2023-2024学年天津市南开中学高三上学期第一次月考数学试题及答案

南开中学2024届高三第一次月检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.
第Ｉ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合{
}2|230
A x x x =-->，{}1,2,3,4
B =，则()A B ⋂=R
ð（
）A. {}
1,2 B. {}
1,2,3 C. {}
3,4 D. {}
42. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）
A 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）
A
B. C. D.
4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin x
y x
=
C. )
lg
2y x
=- D. e e 2
x x
y --=
5. 计算：0
ln 2
28241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）
A. 0
B.
152
C. 2
D. 3
6. 已知1sin 3a =，0.9
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，271log 92c =，则（ ）
A. a c b
<< B. a b c << C. b a c << D. c a b
<<7.
π2cos 63αα⎛
⎫-
-= ⎪⎝
⎭，则πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭
（ ）.
.
A. 19
-
B.
19
C.
13
D.
89
8. 将函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象向右平移π6
个单位长度后，所得图象对应的函数为()y g x =，有下列命题：
①函数()g x 的图象关于直线πx =对称 ②函数()g x 图象关于点π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
对称③函数()g x 在π5π,2424⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 ④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确命题个数为（ ）A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 设函数ln 2,0()π1
sin ,π0
42x x x f x x x ω⎧+->⎪
=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
，
B. 174⎡⎢⎣
C. 49121652⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
， D. 65121732⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，第II 卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
10. 已知i 是虚数单位，化简
32i
12i
-+的结果为____________．11.
在代数式5
21x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>-
<< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
__________．的的
13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和
最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．
14. 已知定义在[)0+∞，上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()
1611f x x =--，且对任意的实数1
[222
2)n n x +∈--，（*
2N n n ∈，≥）
，都有()1122x f x f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.
15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若
{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 已知函数()()2
π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫
=+-+-
⎪⎝⎭
（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值和最小值.
17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2
C π
≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.
（1）求角B 的大小；
（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.
18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，
1AB =，E 为棱PC 的中点.
（1）证明：//BE 平面PAD ；
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.
19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
，短轴长为.
（1）求C 的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △
，求k 的值.20. 已知函数()11
lnx a
F x x x =
--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 取值范围；
（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,x x
，证明：21a a x x e e -<-<-
.
的
南开中学2024届高三第一次月检测
数学学科试卷
考试时间：120分钟
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，共150分.考试结束后，请交回答题卡.
第Ｉ卷
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合{
}2|230
A x x x =-->，{}1,2,3,4
B =，则()A B ⋂=R
ð（
）A. {}1,2 B. {}1,2,3 C. {}
3,4 D. {}
4【答案】B 【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合A ，再根据补集、交集的定义计算可得.【详解】由2230x x -->，即()()130x x +->，解得3x >或1x <-，所以{
}
2
|230{|1A x x x x x =-->=<-或3}x >，所以{}|13A x x =-≤≤R ð，
又{}1,2,3,4B =，所以()
{}1,2,3A B ⋂=R ð.故选：B
2. “sin 0x =”是“cos 1x =”的（ ）
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】根据充分性和必要性的定义结合同角三角函数的关系即可得出结论.
【详解】解：因为sin 0x =，根据三角函数的基本关系式，可得cos 1x ==±，
反之：若cos 1x =，根据三角函数的基本关系式，可得sin 0x ==，所以“sin 0x =”是“cos 1x =”的必要不充分条件.故选：C.
3. 函数()||sin 2f x x x =的部分图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】
【分析】根据()f x 是奇函数，排除B ，再取特殊值验证.【详解】因为()()||sin 2||sin 2()f x x x x x f x -=--=-=-所以()f x 是奇函数，排除B ，由02f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭π，排除A ，由44
f ππ
⎛⎫= ⎪⎝⎭，排除D ．故选：C ．
【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4. 下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上单调递减的是（ ）A. 2y = B. sin x y x
=
C. )
lg
2y x
=- D. e e 2
x x
y --=
【答案】C 【解析】
【分析】根据奇偶性定义、对数函数、指数函数单调性，结合复合函数的单调性依次判断各个选项即可.【详解】A 选项：()()2f x f x -==，不是奇函数，故A 选项错误；B 选项：()()()sin sin sin x x x
f x f x x x x
---=
===--，不是奇函数，故B 选项错误；C 选项：因为()f x 的定义域为R ，
且()()))
()22lg 2lg
2lg 414lg10f x f x x x x x -+=++=+-==，∴()f x 是奇函
数．设2t x ==
因为t =
()0,∞+上单调递减，lg y t =在()0,∞+上单调递增，
由复合函数单调性知，()f x 在()0,∞+上单调递减，故C 选项正确；
D 选项：()11
e 2e x x
f x ⎛⎫=
- ⎪⎝⎭
，因为1e e ,x
x
y y ==-在()0,∞+上都单调递增，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，故D 选项错误，故选：C ．5. 计算：0
ln 2
28241.1e log 1lg10ln e log +-+++的值（ ）
A. 0
B.
