2018届重庆中考复习_重庆中考几何题分类汇编(含答案解析)

重庆中考几何题分类汇编（含答案）
类型1 线段的倍分：要证线段倍与半，延长缩短去实验
例1 如图Z3－1，在△ABC中，AB＝AC，CM平分∠ACB交AB于M，在AC的延长线上截取CN＝BM，连接MN 交BC于P，在CB的延长线截取BQ＝CP，连接MQ.
(1)求证：MQ＝NP；
(2)求证：CN＝2CP.
针对训练：
1．如图Z3－2，在▱ABCD中，AC⊥BC，点E、点F分别在AB、BC上，且满足AC＝AE＝CF，连接CE、AF、EF.
(1)若∠ABC＝35°，求∠EAF的度数；
(2)若CE⊥EF，求证：CE＝2EF.
2．已知，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，E 为边AC 任意一点，连接BE.
(1)如图①，若∠ABE＝15°，O 为BE 中点，连接AO ，且AO ＝1，求BC 的长；
(2)如图②，F 也为AC 上一点，且满足AE ＝CF ，过A 作AD⊥BE 交BE 于点H ，交BC 于点D ，连接DF 交BE
于点G ，连接AG.若AG 平分∠CAD，求证：AH ＝12AC.
3．在△ACB 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，点D 是AC 上一点，连接BD ，过点A 作AE⊥BD 于E ，交BC 于F.
(1)如图①，若AB ＝4，CD ＝1，求AE 的长；
(2)如图②，点G 是AE 上一点，连接CG ，若BE ＝AE ＋AG ，求证：CG ＝2AE.
4．在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，连接AD.
(1)如图①，E 是AC 的中点，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′，当AD ＝6时，求AE′的值．
(2)如图②，在AC 上取一点E ，使得CE ＝13
AC ，连接DE ，将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，连接AE′交
BC 于点F ，求证：DF ＝CF.
类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验
例2 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，在BC上截取BD＝BA，连接AD，在AD左侧作∠EAD＝45°交BD于E.
(1)若AC＝3，则CE＝________(直接写答案)；
(2)如图①，M、N分别为AB和AC上的点，且AM＝AN，连接EM、DN，若∠AME＋∠AND＝180°，求证：DE ＝DN＋ME；
(3)如图②，过E作EF⊥AE，交AD的延长线于F，在EC上选取一点H，使得EH＝BE，连接FH，在AC上选取一点G，使得AG＝AB，连接BG、FG，求证：FH＝FG.
针对训练：
1．如图Z3－7，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝AD，EG⊥AB于G，延长GE、DC交于点F，连接AF.
(1)若BE＝2EC，AB＝13，求AD的长；
(2)求证：EG＝BG＋FC.
2．如图，在正方形ABCD 中，点P 为AD 延长线上一点，连接AC 、CP ，过点C 作CF⊥CP 于点C ，交AB 于点F ，过点B 作BM⊥CF 于点N ，交AC 于点M.
(1)若AP ＝78
AC ，BC ＝4，求S △ACP ；
(2)若CP －BM ＝2FN ，求证：BC ＝MC.
3．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，以AB 为一边向外作菱形ABDE ，连接DC ，EB 并延长EB 交AC 于F ，且CB⊥AE 于G.
(1)若∠EBG＝20°，求∠AFE；
(2)试问线段AE ，AF ，CF 之间的数量关系并证明．
类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线
例3 如图Z3－10①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别为斜边AC上两点，且AD＝AB，CE＝CB，连接BD、BE.
(1)求∠EBD的度数；
(2)如图Z3－10②，过点D作FD⊥BD于点D，交BE的延长线于点F，在AB上选取一点H，使得BH＝BC，连接CH，在AC上选取一点G，使得GD＝CD，连接FH、FG，求证：FH＝FG.
针对训练：
1．如图，已知在▱ABCD中，G为BC的中点，点E在AD边上，且∠1＝∠2.
(1)求证：E是AD中点；
(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3＝∠2，求证：CD＝BF＋DF.
2．如图Z 3－12，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上的点，连接AE ，AF ，DE 、EF ，∠DAE ＝∠BAF.
(1)求证：CE ＝CF ；
(2)若∠ABC＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG ，EG.求证：DG⊥GE.
3．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 与点B 在AC 同侧，∠ADC ＞∠BAC，且DA ＝DC ，过点B 作BE∥DA 交DC 于点E ，M 为AB 的中点，连接MD ，ME.
(1)如图①，当∠ADC＝90°时，线段MD 与ME 的数量关系是________；
(2)如图②，当∠ADC＝60°时，试探究线段MD 与ME 的数量关系，并证明你的结论；
(3)如图③，当∠ADC＝α时，求ME MD
的值．
(3)如图③，把图3－14②中的△CDE绕点C顺时针旋转任意角度，然后连接BE，点P为BE中点，连接AP，PD，AD，问第(2)问中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5．在△ABC中，以AB为斜边，作直角三角形ABD，使点D落在△ABC内，∠ADB＝90°.
(1)如图①，若AB＝AC，∠BAD＝30°，AD＝6 3，点P、M分别为BC、AB边的中点，连接PM，求线段PM 的长；
(2)如图②，若AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ACE，连接ED并延长交BC于点P，求证：BP＝CP；
(3)如图③，若AD＝BD，过点D的直线交AC于点E，交BC于点F，EF⊥AC，且AE＝EC，请直接写出线段BF、FC、AD之间的关系(不需要证明)．
例4 2017·河南如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
(1)观察猜想：图①中，线段PM与PN的数量关系是__________，位置关系是__________；
(2)探究证明：把△ADE绕点A按逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．
针对训练：
1．如图①，在任意的三角形ABC中，分别以AB和AC为一边作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB＝AE，AC＝AD，且∠BAE＋∠CAD＝180°，连接DE，延长CA交DE于F.
(1)求证：∠CAB＝∠AED＋∠ADE；
(2)若∠ACB＝∠BAE＝∠CAD＝90°，如图②，求证：BC＝2AF；
(3)若在△ABC中，如图③所示，作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD，AB与DE交于点F，F为DE的中点，请问(2)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．
连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF.
