2021年新教材高中数学必修第二册：7.1.1 数系的扩充和复数的概念 教学设计

2021年新教材高中数学必修第二册：7.1.1 数系的

扩充和复数的概念

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A 版）第七章《复数》，本节课主要学习数系的扩充和复数的概念。

本节课数系的扩充过程体现了数学的发现和创造过程,同时是数学产生、发展的客观需求,复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充。

《课标》将复数作为数系扩充的结果引入,体现了实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用,以及数系扩充过程中数系结构与运算性质的变化,这部分内容的学习,有助于学生体会理论产生与发展的过程,认识到数学产生和发展既有来自外部的动力,也有来自数学内部的动力,从面形成正确的数学观;有助于发展学生的全新意识和创新能力。

复数的内容是高中数学课程中的传统内容.对于复数,《课标》要求在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以数与现实世界的联系;理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件;了解复数的代数表示法及其几何意义:能进行复数代数形式的四则运算了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

课程目标

学科素养

1.教学重点：对i 的规定以及复数的有关概念。

2.教学难点：复数概念的理解。

多媒体

一、复习回顾，温故知新

1．对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教

师引导学生进行简明扼要的概括和总结）

①10÷3=？

②3–5 = ？

③正方形的面积是2，求该正方形的边长a。

④求方程0

1

2=

+

x的解。

二、探索新知

思考：我们知道，对于实系数一元二次方程，没有实数

根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到

圆满解决呢？

【分析】引入新数，并规定：

（1）；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、

乘运算律仍然成立．

叫做虚数单位。

（一）复数的概念

形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数，

全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示。

（二）复数的代数形式

复数通常用字母z 表示，即z=a+bi（a、b∈R）

其中a叫复数z的，b叫复数z的。

【答案】实部虚部

练一练：

把下列式子化为a+bi（a、b∈R）的形式，并分别指出它们的实部和

虚部

（1）2 -i = ；（2）-2i = ；

（3）5= ；（4）0= 。

【答案】（1）2 -i =2+（-i），实部2，虚部-1；

（2）-2i =0+（-2）i，实部0，虚部-2；

（3）5=5+0i，实部5，虚部0；

通过复习数系的扩

充过程，引入本节新

课。建立知识间的联

系，提高学生概括、

类比推理的能力。

通过思考，引入

虚数单位，提高学生

分析问题、概括能

力。

通过练习题巩固复

数的形式，提高学生

解决问题的能力。

（4）0=0+0i ，实部0，虚部0。

思考：根据上述几个例子，复数z= a+bi 可以是实数吗？满足什么条件？

【答案】b=0时，复数为实数。 （三）、复数的分类

试一试：

1、下列数中，

实数有

；

虚数有 ； 其中纯虚数是 。

【答案】实数：618.0,72+，0，2i ；虚数：

85),31(,293,72+--i i i i ；纯虚数：)31(,7

2

-i i 2、判断下列命题是否正确：

（1）若a 、b 为实数，则Z=a+b i 为虚数。 （2）若b 为实数，则Z=bi 必为纯虚数。 （3）若a 为实数，则Z=a 一定不是虚数。

【答案】（1）错 （2） 错 （3）对

例1、实数m 分别取什么值时，复数z ＝m +1＋(m -1)i 是 (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数。 【解析】

练习：当m 为何实数时，复数

是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数 ；（4）零。 【解析】（1）当1012

±==-m m 即时，复数Z 为实数；

（2）当1012

±≠≠-m m 即时，复数Z 为虚数；

（3）当⎩⎨⎧≠-=-+0

10

22

2m m m 即1-=m 时，复数Z 为纯虚数； 27+0.61827i 392i -()13i -2

i

58i +

（4）当⎩⎨⎧=-=-+0

10

22

2m m m 即1=m 时，复数Z 为零。 （四）、复数相等

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 若a 、b 、c 、d ∈R ，a +bi =c +di

d b c a ==且。

注意：两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。但两个实数可以比较大小。 例2 已知，其中x 、y R ，求x 与y 的值。

【解析】由已知得⎩⎨

⎧=--=-1

)3(12y y x ，解得4,25

==y x 。

三、达标检测

1、教师要精心设计合作的学习内容

教师课前要花充足的时间,钻研教材,把握教学重点、难点,充分认识每个学生的特长与不足。要有针对性课前预设,精心选择有价值的问题或练习,提高小组合作学习质量。并不是所有的教学内容都适合小组合作学习,对于那些开放性的练习,在学生经过独立思考之后,再进行小组交流,这个过程让学生感受到与人合作的快乐。

2、在合作过程中给学生足够的思维时间和空间

合作学习之前学生先独学,有了初步想法后再探究、交流,共同解决问题。这样做给不爱动脑思考或学习有一定困难的学生提供进步的机会,让他们能有话可说,提高讨论效率。对提高学生的学习能力是有很大帮助的。