三角形的五心整理讲解

中英文学校自主招生平面几何讲义(三角形的五心)

一、三角形的重心

1、重心的性质：

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2： lo

证明一

三角形ABC, E、F是AB, AC的中点。EC、FB交于G。过E作EH平行BFo

AE=BE 推出AH二HF二1/2AF

AF=CF

推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

A

H H"

证明二

证明方法：

在AAEC内，三边为a, b, c,点0是该三角形的重心，A0A1、B0B1、

C0C1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1,

OB1=1/3BB1, OC1=1/3CC1 过0, A 分别作 a 边上高hl, h 可知0hl=l/3Ah 贝旅S(AB0C)=l/2Xhla=l/2 Xl/3ha=l/3S( AABC)；同理可证S(AA0C)=l/3S(AABC),

S(AA0B)=l/3S(AABC)所以，S(ABOC) =SA( A0C)=SA( AOB)

3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形)证明方

法：

设三角形三个顶点为(xl, yl), (x2, y2), (x3, y3)平面上任意一点为(x, y)则该点到三顶点距离平方和为:(xl-x厂2+(yl-y厂2+(x2- x厂2+(y2-y厂2+(x3-x)"2+(y3-y厂2

=3x"2-2x (xl+x2+x3) +3才2- 2y(yl+y2+y3)+x「2+x2"2+x3"2+y「2+y2"2+y3八 2

=3 (x-1/3*(xl+x2+x3)厂2+3(y-

l/3(yl+y2+y3)厂2+x「2+x2八2+x3八2+y「2+y 2"2+y3"2-1/3 (xl+x2+x3厂2-

l/3(yl+y2+y3厂2

显然当x=(xl+x2+x3)/3, y二(yl+y2+y3)/3 (重心坐标)时上式取得最小值x「2+x2"2+x3J+y「2+y2"2+y3"2-l/3(xl+x2+x3)"2-l/3(yl+y2+y3)"2 最终得岀结论。

4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其

坐标为((Xl+X2+X3)/3, (Yl+Y2+Y3)/3)；

空间直角坐标系一一横坐标：(Xl+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：(zl+z2+z3)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

6o在厶ABC中，若MA向量+MB向量+MC向量二0(向量)，贝【J M点ABC的重心，反之也成立。

7.设AABC重心为G点，所在平面有一点0,则向量0G=l/3(向量0A+向量0B+向量0C)

8.相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。

证明方法：

TD为BC中点,

ABD=CD,

又J hAABD=hAACD, hAB0D=Ah COD, ASAABD=SAACD, SAB0D=AS COD, 即SA AOF+SA BOF+SA B0D=AS AOE+AS COE+AS COD, SA

B0D=AS COD, A SAAOF+SAB0F=SAA0E+AS COE. 同理，

TE 为AC 中点，ASAAOF+SABOF=SABOD+AS COD. ASAAOE+AS

COE=AS BOD+AS COD.

又VSABOF/SABOD+AS COD=OF/OCA, SAOF/SAAOE+AS COE,即

SABOF=SAAOFo

ABF=AF,

・・.CF为AB边上的中线，即三角形的三条中线相交于一点。

重心顺口溜

三条中线必相交，交点命名为"重心”重心分割中线段，线段之比听分晓；长短之比二比一。

二、三角形的外心

定义

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上

三条中垂线共点证明

VI m分别为线段AB、AC的中垂线

•I AF=BF=CF

ABC中垂线必过点F

三角形外心的性质

设/ ABC的外接圆为O G(R),角A、E、C的对边分别为a、b、C, p二(a+b+c)/2・性质1： ( 1)锐角三角形的外心在三角形内;

(2)直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；(3)钝角三角形的

外心在三角形外.

性质2： ZBGC=Z2 A,(或Z BGC=2(180° -ZA)・

性质3： Z GACZ+ B=90°证明：如图所示延长AG与圆交与P TA、C、

E、P 四点共圆AZP=ZB

V ZP+ZGAC=9° 0

AZ GACZ+ B=90°

性质4：点G是平面AEC上一点，点P是平面AEC上任意一点，那么点G是/ABC外心的充要条件是：

(1)向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB) 向量PC) /2 (tanA+tanB+tanC)・

或(2)向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+ (cosC/2sinAsinB)向量PC.

性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角

形外接圆心. 外心到三顶点的距离相等。

性质6：点G是平面AEC上一点，那么点G是/ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB) •向量AB=(向量GE+向量GC) •向量BC=(向量GC+向量GA) •向量CA=O.