………………………(14分)
11．(1)解 令x ＝n ，y ＝1，
得到f (n ＋1)＝f (n )·f (1)＝12f (n )，…………………………………………………………(2分) ∴{f (n )}是首项为12，公比为12的等比数列， 即f (n )＝(12
)n .………………………………………………………………………………(5分)
(2)证明 记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，
∵a n ＝n ·f (n )＝n ·(12
)n ，……………………………………………………………………(6分)
∴S n ＝12＋2×(12)2＋3×(12)3＋…＋n ×(12
)n ， 12S n ＝(12)2＋2×(12)3＋3×(12)4＋…＋(n －1)×(12)n ＋n ×(12
)n ＋1， 两式相减得12S n ＝12＋(12)2＋…＋(12)n －n ×(12
)n ＋1， 整理得S n ＝2－(12)n －1－n (12
)n <2. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n <2.………………………………………………………………(9分)
(3)解 ∵f (n )＝(12)n ，而b n ＝(9－n )f n ＋1f n
＝(9－n )1
2n ＋11
2
n ＝9－n 2.…………………………………………………………………(11分)
当n ≤8时，b n >0；当n ＝9时，b n ＝0；
当n >9时，b n <0，
∴n ＝8或9时，S n 取到最大值．………………………………………………………(14分)。