(1)如图①，当∠BAE＝90°时，求证：CD＝2AF；
(2)当∠BAE≠90°时，(1)的结论是否成立？请结合图②说明理由．
3．如图①，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，在底边BC上取一点D，在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE，在∠ABD的内部作∠ABF＝2∠EDC，交AD于点F.
(1)求证：△ABF是等腰三角形；
(2)如图②，BF的延长交AC于点G.若∠DAC＝∠CBG，延长AC至点M，使GM＝AB，连接BM，点N是BG的中点，连接AN，试判断线段AN、BM之间的数量关系，并证明你的结论．
图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现．
角平分线平行线，等腰三角形来添．角平分线加垂线，三线合一试试看．
例5．如图，把△EFP放置在菱形ABCD中，使得顶点E，F，P分别在线段AB，AD，AC上，已知EP＝FP＝6，EF＝6 3，∠BAD＝60°，且AB＞6 3.
(1)求∠EPF的大小；
(2)若AP＝10，求AE＋AF的值．
针对训练：
1．已知：如图①，AD平分∠BAC，∠B＋∠C＝180°，∠B＝90°，易知：DB＝DC.
探究：如图②，AD平分∠BAC，∠ABD＋∠ACD＝180°，∠ABD＜90°，求证：DB＝DC.
F.
(1)如图①，若AB＝4，CD＝1，求AE的长；
(2)如图②，点P是AC上一点，连接FP，若AP＝CD，求证：∠ADB＝∠CPF.
3．已知，在▱ABCD中，∠BAD＝45°，AB＝BD，E为BC上一点，连接AE交BD于F，过点D作DG⊥AE 于G，延长DG交BC于H.
(1)如图①，若点E与点C重合，且AF＝5，求AD的长；
(2)如图②，连接FH，求证：∠AFB＝∠HFB.
4．如图，将正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.当点M在边AD上移动时，连接BM、BP.
(1)求证：BM是∠AMP的平分线；
(2)△PDM的周长是否发生变化？证明你的结论．
类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验
例6．△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.
(1)观察猜想：如图①，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为：________．
②BC ，CD ，CF 之间的数量关系为：___________；(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考：如图Z 3－25②，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
(3)拓展延伸：如图Z 3－25③，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB
＝2 2，CD ＝14
BC ，请求出GE 的长．
针对训练：
1．在四边形ABCD 中，∠B ＋∠D＝180°，对角线AC 平分∠BAD.
(1)如图①，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．
(2)如图②，若将(1)中的条件“∠B＝90°”去掉，(1)中的结论是否成立？请说明理由．
(3)如图③，若∠DAB＝90°，探究边AD 、AB 与对角线AC 的数量关系并说明理由．
2．如图①，在正方形ABCD中，点E为边BC上一点，将△ABE沿AE翻折得△AHE，延长EH交边CD于F，连接AF.
(1)求证：∠EAF＝45°；
(2)延长AB，AD，如图②，射线AE、AF分别交正方形两个外角的平分线于M、N，连接MN，若以BM、DN、MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
3．如图①，在正方形ABCD内有一点P，PA＝5，PB＝2，PC＝1，求∠BPC的度数．【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到了△BP′A(如图Z3－28②)，然后连接PP′.
(1)请你通过计算求出图Z3－28②中∠BPC的度数；
(2)如图③，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2 13，PB＝4，PC＝2.请求出∠BPC的度数．
重庆中考几何题分类汇编答案
例1. 证明：(1)∵AB＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠MBQ ＋∠ABC＝180°，
∠ACB ＋∠PCN＝180°，∴∠MBQ ＝∠PCN.在△QBM 和△PCN 中，
⎩⎪⎨⎪⎧QB ＝PC ，∠MBQ ＝∠PCN，BM ＝CN ，
∴△QBM ≌△PCN(SAS)．∴MQ＝NP.
(2)过M 作MG∥AC 交BC 于G ，
∵MG ∥AC ，∴∠MGB ＝∠ACB，∠MGC ＝∠PCN，∵由(1)知，∠ABC ＝∠ACB，∴∠ABC ＝∠MGB，∴MB ＝MG ，∵MB ＝CN ，
∴MG ＝CN.在△MGP 和△NCP 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠MPG＝∠CPN，∠MGC ＝∠PC N ，MG ＝NC ，
∴△MGP ≌△NCP(AAS)．
∴PG ＝CP ，∴CG ＝CP ＋PG ，即CG ＝2CP.∵CM 平分∠ACB，
∴∠BCM ＝∠MCA，∵MG ∥AC ，∴∠MCA ＝∠GMC，∴∠BCM ＝∠GMC，
∴MG ＝CG ，∵MG ＝CN ，∴CN ＝CG ，∴CN ＝2CP.
针对训练
1. 解：(1)∵AC⊥BC，∴∠ACB ＝90°，又∵AC＝CF ，∴∠AFC ABC
＝35°，∴∠EAF ＝10°；
(2)证明：方法1：取CF 的中点M ，连接EM 、AM ，
∵CE ⊥EF ，∴EM ＝CM ＝FM ＝12
CF ， 又∵AC＝AE ，∴AM 为EC 的中垂线，∴∠CAM ＋∠ACE＝90°，
又∵∠ECF＋∠ACE＝90°，∴∠CAM ＝∠FCE，
又∵∠CEF＝∠ACM＝90°，∴△ACM ∽△CEF ，∴AC CM ＝CE EF
， 又∵CF＝AC ＝2CM ，∴AC CM ＝CE EF ＝21
，即CE ＝2EF ； 方法2：延长FE 至M ，使EF ＝EM ，连接CM ，
∵CE ⊥EF ，∴△CMF 为等腰三角形，
又∵AC＝AE ＝CF ，且∠ACE＝∠CFE(易证)，
∴△CMF ≌△CEA ，∴FM ＝CE ＝2EF.
2. 解：(1)如图①，在AB 上取一点M ，使得BM ＝ME ，连接ME.