152
C. 2
D. 3
【答案】B 【解析】
【分析】根据指数及对数的运算法则计算可得；【详解】0ln 2
2242315
1.1e log 1lg10ln e log 812012log 222
+-+++=+-+++=.
故选：B
6. 已知1sin 3a =，0.9
13b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，271log 92c =，则（ ）
A. a c b <<
B. a b c <<
C. b a c <<
D. c a b
<<【答案】A 【解析】
【分析】化简得13c =
，构造函数()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，通过导数可证得sin ,0,2πx x x ⎛⎫
<∈ ⎪⎝⎭
，可得a c <，而0.9
11
33
b c ⎛⎫=>
= ⎪⎝⎭
，从而可得答案．【详解】2711lg 912lg 31log 922lg 2723lg 33
c =
=⨯=⨯=.设()sin ,0,2πf x x x x ⎛⎫
=-∈ ⎪⎝⎭
，则有()cos 10f x x '=-<，()f x 单调递减，
从而()(0)0f x f <=，所以sin ,0,
2πx x x ⎛⎫<∈ ⎪
⎝
⎭，故11
sin 33
<，即a c <，而0.9
11
33
b c ⎛⎫=>
= ⎪
⎝⎭
，故有a c b <<．故选：A ．
7.
π2
cos
63
αα
⎛⎫
--=
⎪
⎝⎭
，则
π
sin2
6
α
⎛⎫
-=
⎪
⎝⎭
（）
A.
1
9
- B.
1
9
C.
1
3
D.
8
9
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
π2
cos
63
αα
⎛⎫
--=
⎪
⎝⎭
，
12
sin cos
23
ααα
⎫
+-=
⎪⎪
⎭
，
1π2
cos sin
263
ααα⎛⎫
+=+=
⎪
⎝⎭
.
πππ
sin2cos2
626
αα
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
-=--
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
2ππ
cos2cosπ2
33
αα
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫
=-=-+
⎪ ⎪
⎢⎥
⎝⎭⎝⎭
⎣⎦
2
ππ
cos22sin1
36
αα
⎛⎫⎛⎫
=-+=+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
2
21
21
39
⎛⎫
=⨯-=-
⎪
⎝⎭
.
故选：A
8. 将函数()
π
3sin2
6
f x x
⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
的图象向右平移
π
6
个单位长度后，所得图象对应的函数为()
y g x
=，有下列命题：
①函数()
g x的图象关于直线π
x=对称
②函数()
g x的图象关于点
π
,0
12
⎛⎫
⎪
⎝⎭
对称
③函数()
g x在
π5π
,
2424
⎡⎤
-⎢⎥
⎣⎦
上单调递增
④函数()g x 在[]0,2π上恰有5个极值点其中正确的命题个数为（ ）A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B 【解析】
【分析】根据函数图象平移变换的特点，利用正弦弦函数的对称性、单调性、最值，结合函数的极值点定义逐项判断即可求解.
【详解】函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+
⎪⎝
⎭的图象向右平移π6
个单位长度后，所得图象对应的函数为()πππ3sin 23sin 2666y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛
⎫==-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎣⎦，
对于①，当πx =时，()π3π3sin 2π62
g ⎛
⎫=-
=- ⎪⎝
⎭，不是函数()y g x =的最值，故①错误；对于②，当π12x =
时，πππ3sin 2012126g ⎛⎫⎛
⎫=⨯
-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故②正确；对于③，当π5π,2424x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，πππ2,644x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，故函数在该区间上单调递增，故③正确；
对于④，令(ππ2πZ 62
x k k -
=+∈，解得()ππ
Z 23k x k =
+∈，当0,1,2,3k =时，π5π4π11π,,,3636
x =，在[]0,2π上有4个极值点，故④错误．
故选：B.
