《用因式分解法解一元二次方程1》
2.2.3《一元二次方程的解法：因式分解法1》教学课件
小结 1.因式分解法是一种比较简单的解方程的方法，我 们是如何通过因式分解把一元二次方程降次的呢？
利用因式分解法将一个一元二次方程“降次”，
转化为两个一元一次方程。
因式分解主要方法:
(1)提取公因式法；
(2)公式法: 平方差公式
a2－b2=(a + b) (a－b) 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2
一元二次 方程 第2章
第2章 一元二次方程
一元二 本课内容 次方程 2.2
一元二次方程的解法
2.2.3 一元二次 方程的解法
因式分解法
动脑筋
例1 解方程：
x 3x 0
2
解：把方程左边因式分解，得 x(x-3)=0
由此得 解得
若a· b=0，则a=0或b=0
x=0 或 x-3=0 x1=0， x2=3.
1 5
,
x2 =
3 2
（3） (35－2x )2 – 900 = 0 解: 原方程可化为 (35 - 2x )2 - 302 = 0.
把方程左边因式分解， 得
(35－2x + 30)(35 - 2x – 30) = 0. 由此得 解得 65 - 2x = 0 或 5 - 2x = 0. x1 = 32.5， x2 = 2.5.
把方程左边因式分解， x （ x - 8 ） = 0，
由此得
解得
x = 0 或 x - 8 = 0.
x1 = 0 ， x2 = 8.
（2） 2x( 5x – 1) = 3( 5x – 1)
解：原方程可化为 2x (5x – 1) – 3( 5x – 1) = 0，
把方程左边因式分解， 得
(5x – 1)( 2x – 3) = 0， 由此得 解得 5x - 1 = 0或2x - 3 = 0. x1 =
《解一元二次方程》PPT课件下载(因式分解法)
因式分解法解一元二次方程的一般步骤
①移项,使一元二次方程等式右边为0; ②分解，把左边运用因式分解法化为两个一次因式的积; ③赋值，分别令每个因式等于0,得到两个一元一次方程; ④求解，分别解这两个一元一次方程，得到方程的解。
第二十一章 一元二次方程
21.2.3 解一元二次方程
因式分解法
前言
学习目标
1.会用因式分解法解一元二次方程。 2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性。
重点难点
重点：运用因式分解法求Байду номын сангаас一元二次方程。 难点：灵活应用各种因式分解法解一元二次方程。
回顾
我们已经学过对一个多项式进行因式分解的方法为： ① 提公因式法： pa+ pb + pc=p(a+b+c) ② 平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) ③ 完全平方公式： a2±2ab+b2=(a±b)2 ④ “十”字相乘法：x2+(p+q)x+pq = (x+p)(x+q)
因式分解法概念
＝1000×0.0225×1×0.8， A.条形统计图B.折线统计图C.统计表D.无法确定 【解析】【解答】解：如图： 9．解：÷5＝ A.意义相同B.大小相同C.大小不同
（112．）一我个觉长得方上淘体气述木对块解压长岁法、钱宽中的、支，高配分由比别较① 是合6理c到m，、② 他5c把m的少、部过3c分m程钱，买，它了的不玩表具是面，积用较是多开的平一平部方方分厘降钱米用次，来把，买它学而削习成是用一品先个，最因大大部式的分正分钱方都解体存，，入这银使个行正。方体的体
解一元二次方程的方法
解一元二次方程的方法
一元二次方程是高中数学中的重要内容，解一元二次方程是我
们学习数学时需要掌握的基本技能。
本文将介绍两种解一元二次方
程的方法，因式分解法和求根公式法。
首先，我们来看因式分解法。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，我们可以先利用因式分解的方法将其分解为两个一次因式相乘的形式，即(ax+m)(x+n)=0，然后令ax+m=0和x+n=0，分别求出x的值，即可得到方程的解。
举个例子，对于方程x^2+5x+6=0，我们可以将其分解为
(x+2)(x+3)=0，然后令x+2=0和x+3=0，解得x=-2和x=-3，即方程
的解为x=-2和x=-3。
其次，我们来看求根公式法。
一元二次方程ax^2+bx+c=0的根
可以通过求根公式x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)来求解。
其中，b^2-
4ac被称为判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实根；当判别式等于0时，方程有两个相等的实根；当判别式小于0时，
方程没有实根，但有两个共轭复根。
举个例子，对于方程x^2-4x+4=0，我们可以利用求根公式x=(-(-4)±√((-4)^2-414))/(21)，化简后得到x=2，即方程的解为x=2。
综上所述，解一元二次方程的方法包括因式分解法和求根公式法。
通过掌握这两种方法，我们可以轻松解决一元二次方程的问题，提高数学解题的效率和准确性。
希望本文对大家有所帮助，谢谢阅读！。
《因式分解法(第1课时)解一元二次方程》教案
2.2 一元二次方程的解法因式分解法第1课时因式分解法解一元二次方程教学目标1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、会用因式分解法解某些一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次〞化归的思想。
重点难点重点：，掌握用因式分解法解某些一元二次方程。
难点：用因式分解法将一元二次方程转化为一元一次方程。
教学过程〔一〕复习引入1、提问：(1) 解一元二次方程的根本思路是什么？(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次〞为一元一次方程的方法?2、用两种方法解方程：9(1-3x)2=25〔二〕创设情境说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。
解得x1= ，，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2-2t =0，这个方程能用因式分解法解吗?〔三〕探究新知2-2t=0，解答课本1．1节问题二。
把方程左边因式分解，得t(0.01t-2)=0，由此得出t=0或0.01t-2=0解得 t l=0，t2=200。
t1=0说明小明与小亮第一次相遇；t2=200说明经过200s小明与小亮再次相遇。
〔四〕讲解例题1、展示课本P．8例3。
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P．9“说一说〞栏目中的问题。
要使学生明确：解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，假设方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
3、展示课本P．9例4。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