在Rt △ABE 中，∵OB ＝OE ，∴BE ＝2OA ＝2，
∵MB ＝ME ，∴∠MBE ＝∠MEB＝15°，
∴∠AME ＝∠MBE＋∠MEB＝30°，
设AE ＝x ，则ME ＝BM ＝2x ，AM ＝3x ，
∵AB 2＋AE 2＝BE 2，∴(2x ＋3x)2＋x 2＝22，
∴x ＝6－22
(负根舍弃)，
∴AB ＝AC ＝(2＋ 3)·6－2
2， ∴BC ＝2AB ＝3＋1.
(2)证明：如图②，作CP⊥AC，交AD 的延长线于P ，GM ⊥AC 于M.
∵BE ⊥AP ，∴∠AHB ＝90°，∴∠ABH ＋∠BAH＝90°，
∵∠BAH ＋∠PAC＝90°，∴∠ABE ＝∠PAC，
∴△ABE ≌△CAP ，∴AE ＝CP ＝CF ，∠AEB ＝∠P，
在△DCF 和△DCP 中，
⎩⎪⎨⎪⎧CD ＝CD ，∠DCF ＝∠DCP，CF ＝CP ，
∴△DCF ≌△DCP ，∴∠DFC ＝∠P，∴∠GFE ＝∠GEF，∴GE ＝GF ，
∵GM ⊥EF ，∴FM ＝ME ，∵AE ＝CF ，∴AF ＝CE ，∴AM ＝CM ，
在△GAH 和△GAM 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠GAH＝∠GAM，∠AHG ＝∠AMG，AG ＝AG ，
∴△AGH ≌△AGM ，∴AH ＝AM ＝CM ＝12AC.
3. 解：(1)∵AB＝4，∴AC ＝AB ＝
4.
∵CD ＝1，∴AD ＝AC －CD ＝3.
∵在Rt △ABD 中，∠BAC ＝90°，
∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，
∵S △ABD ＝12AB·AD＝12
AE·BD，∴AE ＝2.4. (2)证明：如图，在线段EB 上截取EH ＝AE ，并连接AH.
∵AE ⊥BD ，EH ＝AE ，∴AH ＝2AE.
∵BE ＝AE ＋AG ，∴BH ＝BE －HE ＝AG.
∵∠BAD ＝∠BEA＝90°，
∴∠ABE ＋∠BAE＝∠CAG＋∠BAE＝90°，
∴∠ABE ＝∠CA G.
∵BA ＝AC ，∴△ABH ≌△CAG ，
∴CG ＝AH ＝2AE.
4. 解：(1)∵∠BAC＝90°，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，
∴∠ADC ＝90°，∠ACD ＝45°.
在Rt △ADC 中，AC ＝AD÷sin45°＝2 3.
∵E 是AC 的中点，∴CE ＝12
AC ＝ 3.
∵将△CDE 沿CD 翻折到△CDE′，∴CE ′＝CE ＝3，∠ACE ′＝90°.
由勾股定理，得AE′＝CE′2＋AC 2＝15.
(2)证明：如图，过B 作AE′的垂线交AD 于点G ，交AC 于点H.
∵∠ABH ＋∠BAF＝90°，∠CAF ＋∠BAF＝90°，∴∠ABH ＝∠CAF.
又∵AB＝AC ，∠BAH ＝∠ACE′＝90°，∴△ABH ≌△CAE ′.
∴AH ＝CE′＝CE ，∵CE ＝1
3
AC ，∴AH ＝HE ＝CE. ∵D 是BC 中点，∴DE ∥BH ，∴G 是AD 中点．
在△ABG 和△CAF 中：AB ＝AC ，∠BAD ＝∠ACD＝45°，∠ABH ＝∠CAF，
∴△ABG ≌△CAF.∴AG ＝CF.∵AG ＝12AD ，∴CF ＝12AD ＝12
CD.∴DF＝CF.
类型2 线段的和差：要证线段和与差，截长补短去实验
例2：解：（1）3
（2）证明：延长DN 到K ，使得NK ＝ME ，连接AK ，如图①，
因为∠1＋∠3＝180°，∠1＋∠2＝180°，∴∠2＝∠3.
⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AN ，∠2＝∠3，ME ＝NK ，
∴△AME ≌△ANK (SAS)．∴AE ＝AK ，∠4＝∠5，
∴∠4＋∠EAC ＝90°，∴∠5＋∠EAC ＝90°，即∠EAK ＝90°，
∵∠EAD ＝45°，∴∠KAD ＝∠EAK －∠EAD ＝90°－45°＝45°.
∴∠EAD ＝∠KAD .在△EAD 和△KAD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧EA ＝KA ，∠EAD ＝∠KAD ，AD ＝AD ，
∴△EAD ≌△KAD (SAS)，
∴ED ＝KD .∵DK ＝DN ＋KN ，∴ED ＝DN ＋KN ，
又NK ＝ME ，∴ED ＝DN ＋ME .
(3)证明：延长AE 到J ，使得EJ ＝AE ，连接JH ，JF.如图②，
在△ABE 和△JHE 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝JE ，∠AEB ＝∠JEH，BE ＝HE ，
∴△ABE ≌△JHE(SAS)，
∴JH ＝AB ，∠1＝∠2，∵AB ＝AG ，∴JH ＝AG ，
∵AE ＝EJ ，EF ⊥AJ ，∴AF ＝JF ，∴∠JAF ＝∠AJF＝45°，
即∠2＋∠3＝45°，∵∠BAC ＝90°，∴∠1＋∠EAD＋∠4＝90°，
∴∠1＋∠4＝90°－∠EAD，＝90°－45°＝45°，
∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，
在△JHF 和△AGF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧JH ＝AG ，∠3＝∠4，JF ＝AF ，
∴△JHF ≌△AGF(SAS)，∴FH ＝FG.
针对训练：
1. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC.
∵BE ＝2EC ，设CE ＝x ，BE ＝2x ，∴BC ＝AD ＝AE ＝3x.
又∵EG⊥AB，∴∠AEB ＝90°，∴AB 2＝AE 2＋BE 2，
即13＝9x 2＋4x 2，∴x ＝1，∴AD ＝3x ＝3.
(2)证明：如图，过C 作CH⊥AB 于H ，则四边形CHGF 为矩形．∴CF ＝HG ，∠CHB ＝90°，GF ＝CH.
