吉林省辉南县第一中学2018-2019高二下学期第一次月考数学(理)试卷

吉林省辉南县第一中学2018-2019下学期
高二第一次月考数学理试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设函数y=f（x）可导，则等于（）
A. B. C. D. 以上都不对
2.已知曲线在点处切线的斜率为1，则实数a的值为( ).
A. B. C. D. 2
3.已知函数f（x）=2xf′（e）+ln x，则f（e）=（）
A. B. e C. D. 1
4.下列求导运算正确的是（）
A. B.
C. D.
5.函数f（x）=x3-3x2在区间[-2，4]上的最大值为（）
A. B. 0 C. 16 D. 20
6.在同一平面直角坐标系中，将曲线y=3sin2x按伸缩变换后，所得曲线为（）
A. B. C. D.
7.点M的直角坐标是，则点M的极坐标为
A. B. C. D.
8.在极坐标系下，点到直线l：的距离为
A. B. C. D.
9.已知点M的直角坐标为（-3，-3，3），则它的柱坐标为（）
A. B. C. D.
10.若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l的倾斜角的余弦值为（）
A. B. C. D.
11.已知某条曲线的参数方程是（t是参数），则该曲线是（）
A. 直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
12.已知P（X，y）是椭圆上任意一点，则点P到x-y-4=0的距离的最大值为（）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设直线是曲线的一条切线，则实数b的值是___________．
14.f（x）=-x2+ln x在[，e]上的最大值是______．
15.若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是______．
16.设点p的直角坐标为(1，1，)，则点P的球坐标是________．
三、解答题（17题10分，其余题均12分，共70.0分）
17.已知函数f（x）=x3-3x．
（Ⅰ）求f′（2）的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间和极值．
18.已知曲线（φ为参数）．
（Ⅰ）将C的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）若点P（x，y）是曲线C上的动点，求x+y的取值范围．
19.已知二次函数，其图象过点，且．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）设函数，求曲线在处的切线方程．
20.已知函数f（x）=e x-x-1（e是自然对数的底数）．
（1）求证：e x≥x+1；
（2）若不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，求正数a的取值范围．
21.已知函数f（x）=x3+ax2+bx（a，b∈R）．若函数f（x）在x=1处有极值-4．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
22.选修4-4坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，过点的直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点
为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于，两点，求线段的中点的直角坐标及的值．
吉林省辉南县第一中学2018-2019下学期
高二第一次月考数学理答案
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查平均变化率的极限，即导数的定义，属于基础题．
利用导数的定义式f′（x）=可得答案．
【解答】
解：∵函数y=f（x）可导，f′（x）=，
∴=f'（1），
故选A.
2.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查导数的几何意义，以及导数的基本运算，考查学生的运算能力．求出函数的导数f'（x），利用f'（1）=1，解a即可．
【解答】
解：∵f(x)=，
∴f'(x)=，
∵x=1处切线斜率为1，即f'(1)=1，
∴=1，解得a=-1．
故选B．
3.【答案】C
【解析】
【分析】
本题要求学生掌握求导法则，学生在求f（x）的导函数时注意f′（e）是一个常数，这是本题的易错点．利用求导法则求出f（x）的导函数，把x=e代入导函数中得到关于f′（e）的方程，求出方程的解即可得到f′（e）的值．
【解答】
解：求导得：f′（x）=2f'（e）+，
把x=e代入得：f′（e）=e-1+2f′（e），
解得：f′（e）=-e-1，
∴f（e）=2ef′（e）+lne=-1，
故选C．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查函数的导数的判断，根据函数的导数法则是解决本题的关键．根据函数的导数公式进行判断即可．
【解答】
解：（cosx）'=-sinx，故A不正确；
（3x）'=3x ln3，故B不正确
（lgx）′=，故C正确；
（x2cosx）′=2xcosx-x2sinx，故D不正确．
故选C．
5.【答案】C
【解析】
【分析】
利用导数的正负，可得f（x）=x3-3x2在区间[-2，4]上的单调性，即可求出最大值．本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值问题，属中档题．
【解答】
解：f′（x）=3x2-6x=3x（x-2），令f′（x）=0，得x=0或2．
x∈（-2，0）时，f′（x）＞0，
x∈（0，2）时，f′（x）＜0，
x∈（2，4）时，f′（x）＞0．
故函数在（-2，0），（2，4）上单调递增，在（0，2）上单调递减，
f（0）=0，f（4）=16，
∴函数f（x）=x3-3x2在区间[-2，4]上的最大值为16．
故选C.
