第七格与布尔代数
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成格，却不一定是子格。
16
三、子格
【例】 设〈A, ≤ 〉是一个格，其中 A={a,b,c,d,e},其哈斯图如图所示。 S1={a,b,c,d}，S2={a,b,c,e},则〈S1, 是〈A, ≤ 〉是一个子格，
≤〉
〈S2, ≤ 〉不是〈A, ≤ 〉是一个子格，因 为b∧c=d ∈S2，〈S2, ≤ 〉不是子格。a
定理：对于格中的一个真命题，其对偶命题亦真。
7
二、格的性质
定理1：若<A， ≤ >是一个格，则对任意a、b 、 cA，有
（1）a≤a∨b， b≤a∨b （2）a∧b≤a ，a∧b≤b （3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c （4）若c≤a且c≤b，则c≤a∧b
8
二、格的性质
（1）a≤a∨b， b≤a∨b 证明：因a∨b= lub{a，b}，它显然是 a 的一个上界， ∴ a≤a∨b ，同理：b≤a∨b。
四个定律：
（1）交换律： a∨b =b∨a a∧b =b∧a （2）吸收律： a∨（a∧b）=a a ∧（a∨b ）=a （3）结合律：a∨（b∨c）=（a∨b ）∨c，
a∧（b∧c）=（a∧b ）∧c （4）等幂律：a∨a = a a∧a = a
13
二、格的性质
定理4：设有格<A， ≤ >，对于任意a，b，c，dA，如果 a≤b和c≤d，则 （1） a∨c≤b∨d， （2）a∧c≤b∧d 证：∵ b≤b∨d，d≤b∨d ， 而a≤b，c≤d， ∴ 由传递性可得：a≤b∨d ，c≤b∨d， 这就表明b∨d是a和c的一个上界，而a∨c是a和c的最小上界， ∴必有a∨c≤b∨d。 类似地可以证明：a∧c≤b∧d
25
§3有补格
《定理》如果格<A,≤>有全上界（全下界），那么它 是唯一的。
证明：（反证法）设有两个全上界a和b，则由定义 a≤b，且b≤a，由“≤”的反对称性， a＝b。
《定义》设<A,≤>是一个格，如果格中存在全上界和 全下界，则称该格为有界格。
26
§3有补格
《定理》如果<A,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aA，有：
《定义》设<A,≤>是一个有界格，对于A中的一个元
素a，如果存在bA，使得ab=1和ab= 0，则
称元素b是元素a的补元。 讨论定义：
（1）∵ 和是可交换的，∴补元是相互的。
（2）0 1 0 1 0 0 , 0 1 1 1 0 1 ，即在 有界格中，1和0互为补元；
（3）由定义可知A中一个元素的补元不一定是唯一的； 可能存在多个补元，也可能不存在补元。
e
f
g
d
h
√ (c)
a
c
e f (d)
6
一、格
2、对偶格：若<A, ≤>是一个偏序集，则<A, ≥>也是 一个偏序集，其中“≥”是“≤”的逆关系。
若<A, ≤>是一个格，则<A, ≥>也是一个格，称这两个 格互为对偶。
若将关于格<A, ≤>的命题中符号≤，≥，∨、∧，分别 用≥，≤，∧、∨，代替，则得到一个新的命题，称 这个新命题为原命题的对偶命题。
< (S), ,,-> 是一个布尔代数。其中“,,-”分
别是集合的交、并、补运算。
33
§ 4 布尔代数
例： 设A是一非空集合,(A)是A的幂集,可以验 证,< (A),∪,∩,~,,A>是个布尔代数,称 此为集合代数,其中运算为∪, ∩, ~,全下界 ,全上界A。
34
§ 4 布尔代数
《定理》对于布尔代数中任意两个元素a,b，必定
有
(a) a
abab
abab
35
§ 4 布尔代数
定义：当布尔代数<A,,,->的载体A的基数|A|是有 限数时,则称之为有限布尔代数。
定义：设<A,,,->是一个布尔代数，a∈A,如果a盖 住0，则称元素a是该布尔代数的一个原子。
《定义》一个有补分配格称为布尔格。 讨论定义： (1)布尔格中，每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义A上的一个一元运算，称为补运算，
记为“-”。
32
§ 4 布尔代数
《定义》由布尔格<A,≤>，可以诱导一个
包括交，并和补运算的代数系统<A,,,->，称此
代数系统为布尔代数。
例：设S是一个非空有限集，<(S),>是一个格，且 是一个布尔格。由<(S),>所诱导的代数系统为
a (b c)=(a b) (a c) a (b c)=(a b) (a c)
则称<A,≤>是分配格。
18
§2分配格
例：判断图示的格是否是分配格 ∵a3∧（a4∨a5）=a3∧a1=a3 （a3∧a4）∨（a3∧a5）=a4∨a6=a4 ∴所示的格不是分配格。