9. 设函数ln 2,0()π1
sin ,π0
42x x x f x x x ω⎧+->⎪
=⎨⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎝
⎭⎩有7个不同的零点，则正实数ω的取值范围为（ ）A. 131744⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭， B. 172144⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
， C. 49121652⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
， D. 65121732⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
，【答案】C 【解析】
【分析】分段函数分段处理，在1x >，01x <<各有1个零点，所以π0x -≤≤有5个零点，利用三角函数求出所有的零点，保证π0x -≤≤之间有5个零点即可.
【详解】由题，当1x ≥时，()ln 2f x x x =+-，显然()f x 在()1,+∞上单调递增，且()110f =-<，
()22ln 220f =+->，此时()f x 在()1,+∞在有一个零点；
当01x <<时，()ln 2f x x x =--，1
()10f x x
'=-
<，所以()f x 在()0,1上单调递减，2211(
)220e e
f =+->，此时()f x 在()0,1上只有一个零点；所有当π0x -≤≤时，()π1sin 42f x x ω⎛
⎫+
- ⎪⎝
⎭=有5个零点，令()0f x =，则π1sin 42
x ω⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，即
ππ2π46x k ω+
=+，或π5π
2π46
x k ω+=+，k ∈Z ，解得π
2π
12k x ω
-+=，或7π2π12
k x ω
-+=，k ∈Z ，
当0k =时，12π7π1212,x x ωω-
-==；当1k =时，34π7π
2π2π
1212
,x x ωω
----==；
当2k =时，56π7π
4π4π
1212
,x x ωω
-
---==；
由题可得π0x -≤≤区间内的5个零点，即π
4π
12π7π4π12πω
ω⎧--⎪≥-⎪⎪⎨⎪--⎪<-⎪⎩
，
解得
5
4912126ω≤<，即49651212ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，.故选：C.
【点睛】分段函数的零点问题点睛：根据函数的特点分别考虑函数在每段区间上的单调性，结合零点存在性定理，得到每一段区间上的零点的个数，从而得出函数在定义域内的零点个数.
第II 卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
10. 已知i 是虚数单位，化简32i
12i
-+的结果为____________．【答案】18i 55
--【解析】
分析】运用复数运算法则计算即可.
【
【详解】
2232i (32i)(12i)36i 2i 4i 38i 418
i 12i (12i)(12i)14i 1455
-----+--====--++--+.故答案为：18
i 55
-
-.11.
在代数式5
21x ⎫-⎪⎭的展开式中，常数项为_____________．【答案】-5【解析】
【分析】写出二项式定理的通项，化简后，使得x 的指数幂为0，即可求得k 的值.
【详解】5
21x ⎫-⎪⎭的展开式的通项为：()515522
15521C C 1r
r
r
r r r r T x x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
令5502r -=，解得1r =，所以()11215C 15T +=-=-
，5
21x ⎫⎪⎭的展开式中的常数项为5-.故答案为：-5
12. 函数()()ππ2sin 0,22f x x ωϕωϕ⎛
⎫=+>-
<< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则π=3f ⎛⎫
⎪⎝⎭
__________．
【解析】
【分析】根据函数()f x 的图象结合正弦函数的图象及性质，求得函数的解析式，再代入求值即可.【详解】由函数()f x 的图象可知，35ππ3π41234T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2π=πT ω
=，2ω=.把5π12x =
代入()f x ，则5ππ22π122k ϕ⨯
+=+，而ππ22
ϕ-<<，所以π3ϕ=-，所以()π2sin 23f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭
，
所以ππππ=2sin 22sin 3333f ⎛⎫⎛
⎫⨯-==
⎪ ⎪
⎝⎭⎝
⎭.
13. 在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度15 的看台上，同一列上的第一排和
最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60 和30 ，第一排A 点和最后一排E 点的距离为（如图所示），则旗杆的高度为____________米．
【答案】27【解析】
【分析】根据已知可得30ECA ∠= ，在EAC 中由正弦定理可得AC ，再利用t ABC R 中计算可得答案.
【详解】由图可得3609012012030∠=---= ECA ，
在EAC sin 30
= EA
，
即sin 452sin 30===
EA AC ，
在t ABC R 中，60CAB ∠= ，可得sin 6027=⨯== BC AC 米.故答案为：27.
