推理与证明章末复习课件

内，M，N分别为AB、DF的中点． (1)若平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN与平面DCEF所成角 的正弦值； (2)用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线．
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(1)解
法一 如图(1)所示，取 CD 的中点 G，连接 MG，NG，设
正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2， 则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2， ∵平面 ABCD⊥平面 DCEF， ∴MG⊥平面 DCEF， ∴∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角． ∵MN＝ 6， 6 ∴sin∠MNG＝ ， 3 6 ∴直线 MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 3 .
立． 反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体 几何的证明中经常用到，在高考题中也经常体现，它所反映出的
“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要．反证法主要证明：
否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题．
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【例6】 如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面
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(2)证明
当 b＝2 时，由(1)知 an＝2n－1，
因此 bn＝2n(n∈N*)， 2＋1 4＋1 2n＋1 所证不等式为 · · „· ＞ n＋1. 2 4 2n 3 ①当 n＝1 时，左式＝ ，右式＝ 2. 2 左式＞右式，所以结论成立． ②假设 n＝k(k∈N*)时结论成立， 2＋1 4＋1 2k＋1 即 2 · 4 · 2k ＞ k＋1， „·
点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、
猜想，最后用逻辑推理方法进行验证．
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【例1】 如图所示，由正整数排成的三角形数表，第n行首尾两数
均为n，记第n(n>1)行第2个数为f(n)，根据数表中上下两行的数据
关系可以得到递推关系________，并通过有关求解可以得到通项 f(n)＝________.
立．第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时
结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可 用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立．
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5．归纳、猜想、证明 探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结 论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条 件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再
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图(1)
法二
设正方形 ABCD，DCEF 的边长为 2，以 D 为坐பைடு நூலகம்原点，分
别以射线 DC，DF，DA 为 x，y，z 轴正半轴建立空间直角坐标系， 如图(2)所示． 则 M(1,0,2)，N(0,1,0)， → ∴MN＝(－1,1，－2)． → 又DA＝(0,0,2)为平面 DCEF 的法向量， → → MN· DA 6 → → ∴cos〈MN，DA〉＝ ＝－ 3 ， → → |MN||DA| ∴MN 与平面 DCEF 所成角的正弦值为 6 → → |cos〈MN，DA〉|＝ 3 .
成立；在证明递推步骤时，必须使用归纳假设，必须进行恒等 变换． 2．探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问 题未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般
结论，它的解题思路是：从给出条件出发，通过观察、试验、
归纳、猜想、探索出结论，然后再对归纳，猜想的结论进行证 明．
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∴AB∥EN. 又AB∥CD∥EF，
∴EN∥EF，
这与EN∩EF＝E矛盾，故假设不成立． ∴ME与BN不共面，即它们是异面直线．
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专题四 数学归纳法 1．数学归纳法事实上是一种完全归纳的证明方法，它适用于与自
然数有关的问题．两个步骤、一个结论缺一不可，否则结论不
本 章 归 纳 整 合
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要点归纳
1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体 的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测 未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证 明． 2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中 证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式，另
EF∥AD， 因为 AD⊥BD，
所以 EF⊥BD.
又因为 CB＝CD，F 为 BD 的中点， 所以 CF⊥BD.所以平面 EFC⊥平面 BCD.
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专题三 反证法 如果一个命题的结论难以直接证明时，可以考虑反证法．通
过反设已知条件，经过逻辑推理，得出矛盾，从而肯定原结论成
一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的
前提，后者论证前者的可靠性．
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3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证
明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推
导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法， 在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种 方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证 明方法． 4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时， 它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成
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【例2】 自然数按下表的规律排列
则上起第2 007行，左起第2 008列的数为
A．2 0072 C．2 006×2 007 B．2 0082 D．2 007×2 008
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(
)．
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解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：
①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的 平方，即第n行的第1个数为n2； ②第一行第n个数为(n－1)2＋1； ③第n行从第1个数至第n个数依次递减1； ④第n列从第1个数至第n个数依次递增1. 故上起第2 007行，左起第2 008列的数，应是第2 008列的第2 007
构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开
始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题 时，应当把分析法和综合法结合起来使用．
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【例 4】 已知 a>0，求证： 证明 要证 只需证
2 2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2. a a
2
1 1 a ＋ 2－ 2≥a＋ －2， a a
* 1 2 n
(1)解 由题意：Sn＝bn＋r，当 n≥2 时，Sn－1＝bn 1＋r， 所以 an＝Sn－Sn－1＝bn 1(b－1)， 由于 b＞0 且 b≠1， 所以 n≥2 时，{an}是以 b 为公比的等比数列． 又 a1＝b＋r，a2＝b(b－1)， bb－1 a2 a1＝b，即 b＋r ＝b，解得 r＝－1.
【例 7】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知对任意的 n∈N*， 点(n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0 且 b≠1，b，r 均为常数)的 图象上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)，
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b1＋1 b2＋1 bn＋1 证明： 对任意的 n∈N ， 不等式 b · b · b ＞ n＋1成立． „·
1 1 a ＋a2＋2≥a＋a＋ 2.
1 1 2 a ＋a2＋2 ≥a＋a＋ 22，
2
∵a>0，故只需证
1 即 a ＋a2＋4
2
1 1 1 2 a ＋a2＋4≥a ＋2＋a2＋2 2 a＋a＋2，
2
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从而只需证 2 只要证
对归纳、猜想的结论进行证明．
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专题一 归纳推理和类比推理
归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论
“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明．尽管如此， 合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用． 运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明 是相互联系的．在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特
于 D，E，F. VS－DEF SD· SF SE· 则 ＝ . SB· VS－ABC SA· SC 证明如下：
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设∠BSC＝α，SA 和平面 SBC 所成的角为 β. 1 1 则 VSDEF＝3· sin β·△SEF＝6SD· SD· S sin α· β， sin 1 同理，VSABC＝ SA· SC· α· β， SB· sin sin 6 VSDEF SD· SF SE· ∴ ＝ . SB· VS－ABC SA· SC 1 β· SF· α＝6SD· SF· SE· sin SE· sin
(2)平面EFC⊥平面BCD.
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证明 (1)要证直线EF∥平面ACD， 只需证EF∥AD且EF⊄平面ACD. 因为E，F分别是AB，BD的中点，
所以EF是△ABD的中位线，
所以EF∥AD， 所以直线EF∥平面ACD.
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(2)要证平面 EFC⊥平面 BCD， 只需证 BD⊥平面 EFC， EF⊥BD， 只需证CF⊥BD， CF∩EF＝F.
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解析 由数表知 f(3)比 f(2)多 2，f(4)比 f(3)多 3，f(5)比 f(4)多 4„ 归纳得 f(n)比 f(n－1)多 n－1， 故得递推关系： f(n)－f(n－1)＝n－1， 即 f(n)＝f(n－1)＋n－1.∴f(3)－f(2)＝2，f(4)－f(3)＝3，„，f(n)－ f(n－1)＝n－1.上述式子相加得 f(n)－f(2)＝2＋3＋„＋(n－1)，∴ nn－1 n2－n＋2 f(n)＝1＋[1＋2＋…＋(n－1)]＝1＋ 2 ＝ . 2 答案 f(n)＝f(n－1)＋n－1(n>1) n2－n＋2 2