陕西省汉中市汉台区2023-2024学年高二上学期期末校际联考试题 数学含答案

2023~2024学年度第一学期期末校际联考试题
高二数学（答案在最后）
注意事项：
1．本试题共4页，满分150分，时间120分钟．
2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上．
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收．
第Ⅰ卷（选择题
共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1．已知集合{}{}
11,02A x x B x x =-<<=≤≤，则A B = （）
A ．[)
0,1B ．(]
1,2-C ．(]
1,2D ．()
0,12．在空间直角坐标系中，若()()3,1,3,1,0,2B AB -=-
，则点A 的坐标为（
）
A ．()
4,1,1-B ．()
4,1,1--C ．()
4,1,1-D ．()
4,1,1--3．下列函数在()0,+∞上单调递减的是（）
A ．11
y x =
-B ．lg y x =C ．3x
y =D ．2
y x
-=4．圆2
2
2440x y x y +-+-=的圆心和半径分别为（）
A ．()1,2,3
B ．()1,2,3
-C ．()1,2,2
-D ．()1,2,3-5．若椭圆22
14
x y m +=的焦距为2，则实数m 的值为（
）
A ．3
B ．3或5
C ．5或8
D ．86．7
(2)x y -展开式中4
3
x y 的系数为（）A ．45
B ．84
-C ．280
-D ．165
-7．袋中有除颜色外完全相同的6个小球，其中4个白球和2个红球，现从袋中不放回地连取两个．在第一次取得白球前提下，则第二次取得红球的概率为（）
A ．0.25
B ．0.4
C ．0.5
D ．0.6
8．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥
P ABCD -为阳马，PA ⊥平面ABCD ，
且2EC PE =，若DE x AB y AC z AP =++
，则x y z ++=（）
A ．1
B ．2
C ．
13D ．
53
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．下列有关排列数、组合数的等式中，正确的是（
）
A ．36
99
C C =B ．6
66!
A =C ．22
46
A C =D ．44
410104
A C A =10．同时抛掷两枚均匀的骰子，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则{3}ξ>表示的随机事件不可能．．．
是（）
A ．第一枚掷出5点，第二枚掷出2点
B ．第一枚掷出3点，第二枚掷出3点
C ．第一枚掷出1点，第二枚掷出2点
D ．第一枚掷出6点，第二枚掷出2点
11．设两条不同直线,a b 的方向向量分别是12,e e ，平面α的法向量是n
，则（）
A ．若121,e e e n
∥∥，则b α
∥B ．若12,e n e n
∥∥，则a b
∥C ．若112,,e n b e e α⊄⊥
∥，则b α
∥D ．若121,e e e n
∥∥，则b α
⊥12．已知双曲线22
:1169
x y C -=的左，右焦点分别为()1200,,,F F P x y 是双曲线C 上的一个动点，下列结论正
确的有（
）
A ．若12PF F △的面积为20，则08y =
B ．双曲线
C 的离心率为
54
C ．1PF 的最小值为1
D ．若12PF F △为直角三角形，则129
PF F S =△第Ⅱ卷（非选择题共90分）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．一个三层书架，分别放置语文类读物7本，政治类读物9本，英语类读物8本，每本图书各不相同，从中取出1本，则不同的取法共有________种．
14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为12,AC 与1BD 相交于点O ，则OA AB ⋅
的值为________．
15．某电子设备厂所用的元件由甲、乙两家元件厂提供，根据以往的记录，这两个厂家的次品率分别为0.01，
0.03，提供元件的份额分别为0.90，0.10．设这两个厂家的产品在仓库里是均匀混合的，且无任何区分的标志，现从仓库中随机取出一个元件，取到的元件是次品的概率为________．
16．已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236），那么三位渐升数有________个，其中比516大的三位渐升数有________个．
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）已知两点()()1,2,1,0A B -．
（Ⅰ）求直线AB 的斜率k 和倾斜角θ；（Ⅱ）求直线AB 在x 轴上的截距．18．（本小题满分12分）
已知空间向量()()3,21,1,1,2,2a n b m m =+-=+
．
（Ⅰ）若a b
∥，求实数m 与n 的值；
（Ⅱ）若()2,,1c m =- ，且b c ⊥ ，求b
．
19．（本小题满分12分）已知函数()2sin 26f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）求函数()f x 的单调递减区间；（Ⅲ）当,312x ππ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣
⎦时，求函数()f x 的最值．20．（本小题满分12分）
某校举行围棋友谊赛，甲、乙两名同学进行冠亚军决赛，每局比赛甲获胜的概率是23，乙获胜的概率是1
3
，规定：每一局比赛中胜方记1分，负方记0分，先得3分者获胜，比赛结束．（Ⅰ）求进行3局比赛决出冠亚军的概率；
（Ⅱ）若甲以2:1领先乙时，记X 表示比赛结束时还需要进行的局数，求X 的分布列及数学期望．21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，,2
ABC BAD PB π
∠=∠=
⊥平面,6,3ABCD PB AB BC AD ====．
（Ⅰ）求点B 到平面PCD 的距离；