14. 已知定义在[)0+∞，
上的函数()f x ，当[0,2)x ∈时，()()
1611f x x =--，且对任意的实数1[2222)n n x +∈--，（*2N n n ∈，≥），都有()1122x f x f ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，若函数()()log a g x f x x =-有且仅有五个零点，则a 的取值范围__________.
【答案】1410⎛ ⎝【解析】
【分析】写出()f x 的解析式并画出()f x 的图象，结合已知条件将问题转化为()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，结合图象分析即可求得结果.【详解】当[0,2)x ∈，()16(1|1|)f x x =--，
当2n =时，[2,6)x ∈，此时
1[0,2)2x -∈，则11()(1)16(1|2|)8(1|2|)22222x x x
f x f =-=⨯--=--，当3n =时，[6,14)x ∈，此时
1[2,6)2x -∈，则1155()(1)8(1||)4(1||)2224242x x x f x f =-=⨯--=--，当4n =时，[14,30)x ∈，此时
1[6,14)2
x
-∈，则111111()(1)4(1||)2(1||)2228484
x x x f x f =
-=⨯--=--，……
因为()()log a g x f x x =-有且仅有5个零点，
所以()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点，如图所示，
由图可知，当log a y x =经过点(10,4)A 时，两函数图象有4个交点，经过点(22,2)B 时，两函数图象有6个交点，
所以当()y f x =图象与log a y x =图象在(0,)+∞上有且仅有5个交点时，则
1
log 104log 222a a
a >⎧⎪
<⎨⎪>⎩
，解得1410a <<.
故答案为：1
410（.15. 记()ln f x x ax b =++（0a >）在区间[],2t t +（t 为正数）上的最大值为(),t M a b ，若
{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，则实数t 的最大值为__________.
【答案】1
4
##0.25【解析】
【分析】由函数单调性性质及图象变换可画出()f x 的图象，进而可得(,)()t M a b f t ≥，结合已知条件可知只需()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，由()(2)f t f t =+可得ln(2)ln 2(1)
2
t t a t b ++++=-，
联立两者进而可求得结果.
【详解】设()ln g x x ax b =++，（0a >），定义域为(0,)+∞，由单调性性质可知，()g x 在(0,)+∞上单调递增，
当x 趋近于0时，()g x 趋近于-∞；当x 趋近于+∞时，()g x 趋近于+∞，设0()0g x =，则()g x 的图象如图所示，
所以()f x 的图象如图所示，
则由图象可知，{}max (),()(2)
()(,)max (),(2)(2),()(2)t f t f t f t f x M a b f t f t f t f t f t ≥+⎧==+=⎨
+<+⎩
，
所以(,)()t M a b f t ≥，如图所示，
当()(2)f t f t =+时，有(ln )ln(2)(2)t at b t a t b -++=++++，
则ln(2)ln 2(1)
2
t t a t b ++++=
-，①
又因为{|(,)ln 3}R t b M a b a ≥+=，
所以()ln 3f t a ≥+，即(ln )ln 3t at b a -++≥+，所以ln ln 3b t at a ≤----，②由①②得
ln(2)ln 2(1)
ln ln 32
t t a t t at a ++++≤-----，
整理得ln(2)ln 2ln 3ln 9t t t +≥+=，即29t t +≥，所以14
t ≤
.故t 的最大值为14
.故答案为：
14
【点睛】恒成立问题解题方法指导：方法1：分离参数法求最值.
(1)分离变量．构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．(2)()a f x ≥恒成立⇔max ()a f x ≥；
()a f x ≤恒成立⇔min ()a f x ≤；
()a f x ≥能成立⇔min ()a f x ≥；
()a f x ≤能成立⇔max ()a f x ≤.
方法2：根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求
解．
三、解答题（本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
16. 已知函数()()2
π2sin πcos 2f x x x x ⎛⎫
=+-+-
⎪⎝⎭
（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程；
（2）当ππ,42x ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
时，求()f x 的最大值和最小值.【答案】（1）πT =，()5ππ
122
k x k =+∈Z （2）min 1y =，max 2y =.【解析】
【分析】（1）根据诱导公式以及二倍角公式化简，再根据周期公式、对称轴公式进行求解；（2）由x 的取值范围求出整体角的取值范围，再结合正弦型函数图像及性质得出结果.【小问1详解】
()()2
π
cos 2sin πcos 2
f x x x x ⎤
⎛⎫=+-+⋅ ⎪⎥⎝⎭⎦)
22sin cos 1cos2sin2x x x x x =+⋅=-+
sin22sin 23x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，
故周期为2π
π2
T ==，令2π,3
2
x k k π
π
-
=
+∈Z ，解得()5ππ
122
k x k =
+∈Z ，对称轴方程()5ππ
122
k x k =
+∈Z ，【小问2详解】
()2sin 23f x x π⎛
⎫=- ⎪
⎝
⎭∵
ππ
42
x ≤≤，∴ππ2π2,363t x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，
当π6t =
时，即π
4x =时，()min π1sin sin 62
t ==，此时min 1y =，
当π2t =
时，即5π
12x =时，()max πsin sin 12
t ==，此时max 2y =.