∵AE ⊥BC ，EG ⊥AB ，∴∠AEB ＝∠CHB＝90°，
∠BCH ＋∠B＝90°，∠BAE ＋∠B＝90°，∴∠BCH ＝∠BAE.
又∵AE＝BC ，∴△AGE ≌△CHB ，∴GE ＝BH ，AG ＝GF ，
∴GE ＝BH ＝BG ＋GH ＝BG ＋CF.
2. 解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，BC ＝4，
∴AB ＝AD ＝CD ＝BC ＝4，∠ADC ＝∠ABC＝90°.
∵在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝4 2，
∴AP ＝78AC ＝72 2， ∴S △ACP ＝12
AP·CD＝7 2.
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ＝DC ，∠ABC ＝∠BCD＝∠ADC＝90°.
∵∠BCD ＝90°，CF ⊥CP ，∴∠1＋∠DCF＝∠2＋∠DCF＝90°，
∴∠1＝∠2，∵在△FBC 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FBC＝∠3，BC ＝DC ，∠1＝∠2，
∴△FBC ≌△PDC(ASA)，∴CF ＝CP ，
∵CP －2FN ＝BM ，∴CF －FK ＝BM ，即CK ＝BM ，
∵∠FBC ＝90°，BM ⊥CF ，∴∠1＋∠NBC＝∠4＋∠NBC＝90°，
∴∠1＝∠4，∵在△ABM 和△BCK 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠4＝∠1，BM ＝CK ，
∴△ABM ≌△BCK(SAS)，∴∠7＝∠6.
∵BM ⊥CF ，NK ＝NF ，∴BF ＝BK ，∵BF ＝BK ，BM ⊥CF ，∴∠4＝∠5，
∴∠4＋∠7＝∠5＋∠6，∵∠8＝∠4＋∠7，∴∠8＝∠MBC，∴BC ＝
解：方法二：如图②，延长BM 交AD 于点G ，过A 作AE⊥BG 于E
先证△AEB ≌△BNC(AAS)，∴AE ＝BN ，
又证△AEG ≌△BNF(AAS)，∴EG ＝NF ，
再证四边形BCPG 为平行四边形，∴BG ＝CP ，
∵CP －BM ＝2FN ，∴BG －BM ＝2EG ，∴MG ＝2EG ，∴点E 为MG 中点，
∵AE ⊥MG ，EM ＝EG ，∴AM ＝AG ，∴∠3＝∠4，
∵∠2＝∠3，∠1＝∠4，∴∠1＝∠2，
∴BC ＝MC.
3. 解：(1)∵∠EBG＝20°，CB ⊥AE ，
∴∠BEG ＝70o ，∠CBF ＝∠EBG＝20°，
∵四边形ABDE 是菱形，∴∠ABE ＝∠BEG＝70°，
∴∠ABG ＝50°，
∵AB ＝BC ，∴∠FCB ＝25°，
∴∠AFE ＝∠CBF＋∠FCB＝45°；
(2)AE ，AF ，CF 之间的数量关系是AF 2＋CF 2＝2AE 2，
证明如下：连接DF ，
∵四边形ABDE 是菱形，∴AB ＝DB ，∠DBE ＝∠ABE，∴∠DBF ＝∠ABF，∵BF ＝BF ，∴△DBF ≌△ABF(SAS)，
∴DF ＝AF ，∠BDF ＝∠BAF，∵∠BCF ＝∠BAF，∴∠BCF ＝∠BDF，
∵CB ⊥AE ，AE ∥DB ，∴DB ⊥CB ，
∵CB ＝AB ＝BD ，∴△DBC 是等腰直角三角形，
∴DC ＝2BD ＝2AE ，
∵∠DPB ＝∠CPF，∴∠CFP ＝∠DBP＝90°，∴DF 2＋CF 2＝DC 2，
即有：AF 2＋CF 2＝2AE 2.
类型3 倍长中线：三角形中有中线，延长中线等中线
例3解：(1)设∠BEC ＝α，∠BDA ＝β，则
∠C ＝180°－2α，∠A ＝180°－2β.
∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，
∴∠A ＋∠C ＝90°，即180°－2α＋180°－2β＝90°，
∴α＋β＝135°，∴∠EBD ＝45°.
(2)证明：法一：如图①，延长BD 至点B′，使得DB′＝DB ，连接FB′、GB′.
在△GDB′和△CDB 中，⎩⎪⎨⎪
⎧GD ＝CD ，
∠GDB ′＝∠CDB，B ′D ＝BD ，
∴△GDB ′≌△CDB.∴GB ′＝BC ＝BH ，∠GB ′D ＝∠CBD.
∵FD ⊥BD ，BD ＝DB′，∴FB ＝FB′.
∵∠FB ′G ＝45°－∠GB′D，
∠HBF ＝90°－45°－∠CBD＝45°－∠CBD，
∴∠FB ′G ＝∠HBF.
在△FHB 和△FGB′中，
⎩⎪⎨⎪
⎧HB ＝GB′，
∠HBF ＝∠GB′F，BF ＝B′F，
∴△FHB ≌△FGB ′，∴HF ＝GF.
法二：如图②，延长FD 至点F ′，使得DF ′＝DF ，连接BF ′.
先证△DGF ≌△DCF ′，
再证△BHF ≌△BCF ′，
∴HF ＝GF .
针对训练
1. 证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，∠A ＝∠C .
又∵∠1＝∠2，
∴△ABE ≌△CDG (ASA)，∴AE ＝CG .
∵G 为BC 中点，∴CG ＝12
BC ， ∴AE ＝CG ＝12BC ＝12
AD ，
∴E 是AD 中点．
(2)如图，延长BE ，CD 交于点H.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB 綊CD ，∴∠A ＝∠ADH，∠1＝∠4，
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠2，
∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴FH ＝FB.
由(1)，E 是AD 中点，∴AE ＝DE ，
∴△ABE ≌△DHE(AAS)，
∴AB ＝DH ，
∴CD ＝AB ＝DH ＝DF ＋FH ＝DF ＋BF ，
即CD ＝BF ＋DF.