19
§2分配格
《定理》如果格中交对并是分配的，那么并对交也是 分配的，反之亦然。
14
二、格的性质
定理5：在一个格<A， ≤ >中，对于任意a，b，c A，有下列分 配不等式成立：
（1）a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）
（2）a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）
证：由定理1，（1）（2）知： a≤a∨b和a≤a∨c，可得：
a ≤（a∨b）∧（a∨c），
①
又∵ b∧c ≤b≤a∨b和 b∧c≤c≤a∨c
｛2,7｝的最小上界为14。最大下界无。 ｛2,3｝的最小上界无，最大下界无。 ｛5,14｝的最小上界无，最大下界无。
3
然而也存在这样一类偏序集，它的每一对元素都有最小上界 和最大下界，如：偏序集(｛1,2,3,4,6,8,12,24｝,/)：其Hasze图 如下：
4
一、格
1．定义：设<A, ≤>是一个偏序集，若对A中的任两个元素a、 b，都有最小上界和最大下界，则称 <A, ≤>为格。
a1=1a=1 ，a1= 1a=a， a0=0a=a ，a0= 0a=0。 证明：因为1≤a1， 又因 (a1) A且1是全上界，∴ a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a 1，即： a≤a 1， 又 a1≤a， ∴ a1= a。仿此可得另两式。
27
§3有补格
b
c
d
17
e
wenku.baidu.com2 分配格
对格<A,≤>中的任意元素a,b,cA，必有
a (b c) ≤(a b) (a c) (a b) (a c) ≤ a (b c）
当上述两式中等号成立的时候，就得到一类特殊的格。
《定义》设<A,,>是由格<A,≤>所诱导的代数系
统。如果对任意的a,b,cA，满足：
证明：已知a (b c) ＝ (a b) (a c) (a b) (a c)=((a b) a) ((a b) c) =a ((a b) c) =a ((a c) (b c)) =(a (a c)) (b c) =a (b c)
即：并对交也是分配的。
20
§2分配格
《定理》每个链均是分配格。 证明：设<A,≤>是链。对任意a，b，cA
(1)若a≤b或a≤c，则 a (b c) ＝ a， (a b) (a c)＝a
即： a (b c) ＝ (a b) (a c) (2)若a≥b且a≥c，则 a (b c) ＝ b c，
(a b) (a c)＝ b c 即：a (b c) ＝ (a b) (a c)。得证。
《定理》在有界分配格中，若有一个元素有补元，则 必是唯一的。
证明：设a有两个补元素b和c,则有：
ab=1,ab= 0 ac=1,ac= 0 所以ab= ac，ab= ac
由定理知：b=c
31
§ 4 布尔代数
《定义》一个格<A,≤>如果它既是有补格，又是分配 格元，素则a的它唯为一有补补元分记配为格-a。。我们把有补分配格中任一
a (b c) ＝ b (a c)
∴分配格是模格
24
§3有补格
《定义》设<A,≤>是一个格，如果存在元素aA，对 于任意的x A，都有：a≤x 则称a为格<A,≤>的全下界，记格的全下界为0。
《定义》设<A,≤>是一个格，如果存在元素bA，对 于任意的x A，都有：x≤b 则称b为格<A,≤>的全上界，记格的全上界为1。
证明：（1）（2）
∵ a≤b 且偏序关系是自反的。
∴ b≤b ，∴ a∨b≤b
又 b≤a∨b成立
∴a∨b =b（偏序关系是反对称的）
设a∨b=b
∵ a≤a∨b成立，将a∨b =b代入a≤a∨b得：a≤b
类似可证（1）（3）
12
二、格的性质
定理3：<A， ≤ >是一个格，则对于任意a，b，cA，满足以下
本章将介绍其他的代数系统——格和布尔代数，格 论是数学的一个分支，不仅在近代解析集合有重要 的作用，而且在计算机领域也有一定的用途；布尔 代数形成比较早，在19世纪，就已经有了相当的发 展，布尔代数是研究和逻辑、集合等运算有关的知 识。
1
复习偏序关系中的上界，下界，上确界与下确界
定义 设<A, >为偏序集, BA, yA. (1) 若x(xB→xy)成立, 则称y为B的上界; (2) 若x(xB→yx)成立, 则称y为B的下界; (3) 令C = { y | y为B的上界 },若 C 有最小
其中上确界 lub {a,b}，记为a∨b,称为a和b的并。 下确界 glb {a,b}，记为a∧b,称为a和b的交。
将∨、∧，看作集合上的两个二元运算，故格<A, ≤>所诱 导的代数系统记作<A，∨，∧ >。
5
一、格