17. 在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其中2
C π
≠，已知cos 2cos cos b c A a B C -=.
（1）求角B 的大小；
（2）若223125b c ac +=-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）
3
π
（2【解析】
【分析】（1）根据正弦定理边化角或余弦定理化简原式，根据2
C π
≠
，所以cos 0C ≠或
222
2a b c b
+-≠，化简即可得出1cos 2B =，即可得出答案；（1）根据余弦定理结合第一问得出的角B 的大小得出222a c b ac +-=，结合已知223125b c ac +=-，得出224412a ac c ++=，根据基本不等式得出22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅即3
2
ac ≤
，即可由三角形面积公式得出答案；或将224412a ac c ++=化简为2
(2)12a c +=，由三角形面积公式结合基本不等式得
出ABC 的面积2
12sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=
⎪⎭，即可得出答案.【小问1详解】
方法一：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据正弦定理边化角得：sin sin cos 2sin cos cos B C A A B C -=，即()sin sin cos 2sin cos cos A C C A A B C +-=，所以sin cos 2sin cos cos A C A B C =，因为2
C π
≠
，所以cos 0C ≠，
又sin 0A >，所以1
cos 2
B =，又0πB <<，所以3
B π
=
.
方法二：由cos 2cos cos b c A a B C -=根据余弦定理：
得222222
2cos 22b c a a b c b c a B bc ab
+-+--=⋅
，
即2222222cos 22b c a a b c B b b -++-=⋅
，因为2C π
≠，所以222
02a b c b
+-≠，
所以1
cos 2B =
，又0πB <<，得3
B π=.小问2详解】
方法一：由（1）及余弦定理知2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，
所以222a c b ac +-=，因为223125b c ac +=-，
所以(
)
2
2
2
1235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，因为0,0a c >>，
所以22412422a c ac a c +=-≥⋅⋅，所以32ac ≤
，当且仅当2a c ==
a c ==时取等号，所以ABC
的面积1sin 2S ac B =
=≤
，所以ABC
方法二：由（1）及余弦定理知2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，
所以222a c b ac +-=.因为223125b c ac +=-，
所以(
)
2
2
2
1235a c c ac ac +---=，化简得224412a ac c ++=，即2
(2)12a c +=，
所以ABC
的面积2
12sin 222a c S ac B c +⎫===⋅≤=
⎪⎭，【
当且仅当2a c ==
a c ==
时取等号，
所以ABC 18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，
1AB =，E 为棱PC 的中点.
（1）证明：//BE 平面PAD ；
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；（3）求点D 到平面PBC 的距离.【答案】（1）证明见解析
（2
（3【解析】
【分析】（1）以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行；（2）求出平面PBD 的一个法向量，再由向量法求解；
（3）求出平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =
，再由向量法求解.
【小问1详解】
解：以点A 为原点，AB ，AD ，AP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.
可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，由E 为棱PC 的中点，得()1,1,1E ，
向量()0,1,1BE = ，()1,0,0AB =
，
故0BE AB ⋅= ，又AB
为平面PAD 的一个法向量，
又BE ⊄面PAD ，所以//BE 平面PAD .
【小问2详解】
向量()1,2,0BD =-
，()1,0,2PB =- ，()
0,1,1BE = 设(),,n x y z = 为平面PBD 的法向量，则0
n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即2020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，令1y =，得()2,1,1n =
为平面PBD 的一个法向量，
所以cos ,n BE n BE n BE
⋅===⋅
所以直线BE 与平面PBD
【小问3详解】
向量()1,2,0BC = ，设平面PBC 的法向量()2111,,n x y z =
，
220
n BC n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，即11112020x y x z +=⎧⎨-=⎩，令11y =-，得()22,1,1n =- 为平面PBC 的一个法向量，
则22
BD n d n ⋅=
==
.19. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>
，短轴长为.