〔五〕应用新知课本P．10，练习。
〔六〕课堂小结1、用因式分解法解一元二次方程的根本步骤是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
用因式分解法解一元二次方程
用因式分解法解一元二次方程【主体知识归纳】1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0，这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A＝0或B ＝0．【基础知识讲解】1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法．【例题精讲】例1：用因式分解法解下列方程：(1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1．解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6．(2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝21，t 2＝3．(3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0．∴x 1＝0，x 2＝23． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了．(2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解：原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2．(3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2－15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0；(6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2．剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3．(2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27，∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27．(3)移项，得3x 2－4x －1＝0，∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝37232)1(34)4()4(2±=⨯-⨯⨯--±--， ∴x 1＝372+，x 2＝372-． (4)移项，得y 2－2y －15＝0，把方程左边因式分解，得(y －5)(y ＋3)＝0；∴y －5＝0或y ＋3＝0，∴y 1＝5，y 2＝－3．(5)将方程左边因式分解，得(x －3)［5x －(x ＋1)］＝0，(x －3)(4x －1)＝0， ∴x －3＝0或4x －1＝0， ∴x 1＝3，x 2＝41． (6)移项，得4(3x ＋1)2－25(x －2)2＝0，［2(3x ＋1)］2－［5(x －2)］2＝0，［2(3x ＋1)＋5(x －2)］·［2(3x ＋1)－5(x －2)］＝0，(11x －8)(x ＋12)＝0，∴11x －8＝0或x ＋12＝0，∴x 1＝118，x 2＝－12． 说明：(1)对于无理系数的一元二次方程解法同有理数一样，只不过要注意二次根式的化简．(2)直接因式分解就能转化成两个一次因式乘积等于零的形式，对于这种形式的方程就不必要整理成一般式了．例3:解关于x 的方程：(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2．解：(1)当a 2－b 2＝0，即｜a ｜＝｜b ｜时，方程为－4abx ＝0．当a ＝b ＝0时，x 为任意实数．当｜a ｜＝｜b ｜≠0时，x ＝0．(2)当a 2－b 2≠0，即a ＋b ≠0且a －b ≠0时，方程为一元二次方程．分解因式，得［(a ＋b )x ＋(a －b )］［(a －b )x －(a ＋b )］＝0，∵a ＋b ≠0且a －b ≠0，∴x 1＝b a a b +-，x 2＝ba b a -+． 说明：解字母系数的方程，要注意二次项系数等于零和不等于零的不同情况分别求解．本题实际上是分三种情况，即①a ＝b ＝0；②｜a ｜＝｜b ｜≠0；③｜a ｜≠｜b ｜．例4:已知x 2－xy －2y 2＝0，且x ≠0，y ≠0，求代数式22225252y xy x y xy x ++--的值． 剖析：要求代数式的值，只要求出x 、y 的值即可，但从已知条件中显然不能求出，要求代数式的分子、分母是关于x 、y 的二次齐次式，所以知道x 与y 的比值也可．由已知x 2－xy －2y 2＝0因式分解即可得x 与y 的比值．解：由x 2－xy －2y 2＝0，得(x －2y )(x ＋y )＝0，∴x －2y ＝0或x ＋y ＝0，∴x ＝2y 或x ＝－y ．当x ＝2y 时，135y13y 5y 5y y 22)y 2(y 5y y 22)y 2(y 5xy 2x y 5xy 2x 2222222222-=-=+⋅⋅+-⋅⋅-=++--．当x ＝－y 时，21y4y 2y 5y )y (2)y (y 5y )y (2)y (y 5xy 2x y 5xy 2x 222222222-=-=+⋅-⋅+--⋅-⋅--=++--2． 说明：因式分解法体现了“降次”“化归”的数学思想方法，它不仅可用来解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程组及有关代数式的计算、证明中也有着广泛的 应用．【同步达纲练习】1．选择题(1)方程(x －16)(x ＋8)＝0的根是( )A ．x 1＝－16，x 2＝8B ．x 1＝16，x 2＝－8C ．x 1＝16，x 2＝8D ．x 1＝－16，x 2＝－8(2)下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2－15x ＋2＝0中，有一个公共解是( )A ．．x ＝21B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝－1(3)方程5x (x ＋3)＝3(x ＋3)解为( )A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝53，x 2＝－3 (4)方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( )A ．y 1＝5，y 2＝－2B ．y ＝5C ．y ＝－2D ．以上答案都不对(5)方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( )A ．x 1＝1，x 2＝－5B ．x 1＝－1，x 2＝－5C ．x 1＝1，x 2＝5D ．