下述偏序集能构成格的是（ ？c ）
a
b
a
a
b
c
b
c
c
b
d
d
d
e
f
f
(a)
(b)
21
§2分配格
定理：设<A， ≤ >是一个分配格，则对于任意a，b，c A，如果有a∧b =a∧c和a∨b =a∨c成立，则必 有b =c。
证： ∵ （a∧b）∨c =（a∧c）∨c = c （a∧b）∨c=（a∨c）∧（b∨c）=（a∨b）∧（b∨c） =（b∨a）∧（b∨c）=b∨（a∧c）=b ∨(a∧b)=b ∴ b =c
10
二、格的性质
推论：在<A， ≤ >中，对于任意a，b ，cA， 如果b≤c，则 a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。
定理2：若<A， ≤ >是一个格，则对于任意a， bA，以下三个公式等价；
（1）a≤b （2）a∨b =b （3）a∧b =a
11
二、格的性质
（1）a≤b （2）a∨b =b （3）a∧b =a
元，则称该最小元为 B 的最小上界或上确界,记 为LUB(上确界)
(4) 令D = { y | y为B的下界 },若 D 有最大 元，则称该最大元为为B的最大下界或下确界,记 为GLB(下确界)
2
§1 格的概念
例：偏序集(｛2,3,5,7,14,15,21｝,/)，“/”为整除关 系。 其hasze图如下：｛2,7｝的最小上界、最大下 界各为什么？｛2,3｝呢？｛5,14｝呢？
（2） a∧b≤a ，a∧b≤b
证明：因a∧b= glb{a，b}，它显然是 a 的一个下界， ∴ a∧b≤a ，同理：a∧b≤b。
9
二、格的性质
（3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c
证明：∵a≤c且b≤c，由上界的定义知， c是{a，b}的一个上界， 而a∨b是{a，b}的最小上界， ∴a∨b≤c。 （4） 若c≤a且c≤b，则c≤a∧b 证明：∵c≤a且c≤b，由下界的定义知， c是{a，b}的一个下界， 而a∧b是{a，b}的最大下界， ∴c≤a∧b。
28
§ 3有补格
《定义》在一个有界格中，如果每个元素都至少有一 个补元素，则称此格为有补格。
讨论定义： （1）在有补格中，每一个元素一定存在补元（不一
定是一个补元）； （2）有补格一定是有界格，而有界格不一定是有补
格。
29
§ 3有补格
如图所示的格，是有补格吗？
该格是有界格，却不是有补格。
30
§ 3有补格
∴b∧c≤（a∨b）∧（a∨c） ②
对于①和②，有：a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）
利用对偶原理，即得：（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）
15
三、子格
定义 设<A， ≤ >是一个格，设非空集合
S且S A,若对任意的a,b∈S,有 a∧b∈S,a∨b∈S,则称〈S, ≤ 〉是<A，
≤ >的子格。 显然，子格必是格。而格的某个子集构
22
§2分配格
《定义》设<A,,>是由格<A,≤>所诱导的代数系
统。如对A中任意a，b，c，当b≤a时，有：
a (b c) ＝ b (a c)
则称<A,≤>为模格。
23
§2分配格
《定理》分配格是模格。
证明：由于a (b c) ＝ (a b) (a c) 若b≤a，则a b=b，代入上式得
16
三、子格
【例】 设〈A, ≤ 〉是一个格，其中 A={a,b,c,d,e},其哈斯图如图所示。 S1={a,b,c,d}，S2={a,b,c,e},则〈S1, 是〈A, ≤ 〉是一个子格，
≤〉
〈S2, ≤ 〉不是〈A, ≤ 〉是一个子格，因 为b∧c=d ∈S2，〈S2, ≤ 〉不是子格。a
定理：对于格中的一个真命题，其对偶命题亦真。
7
二、格的性质
定理1：若<A， ≤ >是一个格，则对任意a、b 、 cA，有
（1）a≤a∨b， b≤a∨b （2）a∧b≤a ，a∧b≤b （3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c （4）若c≤a且c≤b，则c≤a∧b
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二、格的性质
（1）a≤a∨b， b≤a∨b 证明：因a∨b= lub{a，b}，它显然是 a 的一个上界， ∴ a≤a∨b ，同理：b≤a∨b。
四个定律：
（1）交换律： a∨b =b∨a a∧b =b∧a （2）吸收律： a∨（a∧b）=a a ∧（a∨b ）=a （3）结合律：a∨（b∨c）=（a∨b ）∨c，