.
（1）求C 的方程；
（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于A ，B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM △
，求k 的值.【答案】（1）22
142
x y += （2
）【解析】
【分析】（1）根据题意得出,a b 的值，进而可得结果；
（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，将其与椭圆方程联立，得出EM 斜率，联立方程组得出M 点的坐标，利用点到直线距离公式式，结合韦达定理以及三角形面积公式将面积表示为关于k 的方程，解出即可得结果.小问1详解】
由题意可得222
2c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得2a =
，b =
，c =∴椭圆C 的方程为22
142
x y +=.【小问2详解】
易知椭圆左顶点()2,0A -，
设直线l 的方程为()2y k x =+，则()0,2E k ，()0,2H k -，
由()22214
2y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消y 可得()2222128840k x k x k +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，∴()()422644841216k k k ∆=--+=，【
则有2122812k x x k +=-+，21228412k x x k
-=+，∴()2012214212k x x x k =+=-+，()0022212=+=+k y k x k ，∴00
12OP y k x k ==-，∴直线EM 的斜率2EM k k =，
∴直线EM 的方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+，
∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，∴点M 到直线:20l kx y k -+=
的距离d =，
∴
AB ==
∴1||2AP AB ==
∴241132212APM k S AP d k =⋅=⨯==+
△，解得k =.20. 已知函数()11
lnx a F x x x =--+.（Ⅰ）设函数()()()1h x x F x =-，当2a =时，证明：当1x >时，()0h x >；
（Ⅱ）若()0F x >恒成立，求实数a 的取值范围；
（Ⅲ）若a 使()F x 有两个不同的零点12,
x x ，证明：21a a x x e e -<-<-.
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）2a ≤；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
分析】
（Ⅰ）当2a =时对()h x 求导，证明1x >时，()0h x '>即可.（Ⅱ）设函数()()1ln 1a x f x x x -=-
+，根据函数的单调性判断ln x 与()11a x x -+的关系，根据()0F x >恒成立，确定a 的取值范围；
（Ⅲ）根据函数的单调性求出2121a a t t x x e e --<-<-，得到
【
21t t -==，证明结论成立即可.【详解】（Ⅰ）()()ln 111x a h x x x x ⎛⎫=--
⎪-+⎝⎭当2a =时，()()()21ln 21ln 111x x h x x x x x x -⎛⎫=--=- ⎪-++⎝⎭
()()()()()()()()
2222221211111114x x x x h x x x x x x x x +---+-'=-==+++，当1x >时，()0h x '>，
所以()h x 在()1,+∞上为单调递增函数，
因为()10h =，所以()()10h x h >=，
（Ⅱ）设函数()()1ln 1
a x f x x x -=-+，则()()()222111x a x f x x x +-+'=+，令()()2211g x x a x =+-+，
当1a ≤时，当0x >时，()0g x >，
当12a <≤时，2480a a ∆=-≤，得()0g x ≥，
所以当2a ≤时，()f x 在()0,∞+上为单调递增函数，且()10f =，
所以有()101
f x x >-，可得()0F x >．当2a >时，有2480a a ∆=->，
此时()g x 有两个零点，设为12,t t ，且12t t <.
又因为()12210t t a +=->，121t t =，
所以1201t t <<<，
在()21,t 上，()f x 为单调递减函数，
所以此时有()0f x <，即()1ln 1a x x x -<
+，得ln 011
x a x x -<-+，此时()0F x >不恒成立，
综上2a ≤．
（Ⅲ）若()F x 有两个不同的零点12, x x ，不妨设12x x <，
则12, x x 为()()1ln 1
a x f x x x -=-+的两个零点，且11x ≠，21x ≠，由（Ⅱ）知此时2a >，并且()f x 在()10,t ，()2,t +∞为单调递增函数，
在()12,t t 上为单调递减函数，且()10f =，
所以()10f t >，()20f t <，
因为()201a a a f e e -=-<+，()201a
a a f e e =>+，1a a e e -<<，
且()f x 图象连续不断，
所以()11,a x e t -∈，()22,a x t e
∈，所以2121a a t t x x e e
--<-<-，
因为21t t -==
综上得:21||a a x x e e -<-<-.
【点睛】方法点睛：求不等式恒成立问题的方法
（1）分离参数法
若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或
()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.。