陕西省榆林一中2013届高三第七次模拟考试 数学理

榆林一中2013届高三第七次模拟考试
数学（理）试题
注意事项：
1.本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生须将自己的学校、班级、姓名、学号填写在本试卷指定位置上。

3.选择题的每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

4.非选择题必须按照题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答。

超出答题区域或在其他题的答题区域内书写的答案无效；在草稿纸、本试题卷上答题无效。

5.考试结束，将本试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1. 若{}Z x A x
∈<<=x 162
2　}032|{2
<--=x x x B ，则B A 中元素个数为
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2. 复数i
i
+-11的共轭复数是 A ．
i B ．i - C ．1 D ．i -1
3. 等差数列{}n a 前n 项和为n S ，51,763==S a ，则公差d 的值为 A. 2 B. 3 C. -3 D. 4
4. 下列函数中，周期为π，且在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡43,4ππ上单调递增的函数是 A.x y 2sin = B. x y 2cos = C. x y 2sin -= D. x y 2cos -= 5. 命题p :函数
()2x f x a =-（0a >且1a ≠）的图像恒过点(0,2)- ；
命题q ：函数()()lg 0f x x x =≠有两个零点.
则下列说法正确的是
A. “p 或q ”是真命题
B. “p 且q ”是真命题
C.
p ⌝
为假命题 D. q ⌝为真命题
6. 已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24,则正视图中a 的值为
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
7. 已知a 为执行如图所示的程序框图输出的结果，
则二项式6
a x x ⎛- ⎪⎝
⎭的展开式中含2
x 项的系数是
A. 192
B. 32
C. 96
D. -192
8. 如图，已知ABC ∆中,点M 在线段AC 上, 点P 在线段BM 上且
满足2AM MP
MC PB
==,若AB 2,AC 3,120BAC --→--→==∠=︒,则
AP BC --→--→
⋅的值为
A ．2-
B ．2 C.
23 D ．113
- 9. 已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，1)4(-=-f ,)(x f 的 导函数)('x f 的图象如图所示。

若两正数b a ,满足
1)2(<+b a f ，则
2
2
++b a 的取值范围是 A.)2,31
(
B. )1,(--∞
C. )0,1(-
D. )3,2
1
(
10.对于函数()f x 与()g x ，若区间[,]a b 上()()f x g x -的最大值．．．称为()f x 与()g x 的“绝
对差”，则212
(), g() 19
f x x x x x =
=-+在[]4,1上的“绝对差”为 A ．
27172 B ．23
18
C.2945 D ．139 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 抛物线2
4y x =-的准线方程为________________. 12. 观察以下不等式
211>
； 131211>++； 237131211>++++ ； 215131211>++++ ； ;2531131211>++++
由此猜测第n 个不等式为________________.
O x
y
y=)('x f
13. 若圆)(,4:2
2O y
x O 圆心为=+与圆0
62:22=-++y y x C 相交于B A ,，则ABO ∆的
面积为________.
14. 下列结论中正确命题的序号是 .（写出所有正确命题的序号）
①积分
22
cos xdx π
π-⎰的值为2；
②若0a b ⋅<，则a 与b 的夹角为钝角； ③若]1,0[,∈b a ，则不等式4122<
+b a 成立的概率是16
π； ④函数()330x x y x -=+>的最小值为2．
15．（考生注意：只能从A ，B ，C 中选择一题作答，并将答案填写在相应字母后的横线上，若多做，
则按所做的第一题评阅给分.） A.选修4-1：几何证明选讲
已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD 的值为____. B.选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆θ
ρcos 2=与直线
0sin 4cos 3=++a θρθρ相切，求实数a 的值______.
C.选修4-5：不等式选讲
不等式2
331a a x x -≤++-对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围____. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 是首项为114a =
，公比14q =的等比数列. 设14
23log n n b a +=*
()n ∈N ，数列{}n c 满足1
1
n n n c b b +=
⋅.
（Ⅰ）求证：数列{}n b 成等差数列； （Ⅱ）求数列{}n c 的前n 项和n S .
17. （本小题满分12分）
在
ABC ∆中，角,,A B C
的对边分别为
,,a b c
，且向量
(
)
3,2sin ,m A =
-22cos 1,cos 22A n A ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，且m ‖ n ，A 为锐角.
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）若2a =，4b c +=，求ABC ∆面积.
18. （本小题满分12分）
如图，在四边形ABCD 中，对角线BD AC ⊥于O ，3,3,1==
==OC OA OD OB ,F 为
BCD ∆的重心,过点F 的直线PQ 分别交CD CB ,于Q P ,且PQ ‖BD ，沿BD 将ABD ∆折起，沿
PQ 将CPQ ∆折起,C A ,正好重合于1A .
(Ⅰ) 求证：平面⊥BD
A 1平面BPQD ；
（Ⅱ）求平面BD A 1与平面PQ A 1夹角的大小.
19. （本小题满分12分）
2011年4月28日世界园艺博览会将在陕西西安浐灞生态区举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。

志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答。

知识问答有A,B,C,D 四个题目，答题者必须按A,B,C,D 顺序依次进行，答对A,B,C,D 四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减。