x 1＝－1，x 2＝5(6)一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4(7)已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( )A ．5B ．5或11C ．6D ．11(8)方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．填空题(1)方程t (t ＋3)＝28的解为_______． (2)方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________．(3)方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为__________．(4)关于x 的方程x 2＋(m ＋n )x ＋mn ＝0的解为__________．(5)方程x (x －5)＝5 －x 的解为__________．3．用因式分解法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0；(2)4x 2－1＝0； (3)x 2＝7x ；(4)x 2－4x －21＝0；(5)(x －1)(x ＋3)＝12； (6)3x 2＋2x －1＝0；(7)10x 2－x －3＝0；(8)(x －1)2－4(x －1)－21＝0．4．用适当方法解下列方程：(1)x 2－4x ＋3＝0；(2)(x －2)2＝256； (3)x 2－3x ＋1＝0；(4)x 2－2x －3＝0；(5)(2t ＋3)2＝3(2t ＋3)；(6)(3－y )2＋y 2＝9； (7)(1＋2)x 2－(1－2)x ＝0；(8)5x 2－(52＋1)x ＋10＝0；(9)2x 2－8x ＝7(精确到0．01)；(10)(x ＋5)2－2(x ＋5)－8＝0．5．解关于x 的方程：(1)x 2－4ax ＋3a 2＝1－2a ；(2)x 2＋5x ＋k 2＝2kx ＋5k ＋6；(3)x 2－2mx －8m 2＝0； (4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0．6．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求yx y x +-的值．7．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值．8．请你用三种方法解方程：x (x ＋12)＝864．9．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2＋9x －2的值．10．一跳水运动员从10米高台上跳水，他跳下的高度h (单位：米)与所用的时间t (单位：秒)的关系式h ＝－5(t －2)(t ＋1)．求运动员起跳到入水所用的时间．11．为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1视为一个整体，然后设x 2－1＝y ，则y2＝(x 2－1)2，原方程化为y 2－5y ＋4＝0，解此方程，得y 1＝1，y 2＝4．当y ＝1时，x 2－1＝1，x 2＝2，∴x ＝±2．当y ＝4时，x 2－1＝4，x 2＝5，∴x ＝±5．∴原方程的解为x 1＝－2，x 2＝2，x 3＝－5，x 4＝5．以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．(1)运用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．(2)既然可以将x2－1看作一个整体，你能直接运用因式分解法解这个方程吗参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)C (3)D (4)D (5)B (6)A (7)A (8)D2．(1)t 1＝－7，t 2＝4(2)x 1＝－21，x 2＝－2(3)y 1＝－1，y 2＝－23(4)x 1＝－m ，x 2＝－n (5)x 1＝5，x 2＝－1 3．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－21，x 2＝21；(3)x 1＝0，x 2＝7；(4)x 1＝7，x 2＝－3；(5)x 1＝－5，x 2＝3；(6)x 1＝－1，x 2＝31； (7)x 1＝53，x 2＝－21；(8)x 1＝8，x 2＝－2． 4．(1)x 1＝1，x 2＝3；(2)x 1＝18，x 2＝－14；(3)x 1＝253+，x 2＝253-；(4)x 1＝3，x 2＝－1； (5)t 1＝0，t 2＝－23；(6)y 1＝0，y 2＝3；(7)x 1＝0，x 2＝22－3； (8)x 1＝55，x 2＝10；(9)x 1≈7.24，x 2＝－3.24；(10)x 1＝－1，x 2＝－7． 5．(1)x 2－4ax ＋4a 2＝a 2－2a ＋1，(x －2a )2＝(a －1)2，∴x －2a ＝±(a －1)，∴x 1＝3a －1，x 2＝a ＋1．(2)x 2＋(5－2k )x ＋k 2－5k －6＝0， x 2＋(5－2k )x ＋(k ＋1)(k －6)＝0，［x －(k ＋1)］［x －(k －6)］＝0，∴x 1＝k ＋1，x 2＝(k －6)．(3)x 2－2mx ＋m 2＝9m 2，(x －m )2＝(3m )2∴x1＝4m ，x 2＝－2m(4)x 2＋(2m ＋1)x ＋m (m ＋1)＝0，(x ＋m )［x ＋(m ＋1)］＝0，∴x1＝－m ，x 2＝－m －16．(x ＋4y )(x －y )＝0， x ＝－4y 或x ＝y当x ＝－4y 时，y x y x +-＝3544=+---y y y y ； 当x ＝y 时，y x y x +-＝y y y y +-＝0． 7．(x 2＋y 2)(x 2＋y 2－1)－12＝0，(x 2＋y 2)2－(x 2＋y 2)－12＝0，(x 2＋y 2－4)(x 2＋y 2＋3)＝0，∴x 2＋y 2＝4或x 2＋y 2＝－3(舍去)8．x1＝－36，x 2＝249．∵x 2＋3x ＋5＝9，∴x 2＋3x ＝4， ∴3x 2＋9x －2＝3(x 2＋3x )－2＝3×4－2＝1010．10＝－5(t－2)(t＋1)，∴t＝1(t＝0舍去)x2＝211．(1)x(2)(x2－2)(x2－5)＝0，(x＋2)(x－2)(x＋5)(x－5)＝0出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。
2.4《用因式分解法求解一元二次方程》北师大版九年级上册教学课件1
想一想 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
x2–4 = 0 解：原方程可变形为
(x + 2)(x – 2) = 0. x + 2 = 0 或 x –2 = 0. x1 = –2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为
(x +1+5)(x+1–5) = 0. (x+6)(x–4) = 0. x+6 = 0 或 x–4 = 0. x1 = –6，x2 = 4.