（Ⅱ）求二面角P CD A --的平面角的余弦值．21．（本小题满分12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>过点()1,2-，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，OA OB ⊥ ．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）求证：直线l 过定点；
（Ⅲ）在x 轴上是否存在点T ，使得直线TA 与直线TB 的斜率之和为0？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
2023~2024学年度第一学期期末校际联考试题
高二数学参考答案及评分标准
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B
2．A 3．D
4．D
5．B
6．C
7．B
8．A
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．ABD 10．ABC 11．BCD
12．BC 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．24
14．2
-15．0.012
16．84
10
四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解：（Ⅰ）根据题意，直线AB 的斜率为k ，倾斜角为θ，由两点()()1,2,1,0A B -，得斜率()
02
111k -==---，
则tan 1θ=-，即135θ=︒．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线AB 的斜率1k =-，则其方程为()1y x =--，即1y x =-+，令0y =，则1,x =∴直线AB 在x 轴上的截距为1．
18．解：（Ⅰ）根据题意a b ∥，故可设,b ka k =∈R
，
则()13,
221,2,
m k k n m k +=⎧⎪
=+⎨⎪=-⎩
解得1,37m n =-=．
（Ⅱ）()()1,2,2,2,,1b m m c m =+=-
，且b c ⊥ ，
()21220b c m m m ∴⋅=++-=
，解得1m =-．()0,2,2b ∴=-
，
b ∴==
．
19．解：（Ⅰ）()2sin 26f x x π⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
，∴函数()f x 的最小正周期为
22
π
π=．令2,6x k k ππ+=∈Z ，则,122k x k ππ=-+∈Z ，
∴函数()f x 的对称中心为,0,122k k ππ⎛⎫
-+∈ ⎪⎝⎭
Z ．
（Ⅱ）令
3222,262k x k k πππ
ππ+≤+≤+∈Z ，则2,63
k x k k ππππ+≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递减区间为2,,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦
Z ．
（Ⅲ）,312x ππ⎡⎤
∈-⎢
⎥⎣⎦
，2,623x πππ⎛
⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦．
31sin 262x π⎛
⎫∴-≤+≤
⎪⎝⎭
．()
f x ∴的最小值为2-20．解：（Ⅰ）甲3局全胜的概率为12228
33327
P =⨯⨯=
，乙3局全胜的概率为21111
33327
P =
⨯⨯=
，∴进行3局比赛决出冠亚军的概率为811
27273
P =+=．
（Ⅱ）X 的可能取值为1，2，
()2
13
P X ==，
()12111
233333
P X ==⨯+⨯=，
故X 的分布列为：X 1
2
P
2313
故()21412333
E X =⨯
+⨯=．21．解：由题易知,,BC BA BP 两两垂直，
不妨以B 为坐标原点，,,BC BA BP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示，则()()()()0,0,0,6,0,0,3,6,0,0,0,6B C D P ，
()()()0,0,6,6,0,6,3,6,6BP PC PD ∴==-=-
．（Ⅰ）设平面PCD 的法向量为(),,m x y z =
，则0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即660,3660,
x z x y z -=⎧⎨+-=⎩不妨取1x =，则1
,12
y z ==，
故平面PCD 的一个法向量为11,,12m ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ，
点B 到平面PCD
的距离4BP m d m
⋅==
= ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面PCD 的一个法向量为11,,12m ⎛⎫
= ⎪⎝⎭ ，
由题意知，底面ABCD 的一个法向量为()0,0,6BP =
，
则2cos ,3
BP m BP m BP m
⋅〈〉==
⋅
，又二面角P CD A --的平面角为锐角，故其余弦值为
23
．22．解：（Ⅰ） 抛物线2
:2(0)C y px p =>过点()1,2-，
2(2)2p ∴-=，即2p =，∴抛物线C 的方程为24y x =．
（Ⅱ）证明：不妨设()()1122:,,,,l x my n A x y B x y =+，
联立2
,4,
x my n y x =+⎧⎨
=⎩消去x 并整理得2
440y my n --=，此时2Δ16160m n =+>，由韦达定理得124y y n =-，
22
212
1244
y y x x n ∴=⋅=，
又OA OB ⊥ ，
0OA OB ∴⋅=
，即12120x x y y +=，
240n n ∴-=，解得4n =或0n =（舍）
，∴直线l 的方程为4x my =+，即直线l 过定点()4,0．
（Ⅲ）假设存在满足条件的点(),0T t ，使得0TA TB k k +=，
12124,16y y m y y +==- ，()()()()
1
2211212124444TA TB y my t y my t y y
k k x t x t my t my t +-++-∴+=
+=--+-+-()()
()()12122
2
1212244(4)my y t y y m y y m t y y t +-+=+-++-，即()440t m -+=，解得4t =-或0m =，。