山东省曲阜市第一中学2010-2011学年度高二下学期期末考试数学(理)

山东省曲阜市第一中学2010-2011学年度高二下学期期末考试
数学（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. i 是虚数单位，复数
131i
i
--的实部是 A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-
2. 已知,,a b c ∈R ，满足||||b c a <-，则下列不等式成立的是
A. c b a +<
B. ||||||c b a ->
C. b c a -<
D. ||||||c b a +< 3. 设函数310
()(12)f x x =-，则(1)f '等于
A.0
B. 60
C. 1-
D. 60-
4. 有一批种子，每一粒发芽的概率为0.9，播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率为
A. 140.9
B. 14
10.9- C. 1414150.9(10.9)C ⨯⨯- D. 1414150.9(10.9)C ⨯⨯-
5.已知0>x ,由不等式........
43
;32;2132>+>+>+
x
x x x x x 可以推广为 A. n x n x n >+ B. 1+>+n x n x n
C. 11+>++n x n x n
D. n x n x n >++1
6. 000(2)()
lim 1x f x x f x x
∆→+∆-=∆，则0()f x '等于
A. 2
B. 1
C. 1
2
D. 0
7. 设随机变量)4(,)(),,2(2
c P a c P N ->=>ξξσξ则若服从正态分布等于 A. a B. a -1 C. a 2 D. a 21-
8. 如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则 点Q 取自△ABE 内部的概率等于
A ．14
B ．13
C ．12
D ．23
9. 某个命题与正整数有关，若当)(*
N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当=n 1+k 时
该命题也成立，现已知当4n =时该命题不成立，那么可推得 ] A. 当5n =时，该命题不成立 B. 当5n =时，该命题成立 C. 当3n =时，该命题成立 D. 当3n =时，该命题不成立
10. 一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归直线方程为 ˆ7.1973.93y
x =+，据此可以预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是 A. 身高一定是145.83cm B. 身高超过146.00cm C. 身高低于145.00cm D. 身高在145.83cm 左右
11. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有 A ．6种 B. 12种 C. 24种 D. 30种
12. 如图，111A B C ABC -是直棱柱，90BCA ∠=，点1D ，1F 分别是11A B ，11A C 的中点.若
1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的余弦值为
1
2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
题号[
二
三
总分
17
18 19 20 21 22 得分
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．请将答案填写在题后横线上. 13. 2
1(2)2x dx +⎰= .
14. 在平面直角坐标系O xy -中, 二元一次方程0Ax By += (,A B 不同时为0)表示过原点的直线. 类似地: 在空间直角坐标系O xyz -中, 三元一次方程0Ax By Cz ++= (,,A B C 不同时为0)表示 . 15. 若二项式22()2n
x x
-
的展开式的第三项是常数项，则n =_______. 16. 函数()(1)x
f x x e =-⋅的单调递增区间是 .
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
已知二项式n
x x ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-3
321的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列． （I ）求展开式的第四项；
（II ）求展开式的常数项.
18．（本小题满分12分）
已知函数()f x x ax bx 3
2
=+++1的导数'()f x 满足()f a '1=2，()f b '2=-，其中 常数,a b ∈R ，求曲线()y f x =在点(,())f 11处的切线方程.
19．（本小题满分12分）
已知0a b >>，证明：2
2
()4a b b
-<.
20．（本小题满分12分）
某医院计划从10名医生（7男3女）中选5人组成医疗小组下乡巡诊. （I ）设所选5人中女医生的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；
（II ）现从10名医生中的张强、李军、王刚、赵永4名男医生，李莉、孙萍2名女医生共6人中选一正二副3名组长，在张强被选中的情况下，求李莉也被选中的概率.
21．（本小题满分12分）
如图，在四面体ABOC 中,,OC OA OC OB ⊥⊥，0
120AOB ∠=，且.1===OC OB OA
（I ）设P 为线段AC 的中点，试在线段AB 上求一点E ，使得PE OA ⊥； （II ）求二面角O AC B --的平面角的余弦值. 22．（本小题满分14分） 已知函数2
1()3(1)ln 2
f x x x a x =
-+-，()g x ax =，()()()3h x f x g x x =-+，其中a ∈R 且1a >.
（I ）求函数()f x 的导函数()f x '的最小值； （II ）当3a =时，求函数()h x 的单调区间及极值； （III ）若对任意的1212,(0,), x x x x ∈+∞≠，函数()h x 满足1212
()()
1h x h x x x ->--，求实数a
的取值范围.
