测量不确定度的评定方法

测量不确定度的评定方法
鉴于测量不确定度在检测，校准和合格评定中的重要性和影响，考虑到试验机行业应用测量不确定度时间不长,现就有关测量不确定度概念、测量不确定度的评定和表示方法，谈谈学习体会。

奉献给同行业人员。

由于本人学识浅薄，力不从心，有不妥或错误处，期望批评指正。

（一）测量不确定度的概念
《测量不确定度表示指南》(GUM)，即国际指南，给出的测量不确定度的定义是：与测量结果相关联的一个参数，用以表征合理地赋予被测量之值的分散性。

其中，测量结果实际上指的是被测量的最佳估计值。

被测量之值，则是指被测量的真值，是为回避真值而采取的。

我国计量技术规范JJF1059—1999《测量不确定度评定与表示》中，亦推荐这一用法(见该规范2.3注4)。

须知，真值对测量是一个理想的概念，如何去估计它的分散性？实际上，国际指南(GUM)所评定的并非被测量真值的分散性，也不是其约定真值的分散性，而是被测量最佳估计值的分散性。

关于测量不确定度的定义，过去曾用过：
① 由测量结果给出的被测量估计的可能误差的度量；
② 表征被测量的真值所处范围的评定。

第①种提法，概念清楚，只是其中有“误差”一词，后来才改为第②种提法。

现行定义与第②种提法一致，只是用被测量之值取代了真值，评定方法相同、表达式也一样，并不矛盾。

至于参数，可以是标准差或其倍数，也可以是给定置信概率的置信区间的半宽度。

用标准差表示测量不确定度称为测量标准不确定度。

在实际应用中如不加以说明，一般皆称测量标准不确定度为测量不确定度，甚至简称不确定度。

用标准差值表示的测量不确定度，一般包括若干分量。

其中，一些分量系用测量列结果的统计分布评定，并用标准差表示：而另外一些分量则是基于经验或其他信息而判定的(主观的或先验的)概率分布评定，也以标准差值表示。

可见，后者有主观鉴别的成分，这也是在定义中使用“合理地赋予”的主要原因。

为了和传统的测量误差相区别，测量不确定度用u(不确定度英文uncertainty的字头)来表示，而不用s。

应当指出，用来表示测量不确定度的标准差，除随机效应的影响外，还包括已识别的系统效应不完善的影响，如标准值不准、修正量不完善等。

显然，测量结果中的不确定度，并未包括未识别的系统效应的影响。

尽管未识别的系统效应会使测得值产生某种系统偏差。

所以，可以概括地说，测量不确定度是由于随机效应和已识别得系统效应不完善的影响，而对被测量的测得值不能确定(或可疑)的程度。

(注：这里的测得值，系指对已识别的系统效应修正后的最佳估计值)。

（二）不确定度的来源
在国际指南(GUM)中，将测量不确定度的来源归纳为10个方面：
① 对被测量的定义不完善；
② 实现被测量的定义的方法不理想；
③ 抽样的代表性不够，即被测量的样本不能代表所定义的被测量；
④ 对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境条件的测量与控制不完善；
⑤ 对模拟仪器的读数存在人为偏移；
⑥ 测量仪器的分辨力或鉴别力不够；
⑦ 赋予计量标准的值或标准物质的值不准；
⑧ 引用于数据计算的常量和其他参量不准；
⑨ 测量方法和测量程序的近似性和假定性；
⑩ 在表面上看来完全相同的条件下，被测量重复观测值的变化。

上述的来源，基本上概括了实践中所能遇到的情况。

其中，第①项如再加上理论认识不足，即对被测量的理论认识不足或定义不完善似更充分些；第⑩项实际上是未预料因素的影响，或简称之为“其他”。

可见，测量不确定度一般来源于随机性和模糊性。

前者归因于条件不充分，而后者则归因于事物本
身概念不明确。

（三）测量不确定度的分类
尽管测量不确定的有许多来源，但按评定方法可将其分为二类：
（1）不确定度的A类评定
用对测量列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度，称为不确定度的A类评定，也称A类不确定度评定，有时可用表示。