a∧（b∧c）=（a∧b ）∧c （4）等幂律：a∨a = a a∧a = a
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二、格的性质
定理4：设有格<A， ≤ >，对于任意a，b，c，dA，如果 a≤b和c≤d，则 （1） a∨c≤b∨d， （2）a∧c≤b∧d 证：∵ b≤b∨d，d≤b∨d ， 而a≤b，c≤d， ∴ 由传递性可得：a≤b∨d ，c≤b∨d， 这就表明b∨d是a和c的一个上界，而a∨c是a和c的最小上界， ∴必有a∨c≤b∨d。 类似地可以证明：a∧c≤b∧d
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§3有补格
《定理》如果格<A,≤>有全上界（全下界），那么它 是唯一的。
证明：（反证法）设有两个全上界a和b，则由定义 a≤b，且b≤a，由“≤”的反对称性， a＝b。
《定义》设<A,≤>是一个格，如果格中存在全上界和 全下界，则称该格为有界格。
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§3有补格
《定理》如果<A,≤>是有界格，全上界和全下界分别 是1和0，则对任意元素aA，有：
《定义》设<A,≤>是一个有界格，对于A中的一个元
素a，如果存在bA，使得ab=1和ab= 0，则
称元素b是元素a的补元。 讨论定义：
（1）∵ 和是可交换的，∴补元是相互的。
（2）0 1 0 1 0 0 , 0 1 1 1 0 1 ，即在 有界格中，1和0互为补元；
（3）由定义可知A中一个元素的补元不一定是唯一的； 可能存在多个补元，也可能不存在补元。
e
f
g
d
h
√ (c)
a
c
e f (d)
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一、格
2、对偶格：若<A, ≤>是一个偏序集，则<A, ≥>也是 一个偏序集，其中“≥”是“≤”的逆关系。
若<A, ≤>是一个格，则<A, ≥>也是一个格，称这两个 格互为对偶。
若将关于格<A, ≤>的命题中符号≤，≥，∨、∧，分别 用≥，≤，∧、∨，代替，则得到一个新的命题，称 这个新命题为原命题的对偶命题。
< (S), ,,-> 是一个布尔代数。其中“,,-”分
别是集合的交、并、补运算。
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§ 4 布尔代数
例： 设A是一非空集合,(A)是A的幂集,可以验 证,< (A),∪,∩,~,,A>是个布尔代数,称 此为集合代数,其中运算为∪, ∩, ~,全下界 ,全上界A。
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§ 4 布尔代数
《定理》对于布尔代数中任意两个元素a,b，必定
有
(a) a
abab
abab
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§ 4 布尔代数
定义：当布尔代数<A,,,->的载体A的基数|A|是有 限数时,则称之为有限布尔代数。
定义：设<A,,,->是一个布尔代数，a∈A,如果a盖 住0，则称元素a是该布尔代数的一个原子。
《定义》一个有补分配格称为布尔格。 讨论定义： (1)布尔格中，每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义A上的一个一元运算，称为补运算，
记为“-”。
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§ 4 布尔代数
《定义》由布尔格<A,≤>，可以诱导一个
包括交，并和补运算的代数系统<A,,,->，称此
代数系统为布尔代数。
例：设S是一个非空有限集，<(S),>是一个格，且 是一个布尔格。由<(S),>所诱导的代数系统为
a (b c)=(a b) (a c) a (b c)=(a b) (a c)
则称<A,≤>是分配格。
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§2分配格
例：判断图示的格是否是分配格 ∵a3∧（a4∨a5）=a3∧a1=a3 （a3∧a4）∨（a3∧a5）=a4∨a6=a4 ∴所示的格不是分配格。
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§2分配格
《定理》如果格中交对并是分配的，那么并对交也是 分配的，反之亦然。
14
二、格的性质
定理5：在一个格<A， ≤ >中，对于任意a，b，c A，有下列分 配不等式成立：
