等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）
（A ）为常数数列 （B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一 （D ）不存在
2.、在等差数列{}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（ ）
（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a
3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则y
c x a
+的值为（ ）
（A ）2
1（B ）2-（C ）2（D ） 不确定
4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项，y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（ ）
（A ）成等差数列不成等比数列 （B ）成等比数列不成等差数列 （C ）既成等差数列又成等比数列 （D ）既不成等差数列，又不成等比数列
5、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（ ）
（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（ ）
（A ）z y x ,,成等差数列 （B ）z y x ,,成等比数列（C ）z y x 1,1,1成等差数列 （D ）z
y x 1,1,1成等比数列
7、数列{}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
8、数列1⋯,16
1
7
,8
15,4
13,2
1,前n 项和为（ ）
（A ）1212+-
n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212
11
2
+--+n n n 9、若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足5524-+=
n n B A n n ，则13
5135b b a
a ++的值为（ ）
（A ）9
7
（B ）7
8（C ）
2019（D ）8
7
10、已知数列{}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（ ）
（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60
11、已知数列{}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按
原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（ ）
（A ）2)133(+n n （B ）53+n
（C ）23103-+n n （D ）2
31031-++n n
12、下列命题中是真命题的是( )
A ．数列{}n a 是等差数列的充要条件是q pn a n +=(0≠p )
B ．已知一个数列{}n a 的前n 项和为a bn an S n ++=2,如果此数列是等差数列,那么此数列也是等比数列
C ．数列{}n a 是等比数列的充要条件1-=n n ab a
D ．如果一个数列{}n a 的前n 项和c ab S n n +=)1,0,0(≠≠≠b b a ,则此数列是等比数列的充要条件是0=+c a 二、填空题
13、各项都是正数的等比数列{}n a ，公比1≠q 875,,a a a ,成等差数列，则公比q = 14、已知等差数列{}n a ，公差0≠d ,1751,,a a a 成等比数列，则18
6217
51a a a a a a ++++=
15、已知数列{}n a 满足n n a S 4
11+=,则n a =
16、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为 三、解答题
17、已知数列{}n a 是公差d 不为零的等差数列，数列{}n
b a 是公比为q 的等比数列，
46,10,1321===b b b ，求公比q 及n b 。

18、已知等差数列{}n a 的公差与等比数列{}n b 的公比相等，且都等于d )1,0(≠>d d ,11b a = ，
333b a =,555b a =,求n n b a ,。

19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

20、已知{}n a 为等比数列，32420
2,3
a a a =+=
，求{}n a 的通项式。

21、数列{}n a 的前n 项和记为()11,1,211n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T
22、已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式； （II ）若数列{}n b 满足1
2
1114.4...4(1)()n
n
b b b b n a n N ---*=+∈，证明：{}n b 是等差数列；
数列综合题
一、选择题
二、 填空题
13.
2
5
1+14. 292615. n )31(34-16. ±63
三、解答题
17.a 1
b =a 1,a 2
b =a 10=a 1+9d ,a 3
b =a 46=a 1+45d
由{a bn }为等比数例，得（a 1+9d ）2=a 1(a 1+45d )得a 1=3d ,即a b 1=3d ,a b 2=12d ,a b 3=48d . ∴q =4 又由{a bn }是{a n }中的第b n a 项，及a bn =a b 1·4n -1=3d ·4n -1,a 1+(b n -1)d =3d ·4n -1 ∴b n =3·4n -1-2
18.∴a 3=3b 3 , ∴a 1+2d =3a 1d 2 ,∴a 1(1-3d 2)=-2d ①
a 5=5
b 5, ∴a 1+4d =5a 1d 4 , ∴a 1(1-5d 4
)=-4d ②
②①,得243151d
d --=2，∴d 2=1或d 2
=51,由题意，d =55,a 1=-5。

∴a n =a 1+(n -1)d =55(n -6) b n =a 1d n -1=-5·(
5
5)n -1
19.设这四个数为a aq aq a q
a -2,,,
则⎪⎩
⎪⎨
⎧=-++=⋅36)3(216·a aq aq a aq a q a
②① 由①，得a 3=216,a =6 ③ ③代入②，得3aq =36,q =2 ∴这四个数为3，6，12，18
20.解: 设等比数列{a n }的公比为q , 则q ≠0, a 2=a 3q = 2
q
, a 4=a 3q =2q
所以 2q + 2q =203 , 解得q 1=1
3
, q 2= 3,
当q 1=13, a 1=18.所以 a n =18×(13)n －1=18
3n －1 = 2×33－n .
当q =3时, a 1= 29 , 所以a n =2
9
×3n －1=2×3n －3.
21.解：(I)由121n n a S +=+可得()1212n n a S n -=+≥，两式相减得
()112,32n n n n n a a a a a n ++-==≥
又21213a S =+=∴213a a =
故{}n a 是首项为1，公比为3得等比数列 ∴13n n a -=
（Ⅱ）设{}n b 的公差为d
由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+ 又1231,3,9a a a ===
由题意可得()()()2
515953d d -+++=+
解得122,10d d ==
∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =
∴()
213222
n n n T n n n -=+
⨯=+ 22（I ）：*121(),n n a a n N +=+∈
112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=即 2*21().n a n N =-∈
（II ）证法一：1
2
11144...4(1).n
n
b b b b n a ---=+1
2
(...)42.n
n
b b b n nb +++-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-=①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+②
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-
即1(1)20,n n n b nb +--+=③21(1)20.n n nb n b ++-++=④
④－③，得 2120,n n n nb nb nb ++-+=
即 2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。