（2）不确定度的B类评定
用不同于对测量列进行统计分析的方法来评定的标准不确定度，称为不确定度的B类评定，也称B 类不确定度评定，有时可用表示。

实践中，可以简单地说，测量不确定度按其评定方法可分为两类：
A类——用统计方法评定的分量；
B类——用非统计方法评定的分量。

用统计方法评定的A类不确定度，相应于传统的随机误差；而用非统计方法评定的B类不确定度，则并不相应于传统的系统误差。

故不宜采用“随机不确定度”和“系统不确定度”的提法。

（四）测量不确定的评定方法
1. 技术依据
（1） JJF1059—1999《测量不确定度评定与表示》；
（2） GJB3756—1999《测量不确定度的表示及评定》；
（3）七个国际组织(BIPM、IEC、ISO、OIML、IUPAC、IUPAP、IFCC)于1993年制定的测量不确定度表示指南。

2. 评定步骤
为评定测量结果的不确定度或提供测量不确定度评定的报告，一般可按下列步骤进行。

(1) [测量过程]概述；
(2) 建立数学模型；
(3) 输入量的标准不确定度评定；
<a>标准不确定度的A类评定
<b>标准不确定度的B类评定
（4）合成标准不确定度的评定；
（5）扩展不确定度的评定；
（6）测量不确定度的报告与表示。

3. [测量过程]概述
这部分可简单说明下列一些测量条件和情况：
（a）测量依据；
（b）测量环境条件；
（c）测量标准及其主要计量特性；
（d）被量对象及其主要性能；
（e）测量参数(项目)与简明测量方法；
（f）其他有关说明，包括评定结果的使用。

如在规范化的常规测量中，本测量不确定度评定结果可直接用于重复性条件下或复现性条件下的测量结果。

4. 建立数学模型
所谓建立数学模型，就是根据被测量的定义和测量方案，确立被测量与有关量之间的函数关系。

通常，一个被测量可能要依赖若干个有关量，只有确定了所依赖的各有关量的值才能得出被测量的值；只有评定了所依赖各量的不确定度，才能得出被测量值的不确定度。

也可以说，数学模型实际上给出了被测量测得值不确定度的主要来源量。

（1）根据测量方法和测量程序建立数学模型，即确定被测量Y(输出量)与其它量(输入量) ，，．．．，间的函数关系：Y=f( ，，．．．，)
(１)输入量通常是一些直接可测的量，物理量或有关其它量(如修正量)。

表示不确定度或误差区间的量不能作为输入量，它们只是有关输入量的不确定度来源。

由，，．．．，的最佳值，，．．．，可得到Ｙ的最佳值y，则：y=f( ，，．．．，) (２)
有时为简化起见，常直接以式(2)为数学模型，以输入量的估计值或输出量的估计值代替输入量或输出量．建立数
学模型时，应说明数学模型中的各个量的含义。

(2)测量结果Ｙ的不确定度将取决于输入量，，．．．，的不确定度及其传播规律。

显然应周全地寻找这些输入量的不确定度来源，可从测量仪器、测量环境、测量人员、测量方法、被测量等方面全面考虑，应做到不遗漏，不重复。

评定Ｙ的不确定度之前，为确定Ｙ的最佳值，应将所有修正量加入测得值，并将所有测量异常值剔除。

(3)输出量Ｙ的输入量，，．．．，本身可看作被测量，也可取决于其它量，甚至包括具有系统效应的修正值，从而可能导出一个十分复杂的函数关系式。

在实际测量中，如果修正值本身与合成标准不确定度比起来很小时，修正量可不加到测量结果之中。

输入量及其不确定来源的考虑应充分满足测量所要求的准确度，同一被测量Ｙ在不同的测量准确度要求下，其数学模型可能会不完全相同。

如果测量过程较简单，准确度要求不高，一般所考虑的输入量或影响量个数可较少。

所以测量数学模型可能简单到如下形式：
Ｙ＝- (或y＝- )(３)
Ｙ＝Ｘ(或y=x) (４)
式(3)可用于被测量Ｙ为示值误差、偏差等情况，式(4)可用于对被测量Ｙ直接赋值或定值等情况。