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1
=
0，x2
=
4. 5
(2)原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0. x–2 = 0 ，或 x–1= 0. x1 = 2 ，x2 = 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
5x2=4x
移项
5x2–4x=0
提公因式x
x(5x–4)=0
等价于
x=0或5x–4=0
解一元一 次方程
x1=0，x2=
4 5
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x；
(2) x(x–2)=x–2.
分析：(2)
x(x–2)=x–2
移项
x(x–2)–(x–2)=0
提公因式(x–2)
(x–2)(x–1)=0
等价于
x–1=0或x–2=0
解一元一 次方程
x1=1，x2=2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
《用因式分解法解一元二次方程》
不是所有的一元二次方程都可以进行因式分解，需要判断是否可以 提取公因式或使用十字相乘法。
注意符号问题
在因式分解过程中，需要注意符号问题，确保结果的正确性。
限制条件
仅适用于一元二次方程
对符号敏感
因式分解法仅适用于一元二次方程， 不适用于其他类型的一元方程或多元 方程。
因式分解法对符号非常敏感，稍不注 意就会导致结果错误，因此需要特别 注意运算过程中的符号问题。
与开平方法比较
适用范围
开平方法和因式分解法都适用于 能够通过因式分解的一元二次方 程，但开平方法适用于开口向上
的二次方程。
简便性
对于能够通过因式分解的开口向 上的二次方程，开平方法相对简 单，因为不需要进行复杂的计算。
求解过程
开平方法需要找到方程的两个根， 然后进行开平方运算，而因式分 解法可以直接进行因式分解求解。
求解过程
因式分解法的求解过程相 对直观，而公式法需要使 用公式进行计算。
与配方法பைடு நூலகம்较
适用范围
配方法和因式分解法都适用于能 够通过因式分解的一元二次方程，
但配方法还可以用于其他形式的 一元二次方程。
简便性
配方法需要先进行配方，过程相对 复杂，而因式分解法相对简单。
求解过程
配方法需要先配方，然后使用公式 求解，而因式分解法可以直接进行 因式分解求解。
公式
ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中 x1、x2是一元二次方程的两个解。
因式分解法的应用范围
适用条件
适用于所有形式的一元二次方程，特 别是当方程可以轻易地分解为两个一 次因式时。
限制
对于某些特殊形式的一元二次方程， 如完全平方或平方差公式，因式分解 法可能不是最简便的方法。
九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》教案、教学设计
4.纠错与反思：在练习过程中，教师应及时发现并纠正学生的错误，引导学生进行反思，提高解题能力和自我评价能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热爱，激发学生的学习积极性，使其主动投入到数学学习中。
（五）总结归纳
1.知识点梳理：带领学生回顾本节课所学内容，强调因式分解法求解一元二次方程的关键步骤和注意事项。
2.方法总结：总结一元二次方程的求解方法，以及如何利用判别式判断根的情况。
3.情感态度：鼓励学生在面对数学问题时，要保持积极的心态，勇于挑战，善于合作与交流。
4.课后作业布置：布置适量的课后作业，让学生在课后巩固所学知识，提高解题能力。
2.自主探究：给予学生一定的思考时间和空间，让学生自主探究因式分解法求解一元二次方程的方法，培养学生独立解决问题的能力。
（1）引导学生回顾一元一次方程的解法，为一元二次方程的求解打下基础。
（2）通过分组讨论、师生互动，让学生总结因式分解法求解一元二次方程的步骤。
（3）引导学生思考如何判断一元二次方程的根的情况，引入判别式的概念。
3.演示与讲解：针对教学难点，教师进行讲解和演示，让学生直观地理解求解过程。
（1）利用实物、多媒体等教学资源，形象地展示因式分解法求解一元二次方程的过程。
（2）通过典型例题，讲解判别式的运用，帮助学生理解判断根的情况的方法。
4.巩固练习：设计不同难度层次的练习题，让学生进行巩固练习，提高解题能力。
（1）基础题：针对因式分解法的基本运用，使学生对求解方法达到熟练程度。
1.激发兴趣：通过生动有趣的实例引入，激发学生的学习兴趣，提高其学习积极性。
《用因式分解法求解一元二次方程》教案
（用因式分解法求解一元二次方程）教案（用因式分解法求解一元二次方程）教案一、教学目标（知识与技能）掌握应用因式分解的方法，会正确求一元二次方程的解。
（过程与方法）通过利用因式分解法将一元二次方程转化成两个一元一次方程的过程，体会“等价转化〞“降次〞的数学思想方法。
（感情态度价值观）通过探讨一元二次方程的解法，体会“降次〞化归的思想，逐渐养成主动探究的精神与积极参与的意识。