答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用。

假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A,B,C,D 四个题回答正确的概率依次是
4
1
,31,21,21，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ) 用X 表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X 的分布列和数学期 望； （Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率.
20. （本小题满分13分）
设椭圆C ：12222=+b y a x )0(>>b a 过点)23
,1(P , 且离心率2
3
=
e ．
(Ⅰ)求椭圆Ｃ的方程；
(Ⅱ)过右焦点F 的动直线交椭圆于点B A 、，设椭圆的左顶点为C 连接CB CA 、且交动直线m x l =:于N M 、，若以MN 为直径的圆恒过右焦点F ，求m 的值.
21. （本小题满分14分）
已知函数()1x
f x e x =--
（Ⅰ）求()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程；
（Ⅱ）若存在041,ln 3
x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣
⎦
，满足10x
a e x -++<成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）当0x ≥时，
2()f x tx ≥恒成立，求t 的取值范围.
参考答案
一、选择题(每题5分，共50分)
二、填空题：（每题5分，共25分）
11、161=y 12、　;212131211n
n >-++++
13、3 14、③
15、A 、
5
16
B 、72-=或a
C 、4a 1<<- 16.解：（Ⅰ）由已知可得，n n n q
a a )41
(1
1==-，n b n n 3)41(log 324
1==+
23-=∴n b n ,31=-+n n b b }{n b ∴为等差数列，其中11,3b d ==. ------6分
（Ⅱ）111111
()3n n n c b b +=
==-⋅⋅（3n-2）（3n+1）3n-23n+1
， 31n n S n =
+ -----12分 三、解答题：（共75分）
17、解：(Ⅰ) 由已知可得，()
cos ,cos2n A A =
3cos 22sin cos 0
m n A A A ⋅⇒+=
2sin 203A π⎛
⎫∴+= ⎪⎝⎭
23A ππ+= 3A π∴= -------6分
(Ⅱ) 222
2cos a b c bc A
=+- ()2
42b c bc bc ∴=+--
又
4
b c +=
4163bc
∴=-
4
bc ∴=
1
sin 6032S bc ∆∴==
-------12分
18、解：(Ⅰ) 由题知：1
AO =
1,
OF =
12
FA =
222
11A O OF FA += 190
A OF ∴∠
=
1A O OF
∴⊥ 又
1
AO OD ⊥ 1A O ∴⊥平面BCD
1A O ⊂平面1A BD ∴ 平面1A BD ⊥平面BPQD ------6分
(Ⅱ) 如图建立空间直角坐标系
()
()()10,0,3,1,0,0,1,0,0A B D ∴- ()220,1,0,,1,0,,1,033F P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
FO BD ⊥
FO ∴⊥平面1A BD
∴ 平面1A BD 的一个法向量为()0,1,0n = -------8分
又4,0,03
QP ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
()
10,1,3FA =-
设平面1A PQ 的一个法向量为(),,n x y z =
2
2100n QP n FA ⎧⋅=⎪∴⎨
⋅=⎪⎩ 40330x y z ⎧=⎪∴⎨⎪-+=⎩
取3,1
y z ==
()
0,3,1
n ∴=
1233
cos ,n n ∴=
=
∴ 平面1A BD 与平面1A PQ 的夹角为30 -------12分
19、解：设某题M 答对记为“M”，答错记为“M ”
(Ⅰ) X 的可能取值为2，3，4
()412=
==AB X P ()6
1
3=+==C B A BC A X P
()()()12
7
3214=
=-=-==ξξP P X P ，
()()()()()
12
74=
+++++++==D D C B A D D C B A D D C B A D D C B A X P 或 X 的分布列为： X
2
3
4
3
101274613412=
⨯+⨯+⨯=EX -------6分
(Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率
D C B A D C B A CD B A C B A BC A AB P +++++=
413221214
13221214
13121213
121213
121212
121⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=48
25= -------12分
或)(D D C B A D C B A D C B A D C B A P ++++=１－48
25= 20. 解：
(Ⅰ)由题意知
2c a =，143122=+b
a ，解得2,2==
b a 12
42
2=+∴y x
椭圆方程为： -------5分
(Ⅱ)设 ()11
,A x y ，()22,A x y
（i ）
K 存在时，设直线(:AB y k
x =
联立(22
142x y y k x ⎧+=⎪⎨
⎪=⎩ 得()222221440k x x k +-+-=
2212122
244
,2121k x x x x k k -+==++ -------8分
又()1
1:22
y CA y x x =
++ ()11,22y
M m m x ⎛⎫∴
+ ⎪+⎝⎭
()1122y FM m m x ⎛⎫∴=+ ⎪+⎝⎭ 同理()2222y
FN m m x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭
-----10分
(()()
()2
2
12122022y y m m x x ∴-+
+=++
()(
))(
)(
)2121212
121212232224
2
k x x x x y y x x x x x x ++-=
=-+++++
(
)
()
2
2
2
1202
m m ∴--
+=
解得m = -------12分 （ii ） 当k 不存在时，MNF ∆为等腰Rt ∆
(,M m m ∴
-)A
,
由C 、B 、M
三点共线易得到m =
综上m = -------13分
21、解：(Ⅰ) ()1x
f x e '=- ()12
f e =-
()f x ∴在()()
1,1f 处的切线方程为： ()()211y e e x -+=--
即()11y e x =-- -------3分
(Ⅱ) 1x a e x <-- 即()a f x < 令()10
x
f x e '=-=
0x =
0x >时， ()0f x '>，0x <时， ()0f x '<
()f x ∴在(),0-∞上减，在()0,+∞上增
又041,ln 3x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦时， ()f x ∴的最大值在区间端点处取到.
()11111f e e --=-+=
44
4ln 1ln
33
3f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
()414
41141ln 1ln ln 0
33333f f e e ⎛⎫--=-++=-+> ⎪⎝⎭
()41ln 3f f ⎛⎫∴-> ⎪⎝⎭ ()f x ∴在41,ln 3⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦上最大值为1e ，
故a 的取值范围是：a <
1
e .
-------8分 （Ⅲ）由已知得0,x ≥时2
10x
e x tx ---≥恒成立，设()2
1.
x
g x e x tx =---
()'12.
x g x e tx ∴=--
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