５输入量的标准不确定度评定
(1)对于数学模型y=f( ，，．．．，),输出量y的不确定度将取决于的不确定度，即不确定度是y的不确定度的来源，所以在评定输出量y的不确定度之前，首先应评定输入量的标准不确定度u( )。

u( )评定一般应按，，．．．，依次逐个评定。

每个输入量的u( )的评定中，可能会有几个独立无关的不确定度来源，则可相应作为u( )分项。

这种情况应首先评定标准不确定度u( )的分项u( )，u( )则为各个u( )的合成。

输入量的标准不确定度u( )及其分量u( )的评定方法可归纳为A、B两类：
A类评定——用对观测列进行统计分析的方法，来评定标准不确定度。

B类评定——用不同于对观测列进行统计分析方法，来评定标准不确定度。

(2)标准不确定度的A类评定
A．评定测量不确定度之前，应根据有关准则(如格拉布斯准则)判断剔除测量数据中可能存在的异常值。

B．基本方法
标准不确定度的评定可按测量数据的任何一种统计计算方法进行，用得到的实验标准偏差表征。

样本值的标准偏差可通过以下几种方法进行估计。

(a) 贝塞尔法
标准不确定度A类评定的信息来源于对一个输入量x进行多次重复测量得到的测量列：，，．．．，，采用统计分析方法计算标准不确定度。

输入量的最佳值等于测量列，，．．．，的算术平均值，在等精度测量下，算术平均值为：= (5)
测量列的单次(一次)实验标准差S通常可采用贝塞尔法计算：s= (6)
测量列的平均值的实验标准差s( )可接下式计算：s( )= (7)
输入量X的A类标准不确定度u(x)即为测量列的平均值的实验标准差：u(x)= s( )= (8)
A类标准不确定度u(x)的自由度等于测量列标准差的自由度，用贝塞尔法计算测量列标准差时，其自由度v为：v=n－１
(9)式中：n—测量列的测量次数。

一般情况下，当n≥6时，推荐使用贝塞尔法计算实验标准偏差。

(b)极差法
对被测量进行几次独立重复观测，从测量数据中找出最大值和最小值，根据测量次数n查表1得到系数和自由度，按公式(10)计算实验标准偏差s(x)。

s(x)=( －)／(10)
则标准不确定度u(x)= s(x)／
表1 极差法的系数和自由度表
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20
1.13 1.69
2.06 2.33 2.53 2.70 2.85 2.97 2.08
3.47 3.73
0.9 1.8 2.7 3.6 4.5 5.3 6.0 6.8 7.5 10.5 13.1
一般情况下，n<6时，推荐使用极差法计算实验标准偏差。

c)最大残差法
对被测量进行几次独立重复观测，按公式(5)计算测量平均值并计算各残差( = －)，从中找出绝对值最大的残差，根据测量次数n查表2得到系数和自由度，按公式(11)计算实验标准偏差s(x)。

表2 最大残差法系数和自由度表
n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 20
1.77 1.02 0.83 0.74 0.68 0.64 0.61 0.59 0.57 0.51 0.48
0.9 1.8 2.7 3.6 4.4 5.0 5.6 6.2 6.8 9.3 11.5
s(x)= (11)
则标准不确定度u(x)= s(x)／
(d)较差法
对被测量进行几次独立重复观测，计算相邻测量值之差的平方和，按公式(12)计算实验标准偏差。

s(x)= (12)
则标准不确定度u(x)= s(x)／
当被测量随时间变化，贝塞尔法不适用时，推荐采用较差法计算实验标准偏差。

(e)最小二乘法
由最小二乘法拟合的曲线上任何预期点和曲线拟合参数的实验标准偏差用最小二乘法的有关统计程序计算得到。

参见最小二乘法相关资料。

(f)测量过程的实验标准偏差
在规范化的常规测量中，如计量标准开展的检定项目，通过实验室认可的校准/检测项目等。

在重复性条件下或复现性条件下进行规范化测量，测量结果的不确定度及其A类标准不确定度也可不一定每次测量时重新评定，可直接采用预先评定的结果，为提高其可靠性，一般应采用合并样本标准偏差。