6.【答案】D
【解析】
解：∵伸缩变换，
∴x=x′，y=y′，
代入y=3sin2x，可得y′=3sinx′，即y′=9sinx′．
故选：D．
把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．
本题考查了伸缩变换，理解其变形方法是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：ρ==2，
解方程组得θ=．
∴点M的极坐标为（2，）．
故选：B．
计算M到原点的距离得出极径，再利用极坐标的定义计算极角的大小．
本题考查了极坐标与直角坐标的对应关系，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查简单的极坐标方程，将直线的极坐标方程化为普通方程，根据点到直线
的距离公式求解.
【解答】
解：将直线l：，化为普通方程为:,
点化为直角坐标，
所以.
故选B.
9.【答案】C
【解析】
解：点（-3，-3）的极坐标为（3，），
∴M（-3，-3，3）的柱坐标为（3，，3）．
故选：C．
根据柱坐标与直角坐标的对应关系计算得出．
本题考查了柱坐标与直角坐标的对应关系，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】
解：设直线l的倾斜角为α，
由题意，tanα=-，∴cosα=-．
故选：B．
由题意，tanα=-，即可求得cosα=-．
本题考查直线的参数方程，考查直线l的倾斜角，比较基础．
11.【答案】D
【解析】
解：根据题意，某条曲线的参数方程是，
其普通方程为：x²-y²＝8，，
则该曲线是双曲线；
故选：D．
根据题意，将曲线的参数方程化为普通方程，结合双曲线的方程分析可得答案．本题考查参数方程的应用，关键是将曲线的参数方程转化为普通方程．
12.【答案】B
【解析】
解：根据题意，P（x，y）是椭圆上任意一点，
设P的坐标为（cosα，sinα），
则点P到x-y-4=0的距离
d===，
当sin（α+）=-1时，d取得最大值，
故选：B．
根据题意，设P的坐标为（cosα，sinα），由点到直线的距离公式可得点P到
x-y-4=0的距离d=，变形可得d=，由正弦函数的性质分析可得答案．
本题考查参数方程的应用，注意点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
13.【答案】1
【解析】
【分析】
本题考查了导数的几何意义.
由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，再根据切点必在曲线上，结合方程组求出常数b和c即可．
【解答】
解：y′=3x2-6x，
∴k=3x2-6x=-3，
∴x=1，即切点的横坐标为1，代入曲线方程得切点坐标（1，-2）
它也在切线上，
∴代入y=-3x+b，得b=1．
∴常数b为1．
故答案为1．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题.
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可.
【解答】
解：，[，e],
令f′（x）＞0，解得：，
令f′（x）＜0，解得：，
故f（x）在递增，在（1，e]递减，
故.
故答案为.
15.【答案】[2，+∞）
【解析】
【分析】
本题考查了利用导数研究函数的单调性，通过解f′（x）求单调区间，转化为恒成立问题求a的取值范围．
【解答】
解:∵f（x）=alnx-x，
∴．
又∵f（x）在（1，2）上单调递增，
∴在x∈（1，2）上恒成立，
∴a≥x max=2，
∴a的取值范围是[2，+∞）.
故答案为[2，+∞）.
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点的球坐标.
根据点的球坐标公式求解.
【解答】
解：由点p的直角坐标为(1，1，)，
则,
则点P的球坐标是.
故答案为.