（1）a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）
（2）a∧（b∨c）≥（a∧b）∨（a∧c）
证：由定理1，（1）（2）知： a≤a∨b和a≤a∨c，可得：
a ≤（a∨b）∧（a∨c），
①
又∵ b∧c ≤b≤a∨b和 b∧c≤c≤a∨c
｛2,7｝的最小上界为14。最大下界无。 ｛2,3｝的最小上界无，最大下界无。 ｛5,14｝的最小上界无，最大下界无。
3
然而也存在这样一类偏序集，它的每一对元素都有最小上界 和最大下界，如：偏序集(｛1,2,3,4,6,8,12,24｝,/)：其Hasze图 如下：
4
一、格
1．定义：设<A, ≤>是一个偏序集，若对A中的任两个元素a、 b，都有最小上界和最大下界，则称 <A, ≤>为格。
a1=1a=1 ，a1= 1a=a， a0=0a=a ，a0= 0a=0。 证明：因为1≤a1， 又因 (a1) A且1是全上界，∴ a1≤1， ∴ a1=1。由交换律：1a＝a1=1。 因为a≤a，a≤1，∴a a≤a 1，即： a≤a 1， 又 a1≤a， ∴ a1= a。仿此可得另两式。
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§3有补格
b
c
d
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e
wenku.baidu.com2 分配格
对格<A,≤>中的任意元素a,b,cA，必有
a (b c) ≤(a b) (a c) (a b) (a c) ≤ a (b c）
当上述两式中等号成立的时候，就得到一类特殊的格。
《定义》设<A,,>是由格<A,≤>所诱导的代数系
统。如果对任意的a,b,cA，满足：
证明：已知a (b c) ＝ (a b) (a c) (a b) (a c)=((a b) a) ((a b) c) =a ((a b) c) =a ((a c) (b c)) =(a (a c)) (b c) =a (b c)
即：并对交也是分配的。
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§2分配格
《定理》每个链均是分配格。 证明：设<A,≤>是链。对任意a，b，cA
(1)若a≤b或a≤c，则 a (b c) ＝ a， (a b) (a c)＝a
即： a (b c) ＝ (a b) (a c) (2)若a≥b且a≥c，则 a (b c) ＝ b c，
(a b) (a c)＝ b c 即：a (b c) ＝ (a b) (a c)。得证。
《定理》在有界分配格中，若有一个元素有补元，则 必是唯一的。
证明：设a有两个补元素b和c,则有：
ab=1,ab= 0 ac=1,ac= 0 所以ab= ac，ab= ac
由定理知：b=c
31
§ 4 布尔代数
《定义》一个格<A,≤>如果它既是有补格，又是分配 格元，素则a的它唯为一有补补元分记配为格-a。。我们把有补分配格中任一
a (b c) ＝ b (a c)
∴分配格是模格
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§3有补格
《定义》设<A,≤>是一个格，如果存在元素aA，对 于任意的x A，都有：a≤x 则称a为格<A,≤>的全下界，记格的全下界为0。
《定义》设<A,≤>是一个格，如果存在元素bA，对 于任意的x A，都有：x≤b 则称b为格<A,≤>的全上界，记格的全上界为1。
证明：（1）（2）
∵ a≤b 且偏序关系是自反的。
∴ b≤b ，∴ a∨b≤b
又 b≤a∨b成立
∴a∨b =b（偏序关系是反对称的）
设a∨b=b
∵ a≤a∨b成立，将a∨b =b代入a≤a∨b得：a≤b
类似可证（1）（3）
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二、格的性质
定理3：<A， ≤ >是一个格，则对于任意a，b，cA，满足以下
本章将介绍其他的代数系统——格和布尔代数，格 论是数学的一个分支，不仅在近代解析集合有重要 的作用，而且在计算机领域也有一定的用途；布尔 代数形成比较早，在19世纪，就已经有了相当的发 展，布尔代数是研究和逻辑、集合等运算有关的知 识。
1
复习偏序关系中的上界，下界，上确界与下确界
定义 设<A, >为偏序集, BA, yA. (1) 若x(xB→xy)成立, 则称y为B的上界; (2) 若x(xB→yx)成立, 则称y为B的下界; (3) 令C = { y | y为B的上界 },若 C 有最小