对输入量X在重复性条件下或复现性条件下进行了几次独立测量，得到，，．．．，，其平均值为，实验标准偏差为s，自由度为v。

如果有m组这样的测量，则合并样本标准偏差可按(13)式计算：= (13)
合并样本标准偏差的自由度v可按(14)式计算：v = (14)
式中：—m组测量列中第j组测量列的自由度。

在实际测量中，如对输入量X仅进行了k次测量(1≤k≤n)，以k次测量算术平均值作为测量结果，则该结果的标准不确定度可为：u( )= (15)
对(15)式，无论实际测量次数k取多大，其标准不确定度u( )的自由度均等于的自由度即v。

上述m组测量列应考虑到可能的不同测量点，不同量程的测量结果。

如果在不同测量点，不同量程所得测量列的标准偏差相差较大或有一定变化规律时，就应按不同测量点，不同量分段计算。

为使所得合并样本标准偏差更能代表日常规范化测量情况，上述m组测量列还应尽可能考虑到同类型的不同被测情况。

如果对同类型不同被测所得测量列的标准偏差相差较大，就不能使用同一个合并样本标准偏差，通过试验说明该类型被测不太稳定，需对每个被测进行A类评定或在测量要求允许的情况下保守地采用其中一列标准偏差的测量列，自由度为n-1，n为该测量列的测量次数。

应注意合并样本标准偏差只有在同类型被测较稳定，m组测量列的各个标准偏差s相差不大的情况下，标准偏差s的不确定度可以忽略时，才能使用同一个。

考虑到测量列的标准偏差s是一个变量，标准偏差s的标准偏差可估计为:(16)
式中：n—测量列中测量次数。

当n=9，则。

所以当m组测量列标准偏差的标准偏差不大于，才可以使用同一个，否则就不可使用同一个，应按上述相应方法处理。

(3)标准不确定度的B类评定
A基本公式
标准不确定度的B类评定，可以根据所提供的信息，先确定(找出)其输入量x的不确定度区间[-a,a]或误差的范围(a为区间的半宽度)。

然后根据该输入量在不确定度区间[-a,a]内的概率分布情况确定包含因子，则按(17) 式可计算B类标准不确定度u(x)：u(x)= (17)
式中：a—被测量可能值的区间半宽度；
—置信因子
B a的信息来源
以前的测量数据；经验和一般知识；技术说明书；校准/检测证书；检测报告及其他材料；手册参考资料。

例如：
(a) a=△( △为允许误差极限)(１８)
(b) a=U(１９)
(c) a= (２０)
(d) a=数字显示器的分辨力为一个数字，则a一般取为一个数字所表示量值的二分之一。

(e) 用实验方法估计可能值的区间。

C B类不确定度评定常见情况
(a) 数字显示的分辩力
若分辨力为，示值x可以等概率处于x- 至x+ 的区间任何处，即宽度为的矩形概率分布，B类标准不确定度：u(x)= (２１)
(b) 滞后
滞后方向不是总能观察到，在平衡点附近有振荡，引起可能读数范围宽为，B类标准不确定度为：
u(x)= (２２)
(c) 有限位数的数字计算
计算机将数据压缩引起数据舍入或截断,计算时最重要的输入量增加一个小增量,以使输出量变化,设为,B类标准不确定度为：
u(x)= (２３)
Ｄ置信因子
置信因子的确定一般有以下几种方法：
(a) 服从正态分布情况，如输入量Ｘ在区间内服从正态分布，则置信因子可由表３确定。