2. 证明：(1)在菱形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠ADF ＝∠ABE，
∵∠DAE ＝∠BAF，
∴∠DAE －∠EAF＝∠BAF－∠EAF，
即∠DAF＝∠BAE.
∴△DAF ≌△BAE ，∴BE ＝DF.
又∵BC＝CD ，∴CE ＝CF
∵在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠GAH.
∵G 为AF 中点，∴AG ＝GF.
又∵∠DGF＝∠AGH，∴△DGF ≌△HGA.∴DG ＝GH ，AH ＝DF.
又∵AB＝CD ，∴BH ＝CF.
又∵AB∥CD，∠ABC ＝120°，∴∠C ＝60°.
又∵CE ＝CF ，∴△CEF 为等边三角形，
∴CF ＝EF ，∠CFE ＝60°，∴EF ＝BH ，∠DFE ＝∠ABC＝120°.
又∵BE＝DF ，∴△EFD ≌△HBE ，∴HE ＝ED ，
又∵HG＝DG ，∴DG ⊥GE.
3. 解：（1）MD=ME
2)MD ＝3ME.
理由如下：如图①，延长EM 交DA 于点F.
∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM.
又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，
∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.
∵DA ＝DC ，∠ADC ＝60°，∴∠BED ＝∠ADC＝60°，∠ACD ＝60°.
∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝30°，
∴∠EBC ＝30°，∴CE ＝BE ，∴AF ＝EC ，∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，∴∠MDE ＝30°.
在Rt △MDE 中，tan ∠MDE ＝ME MD ＝33
. ∴MD ＝3ME.
(3)如图②，延长EM 交DA 于点F ，
∵BE ∥DA ，∴∠FAM ＝∠EBM，
又∵AM＝BM ，∠AMF ＝∠BME，
∴△AMF ≌△BME ，∴AF ＝BE ，MF ＝ME.
延长BE 交AC 于点N ，∴∠BNC ＝∠DAC.
∵DA ＝DC ，∴∠DCA ＝∠DAC，
∴∠BNC ＝∠DCA，
∵∠ACB ＝90°，∴∠ECB ＝∠EBC，
∴CE ＝BE ，∴AF ＝CE.
∴DF ＝DE ，∴DM ⊥EF ，DM 平分∠ADC，
∵∠ADC ＝α，∴∠MDE ＝α2
. ∴在Rt △MDE 中，ME MD ＝tan ∠MDE ＝tan α2
.
4.
解：(1)如图①，作EH ⊥BC 于点H .
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°.
∵CE 平分∠ACB ，∴∠ECH ＝12
∠ACB ＝30°， ∵EC ＝4，∠ECH ＝30°，∴EH ＝2，HC ＝2 3.
∵BC ＝6 3，∴BH ＝6 3－2 3＝4 3.
在Rt △BHE 中，BE 2＝(4 3)2＋22＝52，
∴BE ＝2 13.
(2)如图②，延长DP 至M ，使DP ＝PM ，连接BM 、AM .
在△PDE 和△PMB 中，⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PM ，∠EPD ＝∠BPM ，PE ＝PB ，
∴△PDE ≌△PMB (SAS)．∴BM ＝DE ，∠1＝∠2.
∴BM ∥DE .∴∠MBD ＋∠BDE ＝180°.
∵CE 平分∠ACB ，DE ＝CD ，∴∠BDE ＝30°＋30°＝60°.
∴∠MBD ＝120°.
∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC ＝60°，∴∠3＝60°.
∵BM ＝DE ，DE ＝CD ，∴BM ＝CD .
在△ABM 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠ACD ，BM ＝CD ，
∴△ABM ≌△ACD (SAS)．∴AD ＝AM ，∠4＝∠5.
∵PD ＝PM ，∴AP ⊥PD .
∵∠4＝∠5，∠BAD ＋∠5＝60°，
∴∠4＋∠BAD ＝60°，即∠MAD ＝60°.
∴∠PAD ＝12
∠MAD ＝30°.
∵在Rt △APD 中，tan30°＝PD AP
，∴AP ＝3PD .
(3)第(2)问中的结论成立，理由如下：如图③，延长DP 至N ，
使DP ＝PN ，连接BN 、AN ，取BE 、AC 交于点O.在△PDE 和△PNB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧PD ＝PN ，∠EPD ＝∠BPN，PE ＝PB ，
∴△PDE ≌△PNB(SAS)．∴BN ＝DE ，∠1＝∠2.
∵DE ＝CD ，∴BN ＝CD.∵∠AOB ＝∠EOC，
∴∠1＋∠3＋∠BAO＝∠2＋∠4＋∠DEC＋∠DCE.
∵∠BAO ＝60°，∠DEC ＝∠DCE＝30°，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，
∴∠3＝∠4.在△ABN 和△ACD 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠3＝∠4，BN ＝CD ，
∴△ABN ≌△ACD(SAS)．∴∠5＝∠6，AN ＝AD.
∵PD ＝PN ，∴AP ⊥PD.∵∠NAC ＋∠5＝60°，
∴∠NAC ＋∠6＝60°，即∠NAD＝60°.∴∠PAD ＝12
∠NAD＝30°， ∵在Rt △APD 中，tan ∠PAD ＝PD AP
，∴AP ＝3PD.
5. 解：(1)∵∠ADB ＝90°，∠BAD ＝30°，AD ＝6 3，
∴cos ∠BAD ＝AD AB ，∴32＝6 3AB
，∴AB ＝12. 又∵AB ＝AC ，∴AC ＝12，
∴PM 为△ABC 的中位线，∴PM ＝12
AC ＝6.
(2)证明：方法一：如图①，在截取ED 上截取EQ ＝PD ，
∵∠ADB ＝90°，
∴∠1＋∠2＝90°，
又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，
又∵∠3＋∠4＝90°，
∴∠1＝∠4.
在△BDP 和△CEQ 中，PD ＝QE ，∠1＝∠4，BD ＝CE ，
∴△BDP ≌△CEQ.
∴BP ＝CQ ，∠DBP ＝∠QCE，
又∵∠5＝∠1＋∠DBP，∠6＝∠4＋∠QCE，
∴∠5＝∠6，
∴PC ＝CQ ，
∴BP ＝CP.