其中上确界 lub {a,b}，记为a∨b,称为a和b的并。 下确界 glb {a,b}，记为a∧b,称为a和b的交。
将∨、∧，看作集合上的两个二元运算，故格<A, ≤>所诱 导的代数系统记作<A，∨，∧ >。
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一、格
下述偏序集能构成格的是（ ？c ）
a
b
a
a
b
c
b
c
c
b
d
d
d
e
f
f
(a)
(b)
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§2分配格
定理：设<A， ≤ >是一个分配格，则对于任意a，b，c A，如果有a∧b =a∧c和a∨b =a∨c成立，则必 有b =c。
证： ∵ （a∧b）∨c =（a∧c）∨c = c （a∧b）∨c=（a∨c）∧（b∨c）=（a∨b）∧（b∨c） =（b∨a）∧（b∨c）=b∨（a∧c）=b ∨(a∧b)=b ∴ b =c
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二、格的性质
推论：在<A， ≤ >中，对于任意a，b ，cA， 如果b≤c，则 a∨b≤a∨c，a∧b≤a∧c。
定理2：若<A， ≤ >是一个格，则对于任意a， bA，以下三个公式等价；
（1）a≤b （2）a∨b =b （3）a∧b =a
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二、格的性质
（1）a≤b （2）a∨b =b （3）a∧b =a
元，则称该最小元为 B 的最小上界或上确界,记 为LUB(上确界)
(4) 令D = { y | y为B的下界 },若 D 有最大 元，则称该最大元为为B的最大下界或下确界,记 为GLB(下确界)
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§1 格的概念
例：偏序集(｛2,3,5,7,14,15,21｝,/)，“/”为整除关 系。 其hasze图如下：｛2,7｝的最小上界、最大下 界各为什么？｛2,3｝呢？｛5,14｝呢？
（2） a∧b≤a ，a∧b≤b
证明：因a∧b= glb{a，b}，它显然是 a 的一个下界， ∴ a∧b≤a ，同理：a∧b≤b。
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二、格的性质
（3）若a≤c且b≤c，则a∨b≤c
证明：∵a≤c且b≤c，由上界的定义知， c是{a，b}的一个上界， 而a∨b是{a，b}的最小上界， ∴a∨b≤c。 （4） 若c≤a且c≤b，则c≤a∧b 证明：∵c≤a且c≤b，由下界的定义知， c是{a，b}的一个下界， 而a∧b是{a，b}的最大下界， ∴c≤a∧b。
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§ 3有补格
《定义》在一个有界格中，如果每个元素都至少有一 个补元素，则称此格为有补格。
讨论定义： （1）在有补格中，每一个元素一定存在补元（不一
定是一个补元）； （2）有补格一定是有界格，而有界格不一定是有补
格。
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§ 3有补格
如图所示的格，是有补格吗？
该格是有界格，却不是有补格。
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§ 3有补格
∴b∧c≤（a∨b）∧（a∨c） ②
对于①和②，有：a∨（b∧c）≤（a∨b）∧（a∨c）
利用对偶原理，即得：（a∧b）∨（a∧c）≤a∧（b∨c）
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三、子格
定义 设<A， ≤ >是一个格，设非空集合
S且S A,若对任意的a,b∈S,有 a∧b∈S,a∨b∈S,则称〈S, ≤ 〉是<A，
≤ >的子格。 显然，子格必是格。而格的某个子集构
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§2分配格
《定义》设<A,,>是由格<A,≤>所诱导的代数系
统。如对A中任意a，b，c，当b≤a时，有：
a (b c) ＝ b (a c)
则称<A,≤>为模格。
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§2分配格
《定理》分配格是模格。
证明：由于a (b c) ＝ (a b) (a c) 若b≤a，则a b=b，代入上式得