二、教学重难点（教学重点）运用因式分解法求解一元二次方程。
（教学难点）发觉与理解分解因式的方法。
三、教学过程(一)导入新课复习回忆：和学生一起回忆平方差、完全平方公式，以及因式分解的常用方法。
(二)探究新知问题1：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗如果相等，这个数是几你是怎样求出来的学生小组商量，探究后，展示三种做法。
问题：小颖用的什么法——公式法小明的解法对吗为什么——违背了等式的性质，x可能是零。
小亮的解法对吗其依据是什么——两个数相乘，如果积等于零，那么这两个数中至少有一个为零。
问题2：学生探讨哪种方法对，哪种方法错;错的原因在哪你会用哪种方法简便]师引导学生得出结论：如果a·b=0，那么a=0或b=0(如果两个因式的积为零，则至少有一个因式为零，反之，如果两个因式有一个等于零，它们的积也就等于零。
)“或〞有以下三层含义①a=0且b≠0 ②a≠0且b=0 ③a=0且b=0问题3：(1)什么样的一元二次方程可以用因式分解法来解(2)用因式分解法解一元二次方程，其关键是什么(3)用因式分解法解一元二次方程的理论依据是什么(4)用因式分解法解一元二方程，必需要先化成一般形式吗因式分解法：当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解。
这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法。
老师提示：1.用分解因式法的条件是：方程左边易于分解，而右边等于零;2.关键是熟练掌握因式分解的知识;3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零。
因式分解法解一元二次方程(1)
因式分解法解一元二次方程（1）学习目标：1了解因式分解法的解题步骤；2能用因式分解法解一元二次方程。
教学难点：：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．一学前准备学生活动解下列方程．（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）观察并思考：上面方程有什么特征？二、探究活动（1）上面两个方程中常数项为0（2）等式左边的各项有共同因式都能够因式分解：象这样的方程又有一种方法解一元二次方程2.师生共同的概念上面两个方程都能够写成：（1）x（2x+1）=0 （2）3x（x+2）=0因为两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是（1）x=0或2x+1=0，所以x1=0，x2=-12．（2）3x=0或x+2=0，所以x1=0，x2=-2．所以，我们能够发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．例1．解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4 (3)x(x-2)+x—2=0三．自我测试1．用因式分解法解下列方程．（1）3y2-6y=0 （2）25y2-16=0 （3）x2-12x-28=0（4）x2-12x+35=0 (5)（2x－1）2－x2= 0(6) x＋3－x（x＋3）= 02．下面一元二次方程解法中，准确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=13．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）．A．-12B．-1 C．12D．14．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．二次三项式x2+20x+96分解因式的结果为________；如果令x2+20x+96=0，那么它的两个根是_________．四学习体会本节课你有什么收获?还有什么疑问？五应用与拓展1解方程：⑴3x（x－1）= 2（x－1）（x＋1）⑵（3x－1）2－4x2= 0 （3）x2-3x-4=0 （4）x2-7x+6=0（5）x2+4x-5=02．已知（x+y）（x+y-1）=0，求x+y的值．3．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）4已知9a 2-4b 2=0，求代数式22a b a b b a ab +--的值．。
21.2.3用因式分解法解一元二次方程_课件_1
(
)
1、如何用因式分解法解一元二次方程？ 2、因式分解法解一元二次方程的一般步骤？ 3、解一元二次方程有几种方法，他们之间的联 系与区别是什么？
作业：书P14练习
1.解下列方程： . 2
(1) x x 0,
提公因式：x( x 1) 0， 所以有x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
我思
我进步
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2.
