甘肃省西北师范大学附属中学2015届高三上学期12月月考数学(理)试题Word版含答案

西北师范大学附属中学2015届高三12月月考
数学（理）试题
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、如果(3)10i z i +=（其中2
1i =-），则复数z 的共轭复数为（ ） A ．13i -+ B ．13i - C ．13i + D ．13i -- 2、已知集合2{|1},{|20}A x x B x x x =>=-<，则A
B =( )
A ．{|1}x x >
B ．{|12}x x <<
C ．{|0}x x >
D ．{|02}x x << 3、已知向量3,53,33AB a b BC a b CD a b =+=+=-+，则（ ） A ．,,A B C 三点共线 B ．,,A B D 三点共线 C ．,,A C D 三点共线 D ．,,B C D 三点共线 4、若函数()2(,,0)f x ax bx c a b c =++>没有零点，则
a c
b
+的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．()2,+∞ C ．[)1,+∞ D ．()1,+∞
5、设()f x 是定义在R 上奇函数，当0x <时，()(x
f x x e e -=-为自然数的底数），则(ln 6)
f 的值为（ ）
A ．ln 66+
B ．ln 66-
C ．ln 66-+
D ．ln 66--
6、函数()y f x =的图象如图所示，观察图形可知函数()y f x =的定义域、值域分别是（ ）
A ．[][][]5,02,6,0,5-
B ．[][)5,6,0,-+∞
C ．[]
[][)5,02,6,0,-+∞ D ．[)[]5,,2,5+∞
7、执行如图所示的程序框图，会输出一列数， 则这个数列的第3项是（ ） A ．870 B ．30 C ．6 D ．3
8、一会非零向量AB 与AC 满足(
)0AB AC BC AB
AC
+
⋅=，且
1
2A B A C A B A C
⋅=，则ABC ∆的形
状是（ ）
A ．等边三角形
B ．直角三角形
C ．等腰（非对边）三角形
D ．三边均不相等的三角形
9、一个几何体的三视图如右图所示，且其侧视图是一个对边三角形，则这个几何体的体积为（ ）
A ．(4π+
C ．
(83π+ D ．(86
π+ 10、已知函数()()21,f x x g x kx =-+=，若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．1(0,)2
B ．1(,1)2
C ．(1,2)
D ．(2,)+∞ 11、函数()2
sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图象可能是（ ）
12、设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()20f =，当0x >时，有2
()()
0xf x f x x
-<恒成立，则不等式()2
0x f x >的解集是（ ）
A ．(2,0)(2,)-+∞
B ．(2,0)(0,2)-
C ．(,2)(2,)-∞-+∞
D ．(,2)(0,2)-∞-
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

.
13、已知函数()0ln 0
x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩，则1
[()]f f e =
14、过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 作圆222
4
a x y +=的切线，切点为E ，延
长FE 交双曲线的右支于点P ，若E 为PF 的中点，在双曲线的离心率为
15、已知点A 是不等式组310
301x y x y x -+≤⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
，所表示的平面区域内的一个动点，点(2,1),B O -为
坐标原点，则OA OB +的最大值是 16、已知函数(){}1099
,10
n x f x a x -=-为11,2a d ==的等差数列，
则12()()()n f a f a f a +++=
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分12分） 设函数()24cos(2)2cos 3
f x x x π
=-
+。

（1）求()f x 的最大值，并写出使()f x 取得最大值时x 的集合； （2）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3
(),22
f B C b c +=+=，求a 的最小值。

18、（本小题满分12分）
在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且1322,,3a a a 成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 满足2112log n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值。

19、（本小题满分12分）
假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元）有如下的统计资料：
若有资料知y 对x 呈线性相关关系。

（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+的回归系数ˆˆ,a b ； （3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
参考公式： 1
2
2
1
ˆ()n
i i
i n
i
i x y nx y
b
x
n x ==-=-∑∑，ˆˆa
=-
20、（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥P ABCD -，底面A B C D 为菱形，PA ⊥平面A B C D ，
60,,ABC E F ∠=分别是,BC PC 的中点。

（1）证明：AE PD ⊥；
（2）若2,2AB PA ==，求二面角E AF C --的余弦值。

21、（本小题满分12分）
已知函数()2
(ln )0,f x x a x x x a R =++>∈是常数。

（1）求函数()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程；
（2）若函数()y f x =图象上点都在第一象限，试求常数a 的取值范围； （3）证明：a R ∀∈，存在(1,)e ξ∈，使()(1)
()1
f e f f e ξ-=-。

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何这哥们选讲
如图已知圆上的AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点。

（1）求证：ACE BCD ∠=∠；
（2）若9,1BE CD ==，求BC 的长。

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知圆锥曲线3cos (x y θ
θθ
=⎧⎪⎨
=⎪⎩
是参数）和定点12(0,,3A F F 是圆锥曲线的左右焦点。

（1）求经过点2F 且垂直于直线1AF 的直线l 的参数方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线2AF 的极坐标方程。

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2123f x x x =++- （1）求不等式()6f x ≤的解集；
（2）若关于x 的不等式()1f x a <-的解集非空，求实数a 的取值范围。