表３正态分布情况下置信概率Ｐ与置信因子间的关系
Ｐ(%) 50 68.27 90 95 95.45 90 99.73
0.67 1 1.645 1.960 2 2.576 3
(b) 服从其他分布情况，如输入量X在[-a,a]区间内服从其他一些分布，则置信因子k可由表4确定。

表4常用分布情况的包含因子
分布差别三角梯形矩形(均匀) 反正弦两点
k １
注：k的置信概率为100%。

为梯形上底半宽度与下底半宽度之比０< <１。

如=0.71,k=2
E. 概率分布假设
(a)正态分布
a)重复条件或复现条件下多次测量的算术平均值的分布；
b)被测量Y用扩展不确定度给出，而对其分布又没有特殊指明时，估计值Y的分布；
c)被测量Y的合成标准不确定度(y)中，相互独立的分量(y)较多，它们之间的大小也比较接近时，Y的分布；
d)被测量Y的合成标准不确定度(y)中相互独立的分量(y)中，存在两个界限值接近的三角分布，或4个界限值接近的均匀分布时；
e)被测量Y的合成标准不确定度(y)的相互独立的分量中，量值较大的分量(起决定作用的分量)接近正态分布时。

(b)矩形(均匀)分布
a)数字修约导致的不确定度；
b)数字式测量仪器对示值量化(分辨力)导致的不确定度；
c)测量仪器由于滞后，摩擦效应导致的不确定度；
d)使用的数字式仪表、测量仪器最大允许误差导致的不确定度；
e)用上、下界绘出的线膨胀系数；
f)测量仪器度盘或齿轮回差引起的不确定度；
g)平衡指示器调零不准导致的不确定度。

(c)三角分布
a)相同修约间隔给出的两个独立量之和或差，由修约导致的不确定度；
b)因分辨力引起的两次测量结果之和或差的不确定度；
c)用替代法检定标准电子元件或测量衰减时，调零不准导致的不确定度；
d)两相同均匀分布的合成。

(d)反正弦分布(U形分布)
a)度盘偏心引起的测角不确定度；
b)正弦振动引起的位移不确定度；
c)无线电中失配引起的不确定度；
d)随时间正余弦变化的温度不确定度。

(e) 两点分布
例如，按级使用量块时，中心长度偏差导致的概率分布。

(f)投影分布
a)当受到(角服从均匀分布)影响时，的概率分布；
b)安装或调整测量仪器的水平或垂直状态导致的不确定度。

g)无法估计的分布
大多数测量仪器，对同一被测量多次重复测量，单次测量值的分布一般不是正态分布，往往偏差甚远。

如轴尖支承式表示值分布，介于正态分布与均匀分布之间，数字电压表示值分布是双峰状态，磁电式仪表的示值分布与正态分布相差甚远。

F B类评定的自由度
Ｂ类评定的标准不确定度的自由度可按(２４)式近似计算得：
v＝(２４)
根据经验，按所依据的信息来源的可信程度可估计的相对标准不确定度，然后按式(２４)计算自由度Ｖ列于表５。

表５与v关系
０0.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50
V 50 12 8 6 3 2
合成标准不确定度的评定
（１）灵敏系数
对于数学模型
y=f( ，，．．．，)
是在＝时导出的这些偏导数称为灵敏系数，符号为，即＝。

灵敏系数反映了输入量Ｙ的估计值y 如何随输入量估计值，，．．．，的变化而变化，即描述了当变化一个单位时，引起y的变化量。

有时，灵敏系数可由实验测定，即通过变化第i个输入量，而保持其余输入量不变，从而测定Ｙ的变化量。

（２）标准不确定度汇总表
在标准不确定度合成前，应将所有通过Ａ类评定和Ｂ类评定得到的标准不确定度按表５格式形成汇总表，以使统览和审核各输入量的标准不确定度的情况。