2
(a1x c1 )(a2 x c2 )
a2
c1 c2
(4)3x 7 x 2 0
2
例2 解下列方程
(1)2 y 3 y 2 0 (2)3x 10x 8 0
2
2
(3)4x 31x 45 0
2
(4) 3x 22x 24 0
但对于一般的二次三项式ax2+bx+c(a≠o),怎么把它分解因式呢 ? 4 x 2 12 x 9 ? . 3x 2 7 x 4 ?. 观察下列各式,也许你能发现些什么
解方程 : x 2 7 x 6 0得x1 1, x2 6; 而x 2 7 x 6 ( x 1)( x 6);
21.2.3因式分解法解一元二次方程(1)
21.2.3因式分解法解一元二次方程（１）学习目标：1、掌握用因式分解法解一元二次方程；2、进一步体验类比、转化、降次的数学思想方法。
【温故知新】1.把下列各式因式分解：am+bm+cm=a 2-b 2= a 2±2ab+b 2=2.请自己想办法解下列方程：⑴2x 2+x=0⑵x 2-4＝0．【归纳】利用因式分解使方程化为两个一次式乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．【自主学习】【例１】解方程：⑴x(x -2)+x-2=0 ⑵3x (x +2)=5(x +2)【对应练习】1．方程2x （x-2）=3（x-2）的解是___ ______ 。
2．方程（x+1）（x-2）=0的根是（ ）A ．-1，2B ．1，-2C ．0，-1D ．0， 23．若关于x 的一元二次方程的根分别为-5，7，则该方程可以为（ ）A ．（x+5）（x-7）=0B ．（x-5）（x+7）=0C ．（x+5）（x+7）=0D ．（x-5）（x-7）=04．用因式分解法解下列方程：⑴02=+x x （2）3x （x －１）＝2（1－x ）【归纳总结】1．因式分解法解一元二次方程的一般步骤：⑴将方程右边化为；⑵将方程左边分解成两个一次因式的；⑶令每个因式分别为，得两个一元一次方程；⑷解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。
2．如果0a b ⋅=，那么0a =或0b =，这是因式分解法的根据。
3．【强调】将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
【例2】解方程：（１）(3x +1)2-16=0 （２）x 2-6x +9=（5-2x ）2【对应练习】解方程：(3小题供A 层学生做)（1）3632-=-x x （2）4x 2-144=0 （3）()()22254x x -=-【例3】解方程：(4小题供A 层学生做)⑴x 2-3x -10=0 ⑵x 2-11x +28=0 (3)x 2+8x -20=0 ⑶(x +3)(x -1)=5【对应练习】1．方程（x+4）（x-5）=1的根为（ ）A ．x=-4B ．x=5C ．x 1=-4，x 2=5D ．以上结论都不对２．解方程：（1）2x -2x -15=0 （2）2x -10x ＋16＝0 (3) x 2+x-20=0【综合练习】解方程：(1)(x-3)2=x-3（2）3x 2-12x=-12 (3)2x +x -12=0 （4）（2x-1）2=（3-x ）2。
用因式分解法解一元二次方程
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－7)(x+1)=0
x2+4x－12=0
(x－2)(x+6)=0
x－7=0或x+1=0
x－2=0或x+6=0
∴ x1=7 ,x2=-1
∴ x1=2 ,x2=-6
解题步骤演示
例 (x+1)(x+3)=15 解：原方程可变形为
老师提示:
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而右 边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识;
3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
交流讨论：
x2 x
解：方程的两边同时除以x，得
x 1.
原方程的解为x 1.
这样解是否正确呢？
x2 x
解：(1)当x 0时，左边 02 0，右边 0. 左边 右边， x 0是原方程的解；
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 －9=0
回顾与复习 1
配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
助手 用配方法解一元二次方程的方法的
:
平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a.
完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式,且 a2±2ab+b2 =(a±b)2.
复习引入:
1、已学过的一元二次方程解 法有哪些？
2、请用已学过的方法解方程 x2 －9=0
x2－9=0
解：原方程可变形为
(x+3)(x－3)=0
《用因式分解法求解一元二次方程》教案
4 用因式分解法求解一元二次方程【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点，灵活选用简单的方法.【过程与方法】通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力.【情感态度】通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题、解决问题，树立转化的思想方法.【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.一、情境导入,初步认识复习：将下列各式分解因式（1）5x2-4x；（2）x2-4x+4；（3）4x（x-1）-2+2x；（4）x2-4；（5）（2x-1）2-x2.【教学说明】通过复习相关知识，有利于学生熟练正确地将多项式因式分解，从而有利地降低本节的难度.二、思考探究，获取新知一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？板演小颖、小明和小亮的三种解法引出分解因式的方法求一元二次方程.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法求解，这种方法解一元二次方程的方法称为分解因式法.【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.三、运用新知，深化理解1.解方程5x2＝4x.解：原方程可变形x（5x-4）＝0……第一步∴x＝0或5x-4＝0……第二步∴x1=0，x2=4/5.【教学说明】教师提问、板书，学生回答.分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”.分析步骤（二）对于一元二次方程，一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解.用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法.由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法.2.用因式分解法解下列方程：（1）5x2+3x＝0；（2）7x（3-x）＝4（x-3）；（3）9（x-2）2＝4（x+1）2.