方法二：如图②，过点B 作EP 的垂线交EP 的延长线于点M ，过C 点作EP EP 于点N.
∵∠ADB ＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，
又∵AD＝AE ，∴∠2＝∠3，
又∵∠3＋∠4＝90°，∴∠1＝∠4，
在△BMD 和△CNE 中，
∠1＝∠4，∠BMD ＝∠CNE＝90°，BD ＝CE ，
∴△BMD ≌△CNE.
∴BM ＝CN.
在△BMP 和△CNP 中，
∠5＝∠6，∠BMP ＝∠CNP，BM ＝CN ，
∴△BMP ≌△CNP，
∴BP ＝CP.
方法三：如图③，过点B 作BM ∥CE 交EP 的延长线于点M .
略证△BMP ≌△CEP ，∴BP ＝CP .
(3)BF 2＋FC 2＝2AD 2.
类型4 中位线：三角形中两中点，连接则成中位线
例4: 解：（1）PM=PN;PM ⊥PN
(2)△PMN 为等腰直角三角形，理由如下：
由题意知△ABC 和△ADE 均为等腰直角三角形，
∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD ＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，∴∠BAD ＝∠CAE，
∴△BAD ≌△CAE ，∴∠ABD ＝∠ACE，BD ＝CE.
又∵M、P 、N 分别是DE 、CD 、BC 的中点，∴PM 是△CDE 的中位线，
∴PM ∥CE 且PM ＝12
CE ，∠MPD ＝∠ECD＝∠ACD＋∠ACE. 同理，PN ∥BD 且PN ＝12
BD ，∠DBC ＝∠PNC， 又∵BD＝CE ，∠ABD ＝∠ACE，∴PM ＝PN ，
∴∠MPN ＝∠MPD＋∠DPN＝∠ECD ＋∠DCN＋∠CNP
＝∠ACD＋∠ACE＋∠DCN＋∠CBD
＝∠ACD＋∠DCN＋∠ABD＋∠CBD＝∠ACB＋∠ABC＝90°，
∴PM ⊥PN ，∴△PMN 为等腰直角三角形；
(3)△PMN 面积的最大值为492.提示：在旋转的过程中，由(2)中的结论知△PMN 为等腰直角三角形，S △PMN ＝12
PN 2＝18
BD 2，当S △PMN 有最大值时，则BD 的值最大，由三角形三边关系可推断出当B 、A 、D 三点共线时，BD
的值最大，其最大值为14，此时S △PMN ＝12PN 2＝18BD 2＝18×14×14＝492
.
针对训练：
1. 解：(1)证明：延长DA 交BE 于G 点．
∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，
即∠EAG ＋∠GAB ＋∠CAD ＝180°，
∵∠GAB ＋∠BAC ＋∠CAD ＝180°，
∴∠EAG ＝∠CAB .
∵∠EAG ＝∠AED ＋∠ADE ，
∴∠CAB ＝∠AED ＋∠ADE .
(2)证明：如图①，过E 点作DA 延长线的垂线，垂足为H .
∴∠AHE ＝∠ACB ＝90°，
由(1)可知，∠EAH ＝∠BAC ，
又∵AE ＝AB ，
∴△AHE ≌△ACB ，
∴EH ＝BC ，AH ＝AC .
∵AC ＝AD ，∴AH ＝AD .
∵∠EHA ＝∠FAD ＝90°，∴AF ∥EH .
∵A 为DH 中点，
∴AF 为△DHE 中位线，∴EH ＝2AF ，∴BC ＝2AF .
(3)成立．证明如下：
如图②，延长DA 至M 点，使AM ＝DA ，连接EM ，
∵∠BAE ＋∠CAD ＝180°，∠CAD ＋∠CAM ＝180°，
∴∠BAE ＝∠CAM ，
∴∠BAE ＋∠CAC ＝∠CAM ＋∠EAC ，
即∠BAC ＝∠CAM .
∵AM ＝AD ，AD ＝AC ，∴AM ＝AC .
又∵AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAM ，
∴△BAC ≌△EAM ，
∴BC ＝EM .
∵F 、A 分别为DE 、DM 中点，
∴AF 为△DEM 中位线，
∴EM ＝2AF ，∴BC ＝2AF .
2. 解：(1)证明：∵∠BAC＋∠EAD＝180°，∠BAE ＝90°，∴∠DAC ＝90°，
在△ABE 与△ACD 中，AE ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD＝90°，AB ＝AC ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)，∴CD ＝BE ， ∵在Rt △ABE 中，F 为BE 的中点，∴BE ＝2AF ，∴CD ＝2AF.
(2)成立，证明：如图，延长EA 交BC 于G ，在AG 上截取AH ＝AD ，
∵∠BAC ＋∠EAD＝180°，
∴∠EAB ＋∠DAC＝180°，
∵∠EAB ＋∠BAH＝180°，∴∠DAC ＝∠BAH，
在△ABH 与△ACD 中，AH ＝AD ，∠BAH ＝∠CAD，AB ＝AC ，
∴△ABH ≌△ACD(SAS)，
∴BH ＝DC ，
∵AD ＝AE ，AH ＝AD ，∴AE ＝AH ，
∵EF ＝FB ，∴BH ＝2AF ，∴CD ＝2AF.
3. 解：(1)证明：∵AB＝AC ，
∴∠ABD ＝∠ACD，
∵AE ＝AD ，∴∠ADE ＝∠AED，
∵∠BAD ＋∠ABD＝∠ADE＋∠EDC，∠EDC ＋∠ACD＝∠AED ，
∴∠BAD ＝2∠EDC，
∵∠ABF ＝2∠EDC，∴∠BAD ＝∠ABF，
∴△ABF 是等腰三角形；
(2)方法一：如图①，延长CA 至点H ，使AG ＝AH ，连接BH ，
∵点N 是BG 的中点，∴AN ＝12
BH ， ∵∠BAD ＝∠ABF，∠DAC ＝∠CBG，∴∠CAB ＝∠CBA，
∴△ABC 是等边三角形．∴AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠BCA＝60°，
∵GM ＝AB ，AB ＝AC ，∴CM ＝AG ，∴AH ＝CM ，
在△BAH 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝BC ，
∠BAH ＝∠BCM＝120°，AH ＝CM ，
∴△BAH ≌△BCM(SAS)，∴BH ＝BM ，
∴AN ＝12
BM ， 方法二：如图②，延长AN 至K ，使NK ＝AN ，连接KB ，
同方法一，先证△ABC 是等边三角形，
再证△ANG ≌△KNB (SAS)，
所以BK ＝AG ＝CM ，
然后可以证得∠ABK ＝∠BCN ＝120°，
最后证△ABK ≌△BCN (SAS)，
所以BM ＝AK ＝2AN .