表５标准不确定度汇总表
标准不确定度u( ) 不确定度来源标准不确定度值灵敏系数u( ) 自由度
(３)合成标准不确定度的计算
合成标准不确定度是由各标准不确定度分量的平方及各分量间的协方差合成得到，无论各标准不确定度是Ａ类评定还是Ｂ类评定。

合成标准不确定度是按输出量Ｙ的估计值y给出的，符号为(y)。

Ａ直接测量
不需测量与被测量有函数关系的其他量，而能直接得到被测量值的一种测量方法称为直接测量法。

被测量Ｙ由测量仪器直接测得，测量结果y的不定度包含Ｎ个标准不确定度分量，且各分量相互独立不相关，合成标准不确定度按(２５)式计算。

(y)＝(２５)
Ｂ间接测量
通过测量与被测量有函数关系的其他量，从而得到被测量值的一种测量方法称为间接测量法。

被测量Ｙ的测量结果y是通过测量各输入量后，由y=f( ，，．．．，)的函数关系计算得到，测量结果y的合成标准不确定度(y)按公式(２６)计算。

公式(２６)通常称为不确定度传递率。

(y)＝(２６)
＝. . (２７)
式中：—输入量的测量值；
—输入量的测量值，且j i ；
—的灵敏系数；
—的灵敏系数；
u( )—的标准不确定度；
u( )—的标准不确定度；
—、协方差的估计值，j i；
—、的相关系数估计值，j i。

(a)各输入量独立不相关时，为０；(y)由公式(２８)计算。

(y)＝(２８)
式中为被测量y的标准不确定度分量(y)，因此，公式(２８)也可以表示成：
(y)＝(２９)
a) 被测量的函数形式为：，合成标准不确定度(y)用公式(３０)计算。

(y)＝(３０)
b) 被测量的函数形式为：Ｙ＝Ａ时，指数是已知的正数或负数，其不确定度可忽略时，被测量的测量结果y 的相对合成标准不确定度用公式(３１)计算。

(y)＝＝(３１)
(b)各输入量之间相关时，(y)由公式(２６)计算；其输入量之间的协方差由公式(２７)计算。

估计相关系数可用下列方法之一得到：
输入量和中的一个可作常数处理时，相关系数为０；
设输入量测量值为，输入量测量值为，由同时观测得到的n对实验数据，按公式(３２)估计计算其相关系数估计值。

＝(３２)
所有输入量都相关，且估计相关系数＝１，则合成标准不确定度(y)按公式(３３)计算。

(y)＝(３３)
所有输入量都相关，且相关系数为１，当＝＋１，则测量结果的合成标准不确定度是每个输入量的标准不确定度u( )的代数和，(y)按公式(３４)计算。

(y)＝(３４)
Ｃ合成标准不确定度的自由度
合成标准不确定度(y)的自由度称为有效自由。

如果(y)是两个或多个估计方差分量的合成，即(y)= ，则即使每个是正态分布的输入量的估计值时，变量的分布是t分布，其有效自由度可由韦尔奇—萨特思韦特(Welch —Satterthwaite)公式计算。

＝(３５)
式中：(y)＝u( )
显然有：
式(３５)也可用于相对标准不确定度的合成，按式(３６)计算时有：
＝＝(３６)
式中：pi=ci·xi ——无量纲化的灵敏系数
实际上，如果Ｙ＝＝，即使的分布不是正态的，只要(y)比由非正态分布的的单个分量( )大得多。

Ｙ的分布通常可以用正态分布近似。

由于自由度大多是估算的，有效自由度的估算也不必太过仔细，只需按式(３５)或式(３６)计算结果，以便于查t 值表将自由度取整，如计算得有效自由度大于５０或大于１００，则有效自由度可估计为５０或１００即可。

