高中物理中变力做功问题的积分解法-文档资料

高中物理中变力做功问题的积分解法
一、引言
在高中物理中，有时会碰到一些变力做功的问题，这些问题通常不能按一般的恒力做功的方法进行求解，但可以利用微积分法巧妙地进行解决。

用积分解决物理问题，一般都要先建立适当的坐标系。

如下图1所示，设有方向指向ox轴正方向的变力f（x），当某物体在该力作用下从点x+△x移动到点时，可以认为力所做的功为△w≈f（x）△x，当把△x看做无穷小量时dx时，就得到功的微分形式为dw=f（x）dx，而物体在变力作用f（x）下，从点a 移动到点b时，变力f（x）所做的功可以表示为：
二、变力做功的几种情况
（一）水池抽水做功问题
这类问题常常容易犯错，很多人常用恒力做功的方法分析，即用水的重力与水深之积求所做之功。

但仔细分析，这种方法明显是错误的，如果我们将水垂直分成为很多微分层，则每个微分层的水移动的距离应该是不相等的，因此不能采用常用的恒力做功的方法进行计算，但可以采用微分法进行计算。

下面讲一个简单的例子。

要把其抽到蓄水池口所做的功可表示为：
因此，根据积分公式，将蓄水池中30米深的水全部抽出池
口需要做的总功为：
因此，对于这类问题，我们不能按常用恒力做功方式进行求解，必须换一种方式，利用微分方法求解较简便。

同时，我们可以将此类问题进一步推广到求水中取物所做的功，其原理基本类似，方法类似。

（二）弹簧压缩或伸长做功问题
弹簧在压缩或伸长的过程中，其弹力会连续不断地变化，因此，如何求弹簧压缩或伸长所做的功，这就需要用到变力做功的积分法？
例2：如果10N（牛）的力可以使弹簧伸长20cm，求在弹性范围内使该弹簧伸长30cm所要做的功是多少？
我们可以进一步推广，在弹性范围内，弹簧从平衡位置压缩或拉伸a长（单位：m）所需要做的功为：
另外，我们还可以将此类问题推广到非均匀电场做功的计算，即求变电场对处在其中的带电粒子移动距离所做的功。

其公式可以总结如下：
（1）假设在一带电量为+Q的点电荷（选其坐标为ox轴原点）的电场中有一点电荷+q在该电场中从坐标a处移动到b处。

其电场所做的功可以表示为：
（2）若将上述点电荷+q从坐标a处移动到无穷远处，则其电场所做的功可以表示为：
（三）气体压缩或膨胀做功问题
封闭容器（或气缸）中的气体膨胀或压缩时，随着气体压强的连续变化，从而使得作用在活塞上的压力也必将不断变化，为了平衡活塞，在压缩气体时要一个外加压力推动活塞对容器（或气缸）内气体做功，或在气体膨胀时将推动活塞来做功，那么，如何求所做的功呢？这是一个典型的变动做功的问题，我们可以借助积分法进行求解。

解：在正圆柱气缸的气体（见图3），根据波义耳定律，若温度不变时，则PV=C（常数），P表示压强，V表示缸内气体体积，由题意得：
设正圆柱气缸内的蒸汽被压缩的长度表示为x（m），那么因此，要使蒸汽的体积减小一半，需要做的功为：
我们可以进一步进行推广，若将气体从坐标a点压缩到坐标b点，其所做的功为：
三、结语
运用定积分解决变力做功问题在高中物理中有特定的意义，它为变力做功提供了很好的思路，当我们遇到变力做功问题时，在实际解题时可以采用积分方法进行相应的分析和解答。