山东省曲阜市第一中学2010-2011学年度高二下学期期末考试
数学（理）参考答案及评分标准
一、选择题
ADBCB CBCDD CA 二、填空题
13. 5； 14. 过原点的平面； 15. 6； 16. (,0)-∞ 三、解答题
17. 解：因为第一、二、三项系数的绝对值分别为0
n
C 、21n C 、4
2
n C ，
所以0n
C +42n C =
22
1
⨯n
C ，即2980n n -+=. 解得8n =. …………………………………………………………………………….4分 （I
）第四项
3
2
53348
7T C
x ⎛
==- ⎝；…………………………………….7分
（II
）通项公式为
88218812r r
r
r
r
r r T C C --+⎛⎛⎫==- ⎪ ⎝⎭⎝=823812r
r r C x -⎛⎫- ⎪⎝⎭
，
令28
03
r -=，得4r =. ……………………………………………………………….10分
所以展开式中的常数项为835214
4
8
5=⎪⎭
⎫
⎝⎛-=C T . ………………………………….12分
18. 解：（I ）因为32()1f x x ax bx =+++，所以2
()32.f x x ax b '=++ ……..2分
令1x =得(1)32f a b '=++.
由已知(1)2f a '=，所以322a b a ++=. 解得3b =-. …………………….4分 又令2x =得(2)124f a b '=++.
由已知(2),f b '=- 所以124,a b b ++=-解得3
.2
a =- …………………..6分
所以32
3()312
f x x x x =-
-+，5(1)2f =-. …………………………..8分
又因为3
(1)2()3,2
f '=⨯-=- ………………………………………….10分
故曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线方程为
5
()3(1)2
y x --=--，即6210x y +-=. …………………………………..12分
19. 证明：因为0a b >>
，要证2
2
()4a b b
-<，
<
. …………..……………………………….4分
即证1<
==
. ……………7分
即证21<+1a
b
<. 由已知，1a
b
<
显然成立. ………………………………………………………..10分
故2
2
()4a b b
-<成立. ……………………………………………….12分
（其它证法参照赋分）
20. 解：（I ）ξ的所有可能的取值为0，1，2，3， ….…………………………….2分
则5
75101
(0)12
C P C ξ===；
41735105
(1)12C C P C ξ===；
32735105
(2)12
C C P C ξ===；
23735101
(3)12
C C P C ξ===. ……………………………………………….6分
ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
1
12 512 512 112
15513
0123121212122
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=. ……………………………………9分 （II ）记“张强被选中”为事件A ，“李莉也被选中”为事件B ，
则2536101()202C P A C ===，1
4361
()5
C P BA C ==，
所以()2()()5P BA P B A P A =
=.（亦可直接得1
42542
()105
C P B A C ===）……………12分
21. 解：在平面内AOB 过点O 作OF OA ⊥交AB 于点F .
以O 为坐标原点，分别以OA 、OF 、OC 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系（如图）. ………………………………………………………………………1分 则(1,0,0)A 、(0,0,1)C
、1(,22B -
、11(,0,)22
P . ……………………….…..3分 （I ）设(01)AE AB λλ=<<
，因为3(,,0)22
AB =-
，
所以33(1,0,0)((1,0)22OE OA AE λλ=+=+-
=-，
1
31(,)222
PE OE OP λ=-=-
-. 因为PE OA ⊥，所以0PE OA ⋅=. 即
13022λ-=，解得1
3
λ=. 故所求点为
E 1(2. 即点E 为线段AB 的三等分点（靠近点A ）. ………………………………………7分 （II ）设平面ABC 的法向量为1(,,)x y z =n ，(1,0,1)CA =-.
由11CA AB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n
得0302x z x y -=⎧⎪
⎨-=⎪⎩. 令1z =
得1,x y ==
即1(1=n . …………………………………………..9分 又2(0,1,0)=n 是平面OAC 的法向量， ………………………………………………10分
所以12cos ,5<>=
=n n . 故二面角O AC B --
. ……………………………………12分
22. 解：（I ）11
()33a a f x x x x x
--'=-+=+-，其中0x >. 因为1a >，所以10a ->，又0x >
，所以1
33a x x
-+-≥，
当且仅当x =
3. ……………………………4分
（II ）当3a =时，21()2ln 32h x x x x =
+-，2(1)(2)
()3x x h x x x x
--'=+-=
. ………………………………………………………..6分 ,(),()x h x h x '的变化如下表：
x
(0, 1)
1
(1, 2)
2
(2, +)∞()h x '+
-
+
()
h
x
5
2
-
2ln 24
-
所以，函数()h x 的单调增区间是(0, 1)，(2, +)∞；单调减区间是(1, 2). ……………………………………………………………….8分 函数()h x 在1x =处取得极大值5
2
-
，在2x =处取得极小值2ln 24-. ……………………………………………………………….10分 （III ）由题意，2
1()(1)ln (1)2
h x x a x ax a =+-->. 不妨设12x x <，则由1212
()()
1h x h x x x ->--得1122()()h x x h x x +<+. ……………12分
令2
1()()(1)ln 2
F x h x x x a x ax x =+=
+--+，则函数()F x 在(0,)+∞单调递增.
21(1)1
()(1)0a x a x a F x x a x x ---+-'=--+=≥在(0,)+∞恒成立.
即2
()(1)1
0G x x a x a =--+-≥在(0,)+∞恒成立. 因为1
(0)10,
02
a G a -=->>，因此，只需2(1)4(1)0a a ∆=---≤. 解得15a <≤.
故所求实数a 的取值范围为15a <≤. …………………………………….14分。