分析：（1）左边＝x（5x+3），右边＝0；（2）先把右边化为0，即7x（3-x）-4（x-3）＝0，找出（3-x）与（x-3）的关系；（3）应用平方差公式.解：（1）因式分解，得x（5x+3）＝0，于是得x＝0或5x+3＝0，x1＝0，x2＝-3/5；（2）原方程化为7x（3-x）-4（x-3）＝0，因式分解，得（x-3）（-7x-4）＝0，于是得x-3＝0或-7x-4＝0，x1＝3，x2＝-4/7；（3）原方程化为9（x-2）2-4（x+1）2＝0，因式分解，得［3（x-2）+2（x+1）］［3（x-2）-2（x+1）］＝0，即（5x-4）（x-8）＝0，于是得5x-4＝0或x-8＝0，x1＝4/5，x2＝8.【教学说明】（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解.（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数.3.选择合适的方法解下列方程.（1）2x 2-5x+2=0；（2）（1-x ）（x+4）=（x-1）（1-2x ）；（3）3（x-2）2＝x 2-2x.分析：（1）题宜用公式法；（2）题中找到（1-x ）与（x-1）的关系用因式分解法；（3）3（x-2）2＝x ·（x-2）用因式分解法.解：（1）a=2，b=-5，c=2，b 22-4×2×2=9＞0，534±， x 1=2，x 2=12； （2）原方程化为（1-x ）（x+4）+（1-x ）（1-2x ）＝0，因式分解，得（1-x ）（5-x ）=0，即（x-1）（x-5）=0，x-1=0或x-5=0，x 1=1，x 2=5；（3）原方程变形为3（x-2）2-x （x-2）=0，因式分解，得（x-2）（2x-6）＝0，x-2＝0或2x-6＝0，x 1＝2，x 2＝3.【教学说明】解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑配方法，而公式法比较麻烦.公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程.4.已知（a 2+b 2）2-（a 2+b 2）-6＝0，求a 2+b 2的值.分析：若把（a 2+b 2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a 2+b 2）为未知数的一元二次方程.解：设a 2+b 2=x ，则原方程化为x 2-x-6=0. c=-6，b 2-4ac=（-1）2-4×1×（-6）＝25＞0，x ，∴x 1=3，x 2=-2. 即a 2+b 2=3或a 2+b 2=-2，∵a2+b2≥0，∴a2+b2=-2不符合题意应舍去，取a2＋b2=3.【教学说明】（1）整体思想能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题.（2）在做题时要注意隐含条件.5.用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？若围成一个正方形，它的面积是多少？解：设长为xcm，则宽为（402-x）cm，x·（402-x）＝91，解这个方程，得x1=7，x2=13.当x=7cm时，402-x=20-7=13（cm）（舍去）；当x=13cm时，402-x=20-13=7（cm）.当围成正方形时，它的边长为404＝10（cm），面积为102=100（cm2）.【教学说明】应用提高、拓展创新，培养学生的应用意识和创新能力.四、师生互动，课堂小结1.本节课我们学习了哪些知识？2.因式分解法解一元二次方程的步骤有哪些？【教学说明】对某些方程而言因式分解法比较快捷，不适合因式分解法的再考虑其它方法.1.布置作业：教材“习题2.7”中第1、2题.2.完成创优作业中本课时“课时作业”部分.这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程，而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中，要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.。
因式分解法解一元二次方程
方法1
提取公因式ma+mb+mc=?
例：x2－6x=0
ma+mb+mc=m(a+b+c)
···
2.运用完全平方公式进行因式分解
经典
例:x2+8x+4 =0
例题
3x2－6x=-3.
与配方法的区别:配方法
是配成完全平方和、完
全平方差；因式分解是
现成的完全平方和、完
全平方差与平方差
运用平方差公式进行因式分解
实现降次来解
一元二次方程
提公因式法
完全平方公式
公式法
平方差公式
十字相乘法
x+6=0或x+7=0的形式
左边是两个一次式（未知数次数为1的式子）的乘积，右边等于0的形式
定义
把方程化为左边是两个一次式（未知数次
数为1的式子）的乘积，右边等于0的形式
，再使这两个一次式分别为0，从而实现降
次。这种解一元二次方程的方法叫做因式
分解法。
1
···
1.提取公因式法进行因式分解
解方程
···
用因式分解法解一元二次方程
回顾与复习 1
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法?
(1)直接开平方法: x2=a (a≥0)
(2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
(3)公式法:
是否还有其他方法呢？
我思
我进步
A× =
（1）A、B同时为0才得0，还是只要其中
一个 为0就得0？
（2）那么(x+6)(x-7)=0、x(10-x)=0呢？
X2-9=0
X2-8=0
方2
3.运用十字相乘法进行因式分解
因式分解法解一元二次方程1
学习是件很愉快的事
淘金者
你能用因式分解法解下列方程吗？
1.x2-4=0; 2.(x+1)2-25=0.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其他方法?
动脑筋
争先赛
1.解下列方程:
1. x 2x - 4 0, 2.4x2x 1 32x 1.
心动
不如行动
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
心动
不如行动
你能解决这个问题吗
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相 等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
例题欣赏
☞
因式分解法
用因式分解法解方程: (1)5x2=4x;(2)x-2=x(x-2).
因式分解法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式; 2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为零”,转化 为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程，它们 的根就是原方程的根.
想一想
先胜为快
一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
独立 作业
解下列方程
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 x 3); 4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x 2 x) 3( x 2 x); 6.(x 2)2 2x 32 ;
小亮做得对吗?