这样对扩展不确定度的最终结果也不会有太大的影响。

７扩展不确定度的评定
扩展不确定度分为两种，即和前者具有概率的置信区间的半宽，后者为标准差的倍数。

它们的含义不同，必要时应采用符号下标加以区别。

（１）扩展不确定度可按(３7)式计算：
(３7)
由乘以给定概率中的包含因子得到，可以期望在至的区间内，以概率中包含了测量结果的可能性。

与y的分布有关，当y接近正态分布时，可采用t分布的临界值域简称t值，见附录A。

可按置信概率Ｐ及有效自由度查附录Ａ表得到，置信概率Ｐ一般采取９９％和９５％。

多数情况下，采用Ｐ＝９５％。

对某些计量标准器具的检定或校准，根据有关规定可采用Ｐ＝９９％。

（2）扩展不确定度Ｕ可按(３8)式计算：
(３8)
上式表达式U由乘以一个包含因子k得到，可以期望在y- U至y+ U的区间包含了测量结果可能值的较大部分。

k值一般取2～3。

U虽然是没有明确置信概率的扩展不确定度，可以大致认为：
k=2，置信概率为95%；
k=3，置信概率为99%；
(3)如果可以确定Y可能值的分布不是正态分布，而是接近于其他某种分布，则不应按，或k＝２～３计算或。

当输入量的项数较少，且某项特大，明显起主要作用，该项目的可能值分布不是正态分布，可能近似为均匀分布，则可确定Y的可能值的分布也不是正态分布，而近似为均匀分布。

这种情况下，包含因子和的关系如下：对于，＝1.65
对于，＝1.71
8.测量不确定度的报告与表示
当给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。

(1) 通常在报告基础计量学研究，基本物理常量测量及复现国际单位制单位和国际比对结果时，使用合成标准不确定度，同时给出有效自由度。

在其它大部分情况下，报告测量结果时，如实验室间能力比对试验、工业、商业，尤其涉及到安全、健康情况下报告测量结果时，均应同时报告扩展不确定度。

(2) 报告测量不确定度应尽可能详细，以使使用者可以正确地利用测量结果。

报告扩展不确定度U时，应同时报告包含因子k；
报告扩展不确定度时，应同时报告包含因子、及P。

(3) 报告合成标准不确定度或扩展不确定度的有效位数最多为两位有效数字。

在连续(中间)计算中为避免修约误差可保留多一些有效数字。

最终报告不确定时，其末位后面的数有时可能采取进位而不是舍去。

对报告的测量结果，需将其修约至与其不确定度有效位数一致(即报告测量结果的有效数字末位与其不确定度的末位在“数位”上应一致)。

(４) 的报告常用以下两种形式之一：
例如：=0.35mg，取包含因子k=2，Ｕ=2 0.35mg=70mg，则可有下面两种表示形式：
Ａ=100.02147mg，Ｕ=0.70mg;k=2;
B =(100.0247 0.00078)g; k＝２;
(5) = 的报告常用以下两种形式之一。

例如：=0.35mg，=10，取，查附录Ａ得= =2.23，
=2.23 0.35mg=0.78mg,则常用下面两种表示形式。

Ａ=100.02147mg, =0.78mg, =10 ；
B =(100.02147 0.00078)g, =10,P=0.95。

(６)测量不确定度也可以用相对形式报告
，，。

例如：
Ａ＝100.02147(1 7.8 10 )g ,p=95%, =10。

式中
(６)测量不确定度也可以用相对形式报告
，，。

例如：
Ａ＝100.02147(1 7.8 10 )g ,p=95%, =10。

式中7.8 10 为值。

Ｂ=100.02147g.=7.9 10 , =10
(７)上述列举的表达形式中的符号含义，必要时(如出具证书)应有文字说明，也可采用它们的名称代替符号，或同时采用。

(注：以后陆续发表有关材料试验机示值误差校准结果测量不确定度评定的示例。

)
附录A
t分布在不同置信概率P与自由度v的tp(v)值(t值)
自由度v p×100
68.27α 90 95 95.45α 99 99.73α
1 1.84 6.31 12.71 13.97 63.66 235.80
2 1.32 2.92 4.30 4.5
3 9.92 19.21。