17.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=3x2-3，
所以f′（2）=9；
（Ⅱ）f′（x）=3x2-3，
令f′（x）＞0，解得x＞1或x＜-1，
令f′（x）＜0，解得：-1＜x＜1．
∴（-∞，-1），（1，+∞）为函数f（x）的单调增区间，（-1，1）为函数f（x）的单调减区间；
∴f（x）极小值=f（1）=-2，f（x）极大值=f（-1）=2．
【解析】
本题考查利用导数研究函数的单调性、极值问题，准确求导，弄清导数与函数性质间的关系是解题关键．
（Ⅰ）求出函数的导数，将x=2代入导函数求出即可；
（Ⅱ）求导数f′（x），解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可得单调区间，由极值定义可求得极值．
18.【答案】解：（Ⅰ）∵（φ为参数），
∴曲线C的普通方程为=1．
（Ⅱ）∵x+y=4cosθ+3sinθ=5sin（φ+θ）（tanφ=）．
∴当sin（φ+θ）=1时，x+y取得最大值5，
当sin（φ+θ）=-1时，x+y取得最小值-5．
∴x+y的取值范围是[-5，5]．
【解析】
（Ⅰ）根据平方和等于1消去参数得到普通方程；
（Ⅱ）把参数方程代入x+y得到关于θ的三角函数，根据三角函数的性质求出最值．
本题考查了参数方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于基础题．
19.【答案】解：（Ⅰ）由题意可得f（2）=-4，
即为4a+2a-2b=-4，
又f′（x）=2ax+a，可得f′（1）=3a=-3，
解得a=b=-1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=-x2-x+2，
则h（x）=x lnx+f（x）=x lnx-x2-x+2，
h′（x）=ln x+1-2x-1=ln x-2x，
则曲线h（x）在x=1处的切线斜率为ln1-2=-2，
切点为（1，0），
则曲线h（x）在x=1处的切线方程为y-0=-2（x-1），
即为2x+y-2=0．
【解析】
本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程的点斜式方程是解题的关键．
（Ⅰ）由题意可得f（2）=-4，代入f（x）解析式，求出f（x）的导数，代入x=1，则可求得a，b的值；
（Ⅱ）求出h（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率，再由点斜式方程可得切线的方程．
20.【答案】（1）证明：由题意知，要证e x≥x+1，只需证f（x）=e x-x-1≥0，
求导得f′（x）=e x-1，当x∈（0，+∞）时，f′（x）=e x-1＞0，
当x∈（-∞，0）时，f′（x）=e x-1＜0，
∴f（x）在x∈（0，+∞）是增函数，在x∈（-∞，0）时是减函数，
即f（x）在x=0时取最小值f（0）=0，
∴f（x）≥f（0）=0，即f（x）=e x-x-1≥0，
∴e x≥x+1．
（2）解：不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即e x-x-1＞ax-1在x∈[]上恒成立，
亦即a＜在x∈[]上恒成立，令g（x）=，x∈[]，
以下求g（x）=在x∈[]上的最小值，
，当x∈[]时，g′（x）＜0，
当x∈[]时，g′（x）＞0，
∴当x∈[]时，g（x）单调递减，当x∈[]时，g（x）单调递增，
∴g（x）在x=1处取得最小值为g（1）=e-1，
∴正数a的取值范围是（0，e-1）．
【解析】
【分析】
本题考查不等式的证明，考查正数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
（1）要证e x≥x+1，只需证f（x）=e x-x-1≥0，求导得f′（x）=e x-1，利用导数性质能证明e x≥x+1．
（2）不等式f（x）＞ax-1在x∈[，2]上恒成立，即a＜在x∈[]上恒成立，令g（x）=，x∈[]，利用导数性质求g（x）=在x∈[]上的最小值，由此能求出正数a的取值范围．
21.【答案】解：（1）f′（x）=3x2+2ax+b，依题意有f′（1）=0，f（1）=-4，
即得．
所以f′（x）=3x2+4x-7=（3x+7）（x-1），
由f′（x）＜0，得-＜x＜1，
所以函数f（x）的单调递减区间（-，1）．
（2）由（1）知f（x）=x3+2x2-7x，f′（x）=3x2+4x+7=（3x+7）（x-1），
令f′（x）=0，解得x1=-，x2=1．
f′（x），f（x）随x的变化情况如下表：
由上表知，函数f（x）在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上单调递增．
故可得f（x）min=f（1）=-4，f（x）max=f（-1）=8．
【解析】
此题主要考查多项式函数的导数，函数单调性的判定，函数最值，函数、方程等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力及分析与解决问题的能力，难度较大．
（1）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解．
（2）由（1）求出函数的单调区间，可以运用导数判断函数的单调性，从而求出函数f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值．
22.【答案】【解答】
解：（1）由直线的参数方程（为参数）消去参数，
得直线的普通方程为，即．
由，得，
由，得，
即直线l的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，化简得，设方程的两
根为，，则，，
由直线参数的几何意义可知，线段的中点对应的参数，
故线段的中点的直角坐标为．
由直线参数的几何意义可知，
．
即线段AB的中点的直角坐标为，的值为.
【解析】
【分析】
本题考查参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用.
（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；（2）利用直线和曲线的位置关系，建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果．。