类型5 角的和差倍分
例5：解：(1)如图，过点P 作PG⊥EF 于G.
∵PE ＝PF ＝6，EF ＝6 3，
∴FG ＝EG ＝3 3，∠FPG ＝∠EPG＝12
∠EPF. 在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF ＝3 36＝32
. ∴∠FPG ＝60°，
∴∠EPF ＝2∠FPG＝120°.
(2)如图，作PM ⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N .
∵AC 为菱形ABCD 的对角线，
∴∠DAC ＝∠BAC ，AM ＝AN ，PM ＝PN .
在Rt △PME 和Rt △PNF 中，PM ＝PN ，PE ＝PF ，
∴Rt △PME ≌Rt △PNF ，
∴NF ＝ME .
又∵AP ＝10，∠PAM ＝12
∠DAB ＝30°， ∴AM ＝AN ＝AP cos30°＝10×32＝5 3. ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME )＋(AN －NF )＝AM ＋AN ＝10 3.
针对训练：
1. 证明：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ，过D 作DF ⊥AC 于F ，
∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，
∴DE ＝DF ，
∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，
∴∠B ＝∠FCD ，
在△DFC 和△DEB 中，
⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DB ，
∴△DFC ≌△DEB ，∴DC ＝DB .
2. 解：(1)∵AC＝AB ＝4，且CD ＝1，
∴AD ＝AC －CD ＝3.
在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，
∴BD ＝AB 2＋AD 2＝5，
∵S △ABD ＝12AB·AD＝12
AE·BD， ∴AE ＝2.4.
(2)证明：如图，取BC 的中点M ，连接AM 交BD 于点N .
∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M 为BC 的中点，
∴AM ＝BM ＝CM ，AM ⊥BC ，∠NAD ＝∠FCP ＝45°，
∴∠AMF ＝∠BMN ＝90°.
∵AE ⊥BD ，∴∠MAF ＋∠ANE ＝∠MBN ＋∠BNM ＝90°，
又∠ANE ＝∠BNM ，∴∠MAF ＝∠MBN ，
∴△AMF ≌△BMN ，∴MF ＝MN ，
∴AM －MN ＝CM －MF ，即AN ＝CF .
∵AP ＝CD ，
∴AC －CD ＝AC －AP ，
即AD ＝CP .
∴△ADN ≌△CPF ，
∴∠ADB ＝∠CPF .
3. 解：(1)∵AB ＝BD ，∠BAD ＝45°，
∴∠BDA ＝45°，即∠ABD ＝90°.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴当E 、C 重合时，BF ＝12BD ＝12
AB . ∵在Rt △ABF 中，AB 2＋BF 2＝AF 2，
∴(2BF )2＋BF 2＝(5)2，
∴BF ＝1，AB ＝2.
在Rt △ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2＝2AB 2＝2 2.
(2)证明：如图，在AF 上截取AK ＝HD ，连接BK.
∵∠AFD ＝∠ABF＋∠2＝∠FGD＋∠3且∠ABF＝∠FGD＝90°，
∴∠2＝∠3.在△ABK 与△DBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BD ，∠2＝∠3，AK ＝HD ，
∴△ABK ≌△DBH ，∴BK ＝BH ，∠6＝∠5.
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD ∥BC ，∴∠5＝∠4＝45°，∴∠6＝∠5＝45°，
∴∠7＝∠ABD－∠6＝45°＝∠5.在△BFK 与△BFH 中，
⎩⎪⎨⎪⎧BK ＝BH ，∠7＝∠5，BF ＝BF ，
∴△BFK ≌△BFH.
∴∠BFK ＝∠BFH，即∠AFB＝∠HFB.
4. 解：(1)证明：由折叠知∠EMN＝∠ABC＝90°，BE ＝EM ，∴∠EMB ＝∠EBM，
∴∠EMN －∠EMB＝∠ABC－∠EBM，
即∠BMP＝∠MBC.
∵在正方形ABCD 中，AD ∥BC ，
∴∠AMB ＝∠MBC，
∴∠AMB ＝∠BMP，
∴BM 是∠AMP 的平分线．
(2)△PDM 的周长没有发生变化．证明如下：如图，过B 作BQ ⊥MP
∵∠A ＝90°，且由(1)知BM 是∠AMP 的平分线，∴BA ＝BQ ，
∵∠A ＝∠MQB ＝90°，∠AMB ＝∠BMP ，MB ＝MB ，
∴△AMB ≌△QMB (AAS)．∴MA ＝MQ .
∵BA ＝BC ，∴BQ ＝BC ，
又∵∠BQP ＝90°＝∠C ，BP ＝BP ，
∴Rt △BPC ≌Rt △BPQ (HL)．∴PC ＝PQ ，
∴△PDM 的周长＝MD ＋MP ＋DP ＝MD ＋MQ ＋QP ＋PD
＝MD ＋MA ＋PC ＋PD ＝AD ＋DC ＝2AD .
∴△PDM 的周长没有发生变化．
类型6 旋转型全等问题：图中若有边相等，可用旋转做实验
例6：解：(1)①∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC ，
∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，
∴△DAB ≌△FAC ，∴∠B ＝∠ACF，
∴∠ACB ＋∠ACF＝90°，即CF⊥BC；
②∵△DAB ≌△FAC ，∴CF ＝BD ，∵BC ＝BD ＋CD ，∴BC ＝CF ＋CD.
(2)结论①成立，结论②不成立．∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝AF ，AB ＝AC.
∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，
∴△DAB ≌△FAC ，∴∠ABD ＝∠ACF，CF ＝BD ，
∴∠BCF ＝∠ACF－∠ACB＝∠ABD－∠ACB＝90°，即CF⊥BC；∵BC＝CD －BD ，∴BC ＝CD －CF.
(3)如图，过A 作AH ⊥BC 于H ，过E 作EM ⊥BD 于M ，EN ⊥CF 于∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝CH ＝12
BC ＝2，
∴CD ＝14
BC ＝1，∴DH ＝3，同(2)证得△BAD ≌△CAF ， ∴∠ABD ＝∠ACF ＝45°，∴∠BCF ＝∠ACB ＋∠ACF ＝90°，
∴BC ⊥CF ，CF ＝BD ＝5.
∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，
∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，
∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADE ＝∠EMD ＝90°，
∴∠ADH ＋∠EDM ＝∠EDM ＋∠DEM ＝90°，
∴∠ADH ＝∠DEM ，∴△ADH ≌△DEM ，
∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，
∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，
∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10.
针对训练：
1. 解：(1)AC ＝AD ＋AB .证明如下：
∵∠B ＋∠D ＝180°，∠B ＝90°，∴∠D ＝90°.
∵∠DAB ＝120°，AC 平分∠DAB ，
∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°，
∵∠B ＝90°，∴AB ＝12
AC ， 同理AD ＝12
AC . ∴AC ＝AD ＋AB .
(2)(1)中的结论成立，理由如下：
如图①，以C 为顶点，AC 为一边作∠ACE＝60°，
∠ACE 的另一边交AB 的延长线于点E ，
∵∠BAC ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，
∴AC ＝AE ＝CE ，∠E ＝60°，
∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝120°，
∴∠DCB ＝60°，∴∠DCA ＝∠ECB.
在△DAC 和△BEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC＝∠E，AC ＝CE ，∠DCA ＝∠BCE，
∴△DAC ≌△BEC ，
∴AD ＝BE ，∴AC ＝AE ＝AD ＋AB.
(3)AD ＋AB ＝2AC.理由如下：
如图②，过点C 作CE⊥AC 交AB 的延长线于点E
∵∠ABC ＋∠D＝180°，∠DAB ＝90°，
∴∠DCB ＝90°，
∵∠ACE ＝90°，∴∠DCA ＝∠BCE，
又∵AC 平分∠DAB，∴∠CAB ＝45°，
∴∠E ＝45°，∴AC ＝CE.
∴△CDA ≌△CBE ，
∴AD ＝BE ，
∴AD ＋AB ＝AE.
∵在Rt △ACE 中，∠CAB ＝45°，
∴AE ＝AC cos45°
＝2AC ， ∴AD ＋AB ＝2AC.
2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B ＝∠D＝∠BAD＝90°，AB ＝AD ，
∵△ABE 沿AE 翻折得到△AHE，
∴△ABE ≌△AHE ，∴AH ＝AB ＝AD ，BE ＝EH ，
∠AHE ＝∠AHF＝∠B＝∠D＝90°.
在Rt △AHF 和Rt △ADF 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧AF ＝AF ，AH ＝AD ， ∴Rt △AHF ≌Rt △ADF(HL)，
∴∠HAF ＝∠DAF，
∴∠EAF ＝∠EAH＋∠FAH＝12∠BAH＋12∠HAD＝12
∠BAD＝45°，
(2)以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．
证明如下：如图，过点A 作AH ⊥AN 并截取AH ＝AN ，连接BH 、HM ，
∵∠1＋∠BAN ＝90°，∠3＋∠BAN ＝90°，∴∠1＝∠3，
在△ABH 和△ADN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠1＝∠3，AH ＝AN ，
∴△ABH ≌△ADN (SAS)，
∴BH ＝DN ，∠HBA ＝∠NDA ＝135°，
∵∠HAN ＝90°，∠MAN ＝45°，
∴∠1＋∠2＝∠HAM ＝∠MAN ＝45°，
在△AHM 和△ANM 中，⎩⎪⎨⎪⎧AH ＝AN ，∠HAM ＝∠MAN ，AM ＝AM ，
∴△AHM ≌△ANM (SAS)，
∴HM ＝NM ，
∴∠HBP ＝180°－∠HBA ＝180°－135°＝45°，
∴∠HBP ＋∠PBM ＝45°＋45°＝90°，
∴△HBM 是直角三角形，
∵HB ＝DN ，HM ＝MN ，
∴以BM ，DN ，MN 为三边围成的三角形为直角三角形．
3. 解：(1)如图①，将△PBC 绕点B 逆时针旋转90°得△P ′BA ，连接PP ′，则△AP ′B ≌△CPB ， ∴P ′B ＝PB ＝2，P ′A ＝PC ＝1，∠1＝∠2，∠AP ′B ＝∠BPC .
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴∠1＋∠3＝90°，即∠P ′BP ＝90°，
∴∠BP ′P ＝45°.
在Rt △P ′BP 中，由勾股定理，得PP ′2＝4.
∵P ′A ＝1，AP ＝5∴P ′A 2＝1，AP 2＝5，
∴P ′A 2＋PP ′2＝AP 2，
∴△P ′AP 是直角三角形，
∴∠AP ′P ＝90°，
∴∠AP′B＝45°＋90°＝135°，
∴∠BPC＝135°.
(2)仿照【分析】中的思路，将△BPC绕点B逆时针旋转120°，得到了△BP′A，连接PP′，如图②.
则△PBC≌△P′BA，∴P′B＝PB＝4，P′A＝PC＝2，∠BPC＝∠BP′A，∴△BPP′为等腰三角形，∵∠ABC ＝120°，∴∠PBP′＝120°，∴∠BP′P＝30°，过点B作BG⊥PP′于G，则∠P′GB＝90°，∴PP′＝2P′G.
∵P′B＝PB＝4，∠BP′P＝30°，∴BG＝2，∴P′G＝2 3.
∴PP′＝4 3，在△APP′中，
∵PA＝2 13，P′A＝2，PP′＝4 3，∴P′A2＋P′P2＝PA2，
∴△PP′A是直角三角形，∴∠AP′P＝90°，
∴∠BPC＝∠BP′A＝∠PP′B＋∠AP′P＝30°＋90°＝120°.。