我思
我进步
因式分解法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用因式分解的方法 求解.这种用因式分解解一元二次方程的方法称为因 式分解法.
解一元二次方程——因式分解法题签(1)
解一元二次方程——因式分解法学习目标利用因式分解法解一元二次方程（理论依据及步骤）课上内容1. 因式分解法解一元二次方程________________________________________________________________（1） 用因式分解法解一元二次方程的条件（2） 理论依据例3 因式分解法 解下列方程()()()221220;132522.44 x x x x x x x -+-=--=-+因式分解法解一元二次方程的步骤练习 教材103页1、2题总结归纳：十字相乘法因式分解解一元二次方程（1）二次项系数为12x (a b)x ab=(x a)(x b)+++++例： 2x +3x-18=0练习()()-12=1)+8)(+(265-12x x x x =（2）二次项系数不为1212122112a a x (a c a c )x c c +++1122(a x c )(a x c )=++ 例：23x -7x+2=0练习：2()31081x +x =2()22y -1=-3y （）()234x -31x=452(4)-3x +22x-24=0配方法、公式法、因式分解法的联系与区别联系（1）________________________（2）________________________（3）________________________区别（1）________________________（2）________________________（3）________________________类型一解一元二次方程用适当的方法解方程类型二求参量关于x的一元二次方程mx2-(m+1)x+1＝0有两个不等的整数根，m为整数，那么m的值是__________ 类型三数形结合类型四换元法。
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根据物理学规律，如果把一个物体从地面 以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体 离地面的高度(单位：m)为
10 x 4.9 x
2
你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回 地面吗(精确到0.01s)? 设物体经过xs落回地面， 这时它离地面的高度为0，即
10 x 4.9 x 0
2
①
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
方法归纳
☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为 两个一元一次方程.
4. 分别解两个一元一次方程，它们的根就是 原方程的根.
独立 作业
1.4 x 1(5x 7) 0; 2.3xx 1 2 2 x;
3.(2 x 3)2 4(2 x 3);
解下列方程
1 7 1.x1 ; x2 . 42 5 2.x1 ; x2 1. 3 3 1 3.x1 ; x2 . 2 2 4.x1 3; x2 9.
简记歌诀： 右化零 左分解
两因式
各求解
练习
1.解下列方程：
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增 加了一倍，求小圆形场地的半径． 解：设小圆形场地的半径为r 根据题意 ( r + 5 )2×π=2r2π.
2r r 5 2r 0.
因式分解，得
r 5
于是得 r 2r 5 0或r 2r法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
我最棒
,用分解因式法解下列方程
4. (4x 2) x(2x 1) 5 ; .3x( x 2) 5( x 2); 2 6.(3x 1) 5 0; 2 7.2( x 3) xx 3; 2 8.(x 1) 3x 1 2 0;
2
1 4 4.x1 ; x2 . 2 5 7 5.x1 2; x2 . 4 3 6.x1 2; x2 . 3 7.x1 3, x2 6.
5 5 r1 , r2 (舍去). 2 1 1 2 5 m. 答：小圆形场地的半径是 2 1
已知9 a 4 b
2
2
a b a b 0，求代数式 的值. b a ab
2
2
参考答案： 2 x 1. (5 2 ) x 5 2 0 ; 1.x1 5; x2 2. 2 x 2. ( 3 5) x 15 0 ； 2.x1 5; x2 3. 3.x1 3; x2 2. 3.x 2 (3 2 ) x 18 0;
我思
我进步
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两 个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法 求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为分 解因式法.
例1、解下列方程
2x 6 3x 0
2
例题欣赏
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例2 解下列方程:
（ 1 ）x（x 2） x 2 0； 1 3 2 2 （2） 5 x 2x x 2x . 4 4
因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)化方程为一般形式; (2)将方程左边因式分解;
(3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程.
(4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
(3)3x( x 2) 5( x 2)
(4)(3x 1) 5 0
2
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1) x( x 2) 0
x1 0, x2 2
2 1 (3)(3x 2)( 2 x 1) 0 x1 , x2 3 2 2 (4) x x x1 0, x2 1
参考答案：
4.2( x 3)2 x 2 9;
5.5( x x) 3( x x); 2 2 6.(x 2) 2x 3 ; 7.(x 2)x 3 12; 8.x 2 5 2 x 8 0.
2 2
5.x1 0; x2 4. 1 6.x1 5; x2 . 3 7.x1 1, x2 6. 8.x1 4 2; x2 2.
9.x 12x 27 0;
2
8.x1 0; x2 1. 9.x1 3, x2 9.
小结
拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积 时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方 程的方法称为分解因式法.
分解因式法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌 握因式分解的知识,理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少 有一个因式等于零.”
回顾与复习 1
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法? X2=a (a≥0) 直接开平方法 2=n (n≥0) (x+m) 配方法 2 公式法 2.什么叫分解因式? 把一个多项式分解成几个整式乘积 的形式叫做分解因式.
b b 4ac 2 x . b 4ac 0 . 2a